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Prozentrechnung: Formeln, Beispiele und Übungen
Bei der Prozentrechnung vergleichst du einen Teil mit einem Ganzen. Das Ganze entspricht 100 %. Kennst du zwei der drei Größen Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz, kannst du die dritte berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Prozente als Hundertstel verstehen
Prozent bedeutet „von Hundert“. Deshalb gilt:
$$40\,\%=\frac{40}{100}=0{,}4$$
Ein Prozentsatz lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln: Teile die Prozentzahl durch 100. In der Gegenrichtung multiplizierst du die Dezimalzahl mit 100 und ergänzt das Prozentzeichen.
| Prozentangabe | Bruch mit Nenner 100 | Dezimalzahl |
|---|---|---|
| 20 % | $\frac{20}{100}$ | 0,2 |
| 40 % | $\frac{40}{100}$ | 0,4 |
| 75 % | $\frac{75}{100}$ | 0,75 |
| 100 % | $\frac{100}{100}$ | 1 |
Prozentsätze dürfen größer als 100 % sein. Zum Beispiel bedeutet 107 % das 1,07-Fache des Grundwerts.
Zum Umwandeln von Prozent in eine Dezimalzahl teilst du durch 100: $25\,\%=0{,}25$.
Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz erkennen
Jede Grundaufgabe der Prozentrechnung enthält drei Größen.
Grundwert G
Der Grundwert ist das Ganze, auf das sich die Prozentangabe bezieht. Er entspricht 100 %.
Prozentwert W
Der Prozentwert ist der betrachtete Teil des Grundwerts. Grundwert und Prozentwert haben dieselbe Einheit, zum Beispiel Euro oder Personen.
Prozentsatz p %
Der Prozentsatz beschreibt, wie groß der Teil im Verhältnis zum Ganzen ist. Die Zahl ohne Prozentzeichen heißt Prozentzahl $p$.
Von 32 Gästen essen 8 vegetarisch. Das sind 25 % der Gäste.
- Grundwert: $G=32$ Gäste, denn alle Gäste bilden das Ganze.
- Prozentwert: $W=8$ Gäste, denn diese Gruppe ist der betrachtete Teil.
- Prozentsatz: $p\,\%=25\,\%$.
Ein häufiges Problem ist die falsche Wahl des Grundwerts. Frage deshalb immer: Was ist hier das Ganze, also 100 %?
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
In einer Klasse mit 25 Lernenden spielen 5 nicht gern Fußball. Die ganze Klasse ist der . Die 5 Lernenden bilden den . Die relative Angabe des Anteils heißt .
Die drei Grundaufgaben lösen
Arbeite bei Textaufgaben in einer festen Reihenfolge:
- Bestimme, was das Ganze und was der Teil ist.
- Notiere die gegebenen Größen mit ihren Einheiten.
- Markiere die gesuchte Größe.
- Wähle die passende Formel.
- Setze ein, rechne und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Prozentwert gesucht
Sind Grundwert $G$ und Prozentzahl $p$ bekannt, gilt:
$$W=\frac{p}{100}\cdot G$$
Das Wort „von“ führt hier zur Multiplikation.
Wie viel sind 20 % von 50 €?
Gegeben sind $G=50\,€$ und $p=20$. Gesucht ist $W$.
$$W=\frac{20}{100}\cdot50\,€=0{,}2\cdot50\,€=10\,€$$
Antwort: 20 % von 50 € sind 10 €.
Prozentsatz gesucht
Sind Prozentwert $W$ und Grundwert $G$ bekannt, gilt:
$$p=\frac{W}{G}\cdot100$$
Das Ergebnis $p$ ist die Prozentzahl. Ergänze anschließend das Prozentzeichen.
In einer Packung mit 10 Eiern fehlen 3. Wie viel Prozent fehlen?
Gegeben sind $G=10$ Eier und $W=3$ Eier. Gesucht ist $p$.
$$p=\frac{3}{10}\cdot100=30$$
Antwort: Es fehlen 30 % der Eier.
Grundwert gesucht
Sind Prozentwert $W$ und Prozentzahl $p$ bekannt, gilt:
$$G=\frac{W}{p/100}=\frac{W\cdot100}{p}$$
40 % einer Klasse sind 12 Personen. Wie viele Personen sind in der Klasse?
