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Histogramm erstellen und richtig interpretieren
Ein Histogramm zeigt die Verteilung klassierter Daten. Entscheidend ist die Fläche jedes Rechtecks: Sie stellt die Häufigkeit der Klasse dar. Die Höhe allein genügt nur bei gleich breiten Klassen zum direkten Vergleich.
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Woran du ein Histogramm erkennst
Bei vielen Messwerten wäre eine Liste schnell unübersichtlich. Deshalb fasst du benachbarte Werte zu Klassen zusammen, zum Beispiel Altersangaben von 20 bis unter 30 Jahren.
Histogramm
Ein Histogramm stellt die Häufigkeitsverteilung klassierter Daten durch direkt aneinandergrenzende Rechtecke dar. Die Breite eines Rechtecks entspricht der Klassenbreite, seine Fläche der Klassenhäufigkeit.
Die Formulierung „20 bis unter 30“ legt die Grenzen eindeutig fest: 20 gehört zu dieser Klasse, 30 bereits zur nächsten.
Ein Histogramm ist kein gewöhnliches Säulendiagramm:
- Beim Histogramm liegt auf der x-Achse eine geordnete Werteskala. Die Rechtecke grenzen aneinander.
- Beim Säulendiagramm stehen getrennte Kategorien auf der x-Achse. Zwischen den Säulen können Abstände liegen.
Breite × Höhe = Fläche = Häufigkeit. Bei verschieden breiten Klassen vergleichst du deshalb die Flächen und nicht nur die Höhen.
So erstellst du ein Histogramm
Gehe in fünf Schritten vor:
- Teile den Wertebereich in aneinandergrenzende Klassen ein.
- Bestimme für jede Klasse die Klassenbreite $b_i$.
- Zähle die absolute Klassenhäufigkeit $n_i$.
- Berechne die Häufigkeitsdichte $h_i$.
- Trage auf der x-Achse die Klassengrenzen mit ihrer Einheit und auf der y-Achse die Häufigkeitsdichte ein. Zeichne über jeder Klasse ein Rechteck mit der Breite $b_i$ und der Höhe $h_i$.
Die Häufigkeitsdichte berechnest du mit
$$h_i=\frac{n_i}{b_i}$$
Diese Formel folgt aus der Flächenformel: Weil $b_i\cdot h_i=n_i$ gelten soll, teilst du die Häufigkeit durch die Breite.
20 Personen werden nach ihrem Alter geordnet. Es entstehen fünf Klassen mit einer Breite von jeweils 10 Jahren.
| Alter in Jahren | Breite $b_i$ | Häufigkeit $n_i$ | Dichte $h_i$ |
|---|---|---|---|
| 0 bis unter 10 | 10 | 2 | 0,2 |
| 10 bis unter 20 | 10 | 5 | 0,5 |
| 20 bis unter 30 | 10 | 3 | 0,3 |
| 30 bis unter 40 | 10 | 6 | 0,6 |
| 40 bis unter 50 | 10 | 4 | 0,4 |
Für die erste Klasse gilt:
$$h_1=\frac{2}{10}=0{,}2$$
Zur Kontrolle berechnest du die Rechteckfläche: $10\cdot0{,}2=2$. Sie stimmt mit der Häufigkeit von 2 Personen überein.
Für die Klasse von 30 bis unter 40 Jahren ergibt die Kontrolle $10\cdot0{,}6=6$. Auch hier entspricht die Fläche genau der Personenzahl.
Weil alle Klassen gleich breit sind, sind Häufigkeit und Dichte proportional. Das höchste Rechteck gehört deshalb in diesem Beispiel auch zur häufigsten Klasse.
Übung: Erstelle selbst ein Histogramm
Gegeben sind zehn Wartezeiten in Minuten:
1, 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14
Ordne die Werte den Klassen 0 bis unter 5, 5 bis unter 10 und 10 bis unter 15 Minuten zu. Bestimme Häufigkeit und Dichte jeder Klasse. Skizziere anschließend das Histogramm.
