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Prozentrechner: Formeln, Beispiele und Übungen
Mit einem Prozentrechner findest du die fehlende Größe, sobald zwei Größen bekannt sind: das Ganze, den Anteil oder den Prozentsatz. Entscheidend ist zuerst die Frage: Was sind 100 %?
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die drei Größen sicher erkennen
Prozent bedeutet „von hundert“. Deshalb sind $25\,\%=\frac{25}{100}=0{,}25$. Das Ganze entspricht immer 100 %.
Grundwert G
Der Grundwert ist das Ganze, auf das sich die Prozentangabe bezieht. Er entspricht 100 %.
Prozentwert W
Der Prozentwert ist der konkrete Teil des Ganzen. Grundwert und Prozentwert haben dieselbe Einheit, zum Beispiel Euro oder Personen.
Prozentsatz p %
Der Prozentsatz beschreibt, wie groß der Teil im Verhältnis zum Ganzen ist. In $25\,\%$ ist 25 die Prozentzahl $p$; als Dezimalzahl lautet der Prozentsatz $0{,}25$.
Achte in Textaufgaben auf die Rollen der Zahlen:
- „15 % von 240 €“: 240 € sind das Ganze, also $G$.
- „36 von 240 Personen“: 36 ist der Teil $W$, 240 ist das Ganze $G$.
- „42 € sind 6 % eines Betrags“: 42 € sind $W$, 6 % sind der Prozentsatz; gesucht ist $G$.
Die passende Grundaufgabe wählen
Schreibe zuerst auf, was gegeben und was gesucht ist. Dann brauchst du nur eine der drei Beziehungen.
Prozentwert berechnen
Gesucht ist der Teil:
$$W=G\cdot\frac{p}{100}$$
Gesucht sind 15 % von 240 €.
Gegeben: $G=240\,€$ und $p=15$. Gesucht: $W$.
$$W=240\,€\cdot\frac{15}{100}=240\,€\cdot0{,}15=36\,€$$
15 % von 240 € sind 36 €.
Prozentsatz berechnen
Gesucht ist der relative Anteil:
$$p=\frac{W}{G}\cdot100$$
36 von 240 Personen nehmen teil.
Gegeben: $W=36$ Personen und $G=240$ Personen. Gesucht: $p$.
$$p=\frac{36}{240}\cdot100=15$$
36 von 240 Personen sind 15 %.
Grundwert berechnen
Gesucht ist das Ganze:
$$G=\frac{W\cdot100}{p}$$
42 € entsprechen 6 % eines Guthabens.
Gegeben: $W=42\,€$ und $p=6$. Gesucht: $G$.
$$G=\frac{42\,€\cdot100}{6}=700\,€$$
Das gesamte Guthaben beträgt 700 €.
Suche nicht zuerst nach einer Formel. Frage zuerst: Kenne ich das Ganze, den Teil oder den Prozentsatz?
Mit dem Dreisatz rechnen
Der Dreisatz zeigt, warum die Prozentformeln funktionieren. Er ist besonders hilfreich, wenn du die Beziehung der Größen noch unsicher findest.
Berechne 15 % von 240.
- 100 % entsprechen 240.
- 1 % entspricht $240:100=2{,}4$.
- 15 % entsprechen $2{,}4\cdot15=36$.
Also sind 15 % von 240 gleich 36.
Beim Grundwert kannst du den Weg umkehren. Wenn 6 % gleich 42 € sind, dann ist 1 % gleich $42\,€:6=7\,€$ und 100 % sind $7\,€\cdot100=700\,€$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei 15 % von 240 gilt: 100 % entsprechen . Ein Prozent entspricht . Deshalb entsprechen 15 % dem Wert .
Veränderungen und Rabatte berechnen
Bei einer Änderung ist der Ausgangswert die Bezugsgröße und entspricht 100 %. Eine Abnahme um 20 % lässt 80 % übrig; eine Zunahme um 20 % führt zu 120 %.
Für den Endwert gilt:
$$\text{Endwert}=\text{Ausgangswert}\cdot\left(1\pm\frac{p}{100}\right)$$
Ein Artikel kostet 80 € und wird um 20 % reduziert.
Nach dem Rabatt bleiben $100\,\%-20\,\%=80\,\%$. Der Faktor ist $0{,}8$.
$$80\,€\cdot0{,}8=64\,€$$
Der neue Preis beträgt 64 €.
Wenn Anfangs- und Endwert bekannt sind, beziehst du die Differenz auf den Anfangswert:
$$\text{Veränderung in Prozent}=\frac{\text{Endwert}-\text{Ausgangswert}}{\text{Ausgangswert}}\cdot100\,\%$$
Von 100 € auf 120 € beträgt die Veränderung
$$\frac{120\,€-100\,€}{100\,€}\cdot100\,\%=20\,\%.$$
Ist nach einer Erhöhung nur der Endwert bekannt, teilst du durch den Gesamtfaktor. Kostet ein Produkt nach 20 % Erhöhung 84 €, dann war der Ausgangspreis
$$84\,€:1{,}2=70\,€.$$
Typische Prozentfallen vermeiden
Die Bezugsgröße entscheidet
200 sind 400 % von 50, aber 300 % mehr als 50. Die ursprünglichen 50 entsprechen bereits 100 % und werden bei der Veränderung abgezogen.
Umgekehrt sind 50 nur 25 % von 200 und damit 75 % weniger als 200. Die beiden Richtungen liefern verschiedene Veränderungen, weil die Bezugsgröße wechselt.
Gleiche Prozentsätze heben sich nicht auf
100 € steigen um 20 % auf 120 €. Fallen die 120 € anschließend um 20 %, ergibt sich
$$120\,€\cdot0{,}8=96\,€.$$
Die zweite Änderung bezieht sich auf 120 €, nicht auf 100 €.
Auch mehrere Rabatte werden nacheinander angewandt. 20 % und danach 10 % Rabatt lassen
$$0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72$$
des Ausgangspreises übrig. Das sind 72 %; der Gesamtrabatt beträgt 28 %, nicht 30 %.
Prozent und Prozentpunkte sind verschieden
Steigt ein Anteil von 2 % auf 3 %, sind das 1 Prozentpunkt mehr. Relativ zum alten Wert von 2 % ist der Anstieg aber
$$\frac{3-2}{2}\cdot100\,\%=50\,\%.$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Prozentrechner
- Größen erkennen: Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz
- Grundaufgaben: Teil, Anteil oder Ganzes berechnen
- Dreisatz: über 1 % zum gesuchten Wert
- Veränderungen: Ausgangswert als Bezugsgröße
- Rückrechnung: durch den Gesamtfaktor teilen
- Prüfung: Einheit, Bezugsgröße und Plausibilität