Gegeben sind $W=12$ Personen und $p=40$. Gesucht ist $G$.
$$G=\frac{12}{40/100}=\frac{12}{0{,}4}=30$$
Antwort: Die Klasse hat 30 Personen. Die Probe passt: 40 % von 30 sind 12.
Teil gesucht: mit dem Prozentsatz als Dezimalzahl multiplizieren. Anteil gesucht: Teil durch Ganzes teilen. Ganzes gesucht: Teil durch den Prozentsatz als Dezimalzahl teilen.
Rabatt, Aufschlag und Werte über 100 Prozent
Bei einem Rabatt sinkt ein Ausgangswert. Bei einem Aufschlag steigt er. Der Ausgangswert ist jeweils der Grundwert und entspricht 100 %.
- Nach 15 % Rabatt bleiben $100\,\%-15\,\%=85\,\%$.
- Nach 20 % Aufschlag beträgt der neue Wert $100\,\%+20\,\%=120\,\%$.
Eine Jacke kostet ursprünglich 80 €. Sie wird um 15 % reduziert.
Zuerst berechnest du den Rabatt:
$$0{,}15\cdot80\,€=12\,€$$
Dann ziehst du ihn vom ursprünglichen Preis ab:
$$80\,€-12\,€=68\,€$$
Du kannst auch direkt mit dem verbleibenden Anteil rechnen:
$$0{,}85\cdot80\,€=68\,€$$
Antwort: Die Jacke kostet nach dem Rabatt 68 €.
Ein Prozentsatz über 100 % ist möglich. Nach einem Aufschlag von 20 % entspricht der neue Wert 120 % des Ausgangswerts. Bei 80 € wären das $1{,}2\cdot80\,€=96\,€$.
Mit Dreisatz und Kopfrechentricks arbeiten
Formeln sind nicht der einzige Rechenweg. Beim Dreisatz ordnest du Prozentangabe und Wert einander zu und rechnest mit derselben Operation auf beiden Seiten.
Berechne 20 % von 360 € mit dem Dreisatz.
| Anteil | Wert |
|---|---|
| 100 % | 360 € |
| 1 % | 3,60 € |
| 20 % | 72 € |
Von 100 % auf 1 % teilst du durch 100. Von 1 % auf 20 % multiplizierst du mit 20. Deshalb sind 20 % von 360 € genau 72 €.
Bei passenden Prozentsätzen kannst du Brüche nutzen:
- $50\,\%=\frac{1}{2}$: halbiere den Grundwert.
- $25\,\%=\frac{1}{4}$: teile den Grundwert durch 4.
- $20\,\%=\frac{1}{5}$: teile den Grundwert durch 5.
- $12{,}5\,\%=\frac{1}{8}$: teile den Grundwert durch 8.
12,5 % von 24 Personen sind wegen $12{,}5\,\%=\frac{1}{8}$ schnell berechnet:
$$24:8=3$$
Antwort: 12,5 % von 24 Personen sind 3 Personen.
Für den Prozentwert gilt der Vertauschungstrick: $a\,\%$ von $b$ ist genauso viel wie $b\,\%$ von $a$. Zum Beispiel sind 4 % von 50 ebenso viel wie 50 % von 4. Dieser Trick gilt nur beim Berechnen eines Prozentwerts.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Prozentrechnung
- Bedeutung: Anteil von Hundert
- Umwandlung: Prozentzahl durch 100
- Drei Größen
- Grundwert: das Ganze
- Prozentwert: der Teil
- Prozentsatz: der relative Anteil
- Drei Grundaufgaben
- Teil gesucht: multiplizieren
- Anteil gesucht: Teil durch Ganzes
- Ganzes gesucht: durch Dezimalanteil teilen
- Anwendungen
- Rabatt: unter 100 %
- Aufschlag: über 100 %
- Rechenwege
- Formel
- Dreisatz
- Bruch und Kopfrechnen
- Bedeutung: Anteil von Hundert
Abschluss-Check
Prüfe bei jeder Prozentaufgabe zum Schluss: Passt die Einheit? Ist das Ergebnis im Sachzusammenhang sinnvoll? Ein Anteil unter 100 % darf zum Beispiel nicht größer als der zugehörige positive Grundwert sein.