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Manche Gleichungen haben mit den reellen Zahlen keine Lösung, zum Beispiel \(x^2=-1\). Komplexe Zahlen erweitern den Zahlenbereich so, dass solche Gleichungen sinnvoll lösbar werden.
- Ich kann die imaginäre Einheit $i$ erklären.
- Ich kann komplexe Zahlen in der Form $a+bi$ lesen.
- Ich kann komplexe Zahlen addieren, subtrahieren und multiplizieren.
- Ich kann Betrag und konjugiert komplexe Zahl deuten.
Warum komplexe Zahlen entstehen
Bei reellen Zahlen ist kein Quadrat negativ. Deshalb braucht man eine neue Zahl, deren Quadrat \(-1\) ist.
Imaginäre Einheit
Die imaginäre Einheit heißt \(i\) und ist durch \(i^2=-1\) definiert.
Die Gleichung \(x^2=-9\) hat keine reelle Lösung. Mit \(i\) gilt: \(x=3i\) oder \(x=-3i\), denn \((3i)^2=9i^2=-9\).
\(i\) ist keine Abkürzung für eine reelle Zahl. Es ist eine neue Einheit mit der Regel \(i^2=-1\).
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Form \(a+bi\)
Eine komplexe Zahl besteht aus Realteil und Imaginärteil.
Komplexe Zahl
Eine komplexe Zahl hat die Form \(z=a+bi\). Dabei sind \(a\) und \(b\) reelle Zahlen. \(a\) heißt Realteil, \(b\) heißt Imaginärteil.
Bei \(z=5-2i\) ist der Realteil \(5\) und der Imaginärteil \(-2\).
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Rechnen mit komplexen Zahlen
Du rechnest mit Realteilen und Imaginärteilen getrennt. Beim Multiplizieren ersetzt du \(i^2\) durch \(-1\).
\((3+2i)+(4-5i)=7-3i\).
Die Realteile ergeben \(3+4=7\). Die Imaginärteile ergeben \(2i-5i=-3i\).
\((2+i)(3-4i)=6-8i+3i-4i^2=6-5i+4=10-5i\).
Betrag und konjugierte Zahl
Die konjugiert komplexe Zahl spiegelt das Vorzeichen des Imaginärteils. Der Betrag ist der Abstand vom Ursprung in der Zahlenebene.
Konjugation und Betrag
Zu \(z=a+bi\) gehört \(\overline{z}=a-bi\). Der Betrag ist \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).
Für \(z=3+4i\) gilt \(\overline{z}=3-4i\) und \(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\).
Prüfungsmodus
Ordne zuerst: Realteil, Imaginärteil, Rechenart. Bei Produkten musst du am Ende alle \(i^2\) ersetzen.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Komplexe Zahlen haben die Form \(a+bi\) und beruhen auf \(i^2=-1\). Du rechnest fast wie mit Termen, ersetzt aber \(i^2\) konsequent durch \(-1\). Realteil, Imaginärteil, Konjugation und Betrag geben dir Struktur.