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Grundwert berechnen: Formel, Dreisatz und Übungen
Der Grundwert ist das Ganze, also der Wert, der 100 % entspricht. Wenn du den Prozentwert und den zugehörigen Prozentsatz kennst, rechnest du auf 100 % zurück. Du lernst hier, die Größen sicher zu erkennen, den Grundwert mit Formel oder Dreisatz zu berechnen und Rabattangaben richtig zu deuten.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Größe ist der Grundwert?
Stell dir eine Klasse vor: 18 Lernende entsprechen 60 % der Klasse. Gesucht ist die gesamte Klasse. Genau diese Gesamtzahl ist der Grundwert.
Grundwert
Der Grundwert $G$ ist das Ganze oder der ursprüngliche Bezugswert. Er entspricht 100 %.
Daneben brauchst du zwei weitere Größen:
- Der Prozentwert $W$ ist der konkrete Anteil, zum Beispiel 18 Lernende oder 15 €.
- Der Prozentsatz $p\,%$ beschreibt, wie groß dieser Anteil im Verhältnis zum Ganzen ist, zum Beispiel 60 %.
„18 Lernende sind 60 % der Klasse.“
- Anteil: $W=18$ Lernende
- Prozentangabe: $p=60$
- Ganzes: $G$ ist gesucht
Die Frage nach „insgesamt“ zeigt zusätzlich, dass du den Grundwert suchst.
Frage dich: Welcher Wert entspricht in dieser Situation 100 %? Dieser Wert ist der Grundwert. Eine Zahl ohne Prozentzeichen ist nicht automatisch der Grundwert.
Wie funktioniert die Grundwertformel?
Zwischen den drei Größen gilt:
$$\frac{W}{G}=\frac{p}{100}$$
Stellst du diese Beziehung nach $G$ um, erhältst du:
$$G=\frac{W\cdot100}{p}$$
Dabei setzt du für $p$ die Prozentzahl ohne Prozentzeichen ein. Bei 60 % ist also $p=60$.
18 Lernende sind 60 % einer Klasse.
- Setze $W=18$ und $p=60$ ein.
- Rechne:
$$G=\frac{18\cdot100}{60}=30$$
- Deute das Ergebnis: Die Klasse hat insgesamt 30 Lernende.
- Prüfe durch Rückrechnung: 60 % von 30 sind $0{,}6\cdot30=18$. Das passt zur Angabe.
Du kannst den Prozentsatz auch als Dezimalzahl schreiben. Dazu teilst du die Prozentzahl durch 100: $60\%=0{,}6$. Dann gilt mit $p_{\mathrm{dez}}$:
$$G=\frac{W}{p_{\mathrm{dez}}}$$
Ein Fahrrad kostet nach dem Herunterhandeln noch 450 €. Das sind 90 % des ursprünglichen Preises.
$$G=\frac{450\,€}{0{,}9}=500\,€$$
Der ursprüngliche Preis betrug 500 €.
Vermische die beiden Schreibweisen nicht: In $G=\frac{W\cdot100}{p}$ setzt du 90 ein. In $G=\frac{W}{p_{\mathrm{dez}}}$ setzt du $0{,}9$ ein. Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Der Grundwert entspricht . In der Formel $G=\frac{W\cdot100}{p}$ steht $W$ für den . Für 35 % setzt du bei $p$ die Zahl ein.
Wie rechnest du mit dem Dreisatz?
Der Dreisatz macht das Zurückrechnen auf 100 % sichtbar. Bei festem Grundwert verändern sich Prozentwert und Prozentsatz proportional: Halbierst du den Prozentsatz, halbierst du auch den zugehörigen Wert.
70 % einer Klasse sind 14 Lernende. Wie groß ist die Klasse?
- Von 70 % auf 1 %: $14:70=0{,}2$ Lernende.
- Von 1 % auf 100 %: $0{,}2\cdot100=20$ Lernende.
Also entsprechen 100 % genau 20 Lernenden. Das Zwischenergebnis von 0,2 Lernenden beschreibt nur den rechnerischen Wert für 1 %; es muss keine tatsächlich allein stehende Person geben.
Beim Dreisatz führst du auf beiden Seiten dieselbe Operation aus: erst durch den gegebenen Prozentsatz teilen, dann mit 100 multiplizieren.
Wie deutest du Rabatt und Erhöhung richtig?
Bei Veränderungsaufgaben entspricht der genannte Endwert oft nicht dem Rabatt- oder Erhöhungssatz. Bestimme zuerst, wie viel Prozent vom ursprünglichen Wert der Endwert darstellt.
- Nach 20 % Rabatt bleiben $100\%-20\%=80\%$.
- Nach 5 % Erhöhung beträgt der neue Wert $100\%+5\%=105\%$.
Nach 20 % Rabatt kostet ein Artikel 15 €. Die 15 € entsprechen den verbleibenden 80 %, nicht den abgezogenen 20 %.
$$G=\frac{15\,€\cdot100}{80}=18{,}75\,€$$
Der ursprüngliche Preis betrug 18,75 €. Die Probe bestätigt das Ergebnis: 80 % von 18,75 € sind 15 €.
Wie vermeidest du typische Fehler?
Gehe bei jeder Aufgabe in dieser Reihenfolge vor:
- Formuliere: „Der genannte Wert entspricht ... %.“
- Markiere $W$, $p$ und das gesuchte $G$ mit ihren Einheiten.
- Entscheide dich für Formel oder Dreisatz.
- Rechne und übernimm die passende Einheit.
- Prüfe, ob der angegebene Prozentsatz des Ergebnisses wieder $W$ ergibt.
In einem Dorf leben 600 Menschen. 25 Kinder spielen Fußball; das sind 12,5 % aller Kinder. Gesucht ist die Zahl aller Kinder.
Die 600 Einwohner sind für diese Rechnung eine Zusatzangabe. Der Bezugswert von 100 % sind alle Kinder.
$$G=\frac{25}{0{,}125}=200$$
Im Dorf leben 200 Kinder. Zur Probe: $0{,}125\cdot200=25$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Grundwert berechnen
- Größen erkennen: $G$ ist 100 %, $W$ ist der Teil, $p$ ist der Anteil
- Formel: $G=\frac{W\cdot100}{p}$ oder $G=\frac{W}{p_{\mathrm{dez}}}$
- Dreisatz: vom gegebenen Prozentsatz über 1 % zu 100 %
- Veränderungen: Restprozentsatz oder erhöhten Prozentsatz bestimmen
- Kontrolle: $p$ Prozent von $G$ müssen wieder $W$ ergeben