Lösung zur Übung
Alle Klassen sind 5 Minuten breit.
| Wartezeit in Minuten | Häufigkeit $n_i$ | Dichte $h_i=n_i:5$ |
|---|---|---|
| 0 bis unter 5 | 3 | 0,6 |
| 5 bis unter 10 | 3 | 0,6 |
| 10 bis unter 15 | 4 | 0,8 |
Auf der x-Achse markierst du die Grenzen 0, 5, 10 und 15 Minuten. Die drei angrenzenden Rechtecke sind jeweils 5 Minuten breit und 0,6, 0,6 beziehungsweise 0,8 Beobachtungen pro Minute hoch.
Die Flächenkontrolle ergibt $5\cdot0{,}6=3$, $5\cdot0{,}6=3$ und $5\cdot0{,}8=4$. Damit stimmen alle Flächen mit den gezählten Häufigkeiten überein.
Warum unterschiedliche Klassenbreiten wichtig sind
Sind die Klassen verschieden breit, können die absoluten Häufigkeiten nicht einfach als Rechteckhöhen verwendet werden. Ein breites Rechteck würde sonst allein wegen seiner Breite zu viel Fläche erhalten.
20 Personen werden drei verschieden breiten Geburtsjahrklassen zugeordnet.
| Klasse | Geburtsjahre | Breite $b_i$ | Häufigkeit $n_i$ | Dichte $h_i$ |
|---|---|---|---|---|
| Babyboomer | 1955 bis unter 1970 | 15 | 3 | 0,2 |
| Generation X | 1970 bis unter 1980 | 10 | 7 | 0,7 |
| Generation Y | 1980 bis unter 2000 | 20 | 10 | 0,5 |
Generation X besitzt mit 0,7 das höchste Rechteck. Die größte Häufigkeit hat jedoch Generation Y mit 10 Personen.
Für Generation Y zeigt die Fläche die Häufigkeit:
$$20\cdot0{,}5=10$$
Du darfst hier also nicht aus dem höchsten Rechteck auf die häufigste Klasse schließen. Du musst die Flächen vergleichen.
Bei einem relativen Histogramm entspricht jede Rechteckfläche dem Anteil an allen Beobachtungen. Für insgesamt $N$ Beobachtungen gilt:
$$h_{i,\mathrm{rel}}=\frac{n_i}{N\cdot b_i}$$
Die Summe aller Flächen beträgt dann 1, also 100 %. Beim absoluten Histogramm beträgt sie dagegen $N$.
So interpretierst du ein Histogramm kritisch
Ein Histogramm ist nicht allein durch die Daten festgelegt. Auch die Zahl, Breite und Lage der Klassen beeinflussen seine Form. Derselbe Datensatz kann deshalb bei einer anderen Klasseneinteilung anders wirken.
Prüfe ein Histogramm mit diesen Fragen:
- Welche Werte umfasst jede Klasse?
- Sind die Klassen gleich oder unterschiedlich breit?
- Zeigt die Fläche absolute Häufigkeiten oder relative Anteile?
- Sind beide Achsen maßstabsgetreu beschriftet?
- Würde eine andere Klassenbreite ein anderes Muster hervorheben?
Sehr breite Klassen können Unterschiede verdecken. Sehr schmale Klassen können eine unruhige Darstellung erzeugen. Auch eine Verschiebung der ersten Klassengrenze kann die sichtbare Form verändern.
Ein hohes Rechteck ist nicht automatisch ein häufiges Rechteck. Bei verschiedenen Klassenbreiten kann ein niedrigeres, aber breiteres Rechteck die größere Häufigkeit besitzen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Histogramm
- Aufbau
- aneinandergrenzende Klassen
- Breite zeigt Klassenbreite
- Fläche zeigt Häufigkeit
- Berechnung
- Dichte gleich Häufigkeit durch Breite
- Kontrolle mit Breite mal Höhe
- Interpretation
- gleiche Breiten erlauben Höhenvergleich
- verschiedene Breiten verlangen Flächenvergleich
- Klassenwahl beeinflusst die Darstellung
- Aufbau