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Drachenviereck: Eigenschaften und Formeln
Ein Drachenviereck ist ein Viereck mit zwei Paaren gleich langer benachbarter Seiten. Eine Diagonale ist seine Symmetrieachse. Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Für die Seitenlängen $a$ und $b$ sowie die Diagonalen $e$ und $f$ gelten $U=2(a+b)$ und $A=\frac{e\cdot f}{2}$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Ein Drachenviereck sicher erkennen
Stell dir die Ecken in der Reihenfolge $A$, $B$, $C$, $D$ vor. Gilt $AB=AD$ und $BC=CD$, liegen die gleich langen Seiten jeweils nebeneinander. Das Viereck ist ein Drachenviereck.
Drachenviereck
Ein Drachenviereck, auch Deltoid genannt, ist ein Viereck mit zwei Paaren benachbarter gleich langer Seiten. Die gemeinsamen Eckpunkte der beiden Seitenpaare werden durch die Symmetriediagonale verbunden.
„Benachbart“ ist entscheidend: Die Seiten haben einen gemeinsamen Eckpunkt. Zwei Paare gleich langer gegenüberliegender Seiten kennzeichnen nicht automatisch ein Drachenviereck.
Eine Raute ist ein besonderer Drachen: Bei ihr sind alle vier Seiten gleich lang. Ein Quadrat ist wiederum eine besondere Raute mit vier rechten Winkeln. Deshalb sind Raute und Quadrat ebenfalls Drachenvierecke.
Die Symmetrie erklärt die Eigenschaften
Die Diagonale $AC$ verbindet die Eckpunkte, an denen jeweils zwei gleich lange Seiten zusammentreffen. Sie ist eine Symmetrieachse: Beim Spiegeln an $AC$ werden die beiden Hälften aufeinander abgebildet.
Daraus folgen drei wichtige Eigenschaften:
- $AC$ halbiert die andere Diagonale $BD$.
- Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander: $AC\perp BD$.
- $AC$ halbiert die Winkel bei $A$ und $C$. Die beiden anderen Winkel bei $B$ und $D$ sind gleich groß.
Schneiden sich $AC$ und $BD$ im Punkt $S$ und ist $BD=8\,\mathrm{cm}$, dann gilt wegen der Halbierung:
$$BS=DS=4\,\mathrm{cm}$$
Außerdem sind die vier Winkel am Schnittpunkt $S$ rechte Winkel, weil die Diagonalen senkrecht zueinander stehen.
Die Symmetriediagonale halbiert die andere Diagonale. Die andere Diagonale muss die Symmetriediagonale im allgemeinen Drachen nicht halbieren.
Ein allgemeines Drachenviereck hat eine Symmetrieachse. Spezialfälle können mehr besitzen: Eine Raute hat zwei, ein Quadrat vier Symmetrieachsen.
Den Umfang berechnen
Der Umfang ist die Länge des Randes. Addiere alle vier Seiten. Da jede der beiden Seitenlängen zweimal vorkommt, kannst du zusammenfassen:
$$U=a+b+a+b=2(a+b)$$
Für $a=6{,}5\,\mathrm{cm}$ und $b=3{,}2\,\mathrm{cm}$ gilt:
$$U=2\cdot(6{,}5\,\mathrm{cm}+3{,}2\,\mathrm{cm})$$
$$U=2\cdot9{,}7\,\mathrm{cm}=19{,}4\,\mathrm{cm}$$
Die Einheit Zentimeter passt, weil der Umfang eine Länge ist.
Den Flächeninhalt berechnen
Der Flächeninhalt gibt an, wie groß die eingeschlossene Fläche ist. Sind die Diagonalen $e$ und $f$ bekannt, gilt:
$$A=\frac{e\cdot f}{2}$$
Warum steht dort der Faktor $\frac12$? Die Symmetriediagonale teilt das Drachenviereck in zwei deckungsgleiche Dreiecke. Wegen der senkrechten Diagonalen ist die jeweilige Höhe die Hälfte von $f$. Zusammen ergibt sich genau das halbe Diagonalenprodukt.
Für $e=4\,\mathrm{cm}$ und $f=6\,\mathrm{cm}$ rechnest du:
$$A=\frac{4\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm}}{2}=12\,\mathrm{cm}^2$$
Die Einheit ist $\mathrm{cm}^2$, weil zwei Längen miteinander multipliziert werden. Ohne Division durch $2$ wäre das Ergebnis doppelt so groß.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für die Fläche werden die Längen der miteinander multipliziert und anschließend durch geteilt. Das Ergebnis erhält eine , zum Beispiel .
Prüfen, ob die Angaben reichen
Für den Umfang brauchst du die beiden verschiedenen Seitenlängen $a$ und $b$. Für die Fläche brauchst du beide Diagonalen $e$ und $f$ oder Angaben, aus denen sie berechnet werden können.
Nur die Seitenlängen reichen im Allgemeinen nicht aus, um die Diagonalen oder die Fläche eindeutig zu bestimmen. Drachenvierecke mit denselben Seitenlängen können unterschiedlich breit sein. Dann unterscheiden sich ihre Diagonalen und ihre Flächen.
Ist die Fläche und eine Diagonale bekannt, kannst du die Flächenformel umstellen. Aus $A=\frac{e\cdot f}{2}$ folgt zum Beispiel:
$$f=\frac{2A}{e}$$
Gegeben sind $A=24\,\mathrm{cm}^2$ und $e=6\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist $f$.
$$f=\frac{2\cdot24\,\mathrm{cm}^2}{6\,\mathrm{cm}}=8\,\mathrm{cm}$$
Die Einheit ist eine Länge: $\mathrm{cm}^2:\mathrm{cm}=\mathrm{cm}$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Drachenviereck
- Erkennen: zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten
- Symmetrie: eine Diagonale ist Spiegelachse
- Halbierung: andere Diagonale und zwei Winkel
- Diagonalen: stehen senkrecht aufeinander
- Umfang: $U=2(a+b)$
- Fläche: $A=\frac{e\cdot f}{2}$
- Spezialfälle: Raute und Quadrat
- Datenprüfung: Seiten allein genügen nicht für die Fläche
Abschluss-Check
Du bist sicher, wenn du zuerst die gegebenen Größen benennst, dann die passende Formel wählst und am Ende Einheit und Plausibilität prüfst.