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Prozentuale Veränderung berechnen
Eine prozentuale Veränderung zeigt, wie stark sich ein Wert im Verhältnis zu seinem Anfangswert verändert hat. Bei einem positiven Anfangswert ungleich null rechnest du:
$$\text{prozentuale Veränderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}\cdot100\%$$
Ein positives Ergebnis bedeutet eine Zunahme, ein negatives Ergebnis eine Abnahme.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Anfangs- und Endwert richtig erkennen
Was war vorher, und was gilt danach? Der Anfangswert ist der Wert vor der Veränderung. Der Endwert ist der Wert danach.
Absolute Änderung
Die absolute Änderung ist die Differenz aus Endwert und Anfangswert:
$$\text{absolute Änderung}=\text{Endwert}-\text{Anfangswert}$$
Sie hat dieselbe Einheit wie die beiden Werte, zum Beispiel Euro oder Kilogramm.
Ein Preis sinkt von $80\,€$ auf $68\,€$. Dann ist $80\,€$ der Anfangswert und $68\,€$ der Endwert. Die absolute Änderung beträgt $68\,€-80\,€=-12\,€$.
Wörter wie „zuerst“, „vorher“ oder „ursprünglich“ weisen oft auf den Anfangswert hin. „Jetzt“, „danach“ oder „neu“ weisen oft auf den Endwert hin.
Bei einem Anfangswert von $0$ ist die prozentuale Veränderung mit dieser Formel nicht definiert, weil eine Division durch $0$ unmöglich ist.
Die Veränderung in Prozent berechnen
Wie wird aus einer Änderung in Euro oder Stück eine Prozentangabe? Du setzt die absolute Änderung ins Verhältnis zum Anfangswert.
Kopfhörer werden von $40\,€$ auf $50\,€$ teurer.
- Absolute Änderung: $50\,€-40\,€=10\,€$.
- Bezug auf den Anfangswert: $\frac{10\,€}{40\,€}=0{,}25$.
- Umrechnung in Prozent: $0{,}25\cdot100\%=25\%$.
Der Preis ist also um $25\%$ gestiegen. Die Einheiten Euro kürzen sich im Bruch; das Ergebnis ist eine relative Angabe.
Bei einer Abnahme wird die Differenz negativ. Von $40\,€$ auf $30\,€$ gilt:
$$\frac{30-40}{40}\cdot100\%=-25\%$$
Das bedeutet: Der Preis ist um $25\%$ gesunken.
Den Endwert mit dem Prozentfaktor bestimmen
Du kennst den Anfangswert und die Änderung in Prozent, aber nicht den Endwert? Dann fasst der Prozentfaktor die ursprünglichen $100\%$ und die Änderung zusammen.
Prozentfaktor
Bei einer Zunahme um $p\%$ gilt $q=1+\frac{p}{100}$. Bei einer Abnahme um $p\%$ gilt $q=1-\frac{p}{100}$.
Mit dem Faktor berechnest du:
$$\text{Endwert}=q\cdot\text{Anfangswert}$$
Ein Pullover kostet $50\,€$ und wird um $10\%$ reduziert.
Der verbleibende Anteil ist $100\%-10\%=90\%$. Daher ist $q=0{,}9$.
$$\text{Endwert}=0{,}9\cdot50\,€=45\,€$$
Nach dem Rabatt kostet der Pullover $45\,€$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei einer Erhöhung um $15\%$ lautet der Faktor . Bei einer Senkung um $22\%$ lautet er . Ein Faktor größer als $1$ steht für eine .
Den Anfangswert zurückrechnen
Manchmal kennst du nur den Endwert und die prozentuale Änderung. Weil der Endwert durch Multiplikation mit $q$ entstanden ist, machst du diese Operation durch Division rückgängig:
$$\text{Anfangswert}=\frac{\text{Endwert}}{q}$$
Die Rückrechnung funktioniert nur für $q\neq0$. Bei einer Abnahme um $100\%$ ist $q=0$ und der Endwert immer $0$. Aus diesem Endwert lässt sich der Anfangswert nicht eindeutig bestimmen.
Nach einem Rabatt von $15\%$ kostet ein Rucksack $68\,€$. Wie teuer war er vorher?
- Der Faktor der Abnahme ist $q=1-0{,}15=0{,}85$.
- Rückrechnung: $\text{Anfangswert}=68\,€:0{,}85=80\,€$.
- Kontrolle: $15\%$ von $80\,€$ sind $12\,€$; $80\,€-12\,€=68\,€$.
Der ursprüngliche Preis war $80\,€$.
Typische Denkfehler vermeiden
„Um“ ist nicht dasselbe wie „auf“
Eine Erhöhung um $25\%$ führt auf $125\%$ des Anfangswerts. Der Änderungssatz ist $25\%$, der Faktor ist $1{,}25$.
Die Richtung des Vergleichs zählt
Von $50$ auf $200$ beträgt die Zunahme $300\%$, denn $200$ sind $400\%$ von $50$, also $300\%$ mehr. In der Gegenrichtung von $200$ auf $50$ beträgt die Abnahme dagegen $75\%$.
Die prozentuale Veränderung bezieht sich immer auf den jeweiligen Anfangswert. Vertauschst du Anfangs- und Endwert, ändert sich deshalb nicht nur das Vorzeichen.
Gleiche Prozentsätze heben sich nicht auf
Steigt ein Wert von $100$ zunächst um $20\%$, erhältst du $120$. Sinkt dieser neue Wert anschließend um $20\%$, rechnest du $120\cdot0{,}8=96$. Die Abnahme bezieht sich auf $120$, nicht auf $100$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Prozentuale Veränderung
- Aus zwei Werten: Differenz durch Anfangswert mal $100\%$
- Zum Endwert: Anfangswert mal Prozentfaktor
- Zum Anfangswert: Endwert durch Prozentfaktor, sofern dieser nicht $0$ ist
- Deutung: positives Ergebnis Zunahme, negatives Ergebnis Abnahme
- Fehlerkontrolle: Bezugswert, Faktor und Richtung prüfen