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Komplexe Zahlen: Rechnen und Darstellen
Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen um die imaginäre Einheit $i$ mit $i^2=-1$. Dadurch wird zum Beispiel die Gleichung $x^2=-1$ lösbar: Ihre Lösungen sind $i$ und $-i$.
Auf dieser Seite lernst du, komplexe Zahlen darzustellen, zu berechnen und zwischen kartesischer Form und Polarform zu wechseln.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum braucht man komplexe Zahlen?
Im Bereich der reellen Zahlen kann kein Quadrat negativ sein. Deshalb besitzt $x^2=-1$ dort keine Lösung. Mit der Festlegung
$$i^2=-1$$
entsteht ein erweiterter Zahlbereich: die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb C$.
Komplexe Zahl
Jede komplexe Zahl lässt sich eindeutig in der Form
$$z=a+bi$$
schreiben. Dabei sind $a$ und $b$ reelle Zahlen. Es gilt:
- $a$ ist der Realteil: $\operatorname{Re}(z)=a$.
- $b$ ist der Imaginärteil: $\operatorname{Im}(z)=b$.
Der Imaginärteil ist der reelle Koeffizient $b$, nicht der Ausdruck $bi$.
Für $z=5-3i$ gilt also $\operatorname{Re}(z)=5$ und $\operatorname{Im}(z)=-3$.
Ist $b=0$, dann ist $z=a$ eine reelle Zahl. Ist $a=0$, nennt man $z=bi$ rein imaginär. Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihre Realteile und ihre Imaginärteile jeweils übereinstimmen.
Allgemeine komplexe Zahlen lassen sich nicht wie reelle Zahlen mit „größer als“ oder „kleiner als“ ordnen.
Wie zeigt die gaußsche Ebene eine komplexe Zahl?
Die komplexe Zahl $z=a+bi$ entspricht dem Punkt $(a,b)$ in der gaußschen Zahlenebene:
- Die waagerechte Achse zeigt den Realteil.
- Die senkrechte Achse zeigt den Imaginärteil.
$3+4i$ liegt daher beim Punkt $(3,4)$. Der Pfeil vom Ursprung zu diesem Punkt kann zugleich als Vektor aufgefasst werden.
Betrag
Der Betrag $|z|$ ist der Abstand der Zahl $z=a+bi$ vom Ursprung. Nach dem Satz des Pythagoras gilt
$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$
Für $z=3+4i$ ist
$$|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.$$
Der Punkt $(3,4)$ hat also den Abstand $5$ vom Ursprung.
Die komplex konjugierte Zahl zu $z=a+bi$ lautet
$$\bar z=a-bi.$$
Beim Konjugieren bleibt der Realteil gleich, während der Imaginärteil sein Vorzeichen wechselt. Geometrisch wird der Punkt an der reellen Achse gespiegelt.
Für $z=3+4i$ ist $\bar z=3-4i$. Außerdem gilt
$$z\bar z=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2.$$
Konjugation spiegelt an der reellen Achse. Der Betrag misst den Abstand vom Ursprung.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Zahl $z=6-2i$ hat den Realteil , den Imaginärteil und die konjugierte Zahl . In der gaußschen Ebene gehört sie zum Punkt .
Wie funktionieren die vier Grundrechenarten?
Für $z=a+bi$ und $w=c+di$ werden Realteil und Imaginärteil getrennt geordnet.
Addieren und subtrahieren
$$z+w=(a+c)+(b+d)i$$
$$z-w=(a-c)+(b-d)i$$
Für $z=5+3i$ und $w=4+2i$ gilt:
$$z+w=(5+4)+(3+2)i=9+5i$$
$$z-w=(5-4)+(3-2)i=1+i.$$
Multiplizieren
Du multiplizierst wie bei zwei Klammern und ersetzt anschließend $i^2$ durch $-1$:
$$zw=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$$
Für $z=5+3i$ und $w=4+2i$ erhältst du
$$zw=20+10i+12i+6i^2.$$
Wegen $i^2=-1$ wird daraus
$$zw=20+22i-6=14+22i.$$
Dividieren
Bei der Division soll im Nenner kein Imaginärteil bleiben. Dazu erweiterst du mit der konjugierten Zahl des Nenners. Für $w=c+di\ne0$ gilt
$$\frac{z}{w}=\frac{z\bar w}{w\bar w}.$$
Der Nenner wird reell, denn $w\bar w=c^2+d^2$.
Berechne $\frac{5+3i}{4+2i}$.
- Die konjugierte Zahl des Nenners ist $4-2i$.
- Erweitere Zähler und Nenner mit $4-2i$:
$$\frac{5+3i}{4+2i}=\frac{(5+3i)(4-2i)}{(4+2i)(4-2i)}.$$
- Berechne beide Produkte:
$$(5+3i)(4-2i)=20-10i+12i-6i^2=26+2i$$
$$(4+2i)(4-2i)=4^2+2^2=20.$$
- Teile Realteil und Imaginärteil durch $20$:
$$\frac{5+3i}{4+2i}=\frac{26+2i}{20}=\frac{13}{10}+\frac{1}{10}i.$$
Der Nenner ist nicht null, und eine Rückmultiplikation mit $4+2i$ bestätigt das Ergebnis.
Bei einer Division multiplizierst du Zähler und Nenner mit der konjugierten Zahl des Nenners. Nur den Nenner zu verändern wäre keine zulässige Erweiterung.
Wann ist die Polarform besonders nützlich?
Die kartesische Form $a+bi$ zeigt die beiden Koordinaten. Die Polarform beschreibt eine von null verschiedene komplexe Zahl durch ihren Betrag $r$ und einen Winkel $\varphi$:
$$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=re^{i\varphi}.$$
Dabei gilt
$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad a=r\cos\varphi,\qquad b=r\sin\varphi.$$
Der Winkel $\varphi$ heißt Argument. Er wird von der positiven reellen Achse aus gemessen. Da eine volle Drehung nichts ändert, beschreiben $\varphi$ und $\varphi+2\pi k$ für jede ganze Zahl $k$ denselben Punkt. Für $z=0$ ist kein Argument bestimmt.
Den richtigen Quadranten finden
Der Ausdruck $\arctan(b/a)$ allein reicht nicht immer aus. Du musst zusätzlich die Vorzeichen von $a$ und $b$ beachten:
- $a>0$: Der Arkustangenswert liegt auf der richtigen Seite der Ebene.
- $a<0$: Eine Korrektur um $\pi$ kann nötig sein.
- $a=0$ und $b>0$: $\varphi=\frac{\pi}{2}$.
- $a=0$ und $b<0$: $\varphi=-\frac{\pi}{2}$.
Eine quadrantenrichtige Zweiarctangens-Funktion erledigt diese Fallunterscheidung direkt.
Für $z=-1+\sqrt{3}i$ gilt
$$r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2.$$
Der Punkt liegt im zweiten Quadranten. Ein passendes Argument ist $\varphi=\frac{2\pi}{3}$, denn
$$2\cos\frac{2\pi}{3}=-1$$
und
$$2\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3}.$$
Damit lautet die Polarform
$$z=2e^{i2\pi/3}.$$
In Polarform werden Multiplikation und Division besonders übersichtlich:
$$r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2}=r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}$$
$$\frac{r_1e^{i\varphi_1}}{r_2e^{i\varphi_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)},\qquad r_2\ne0.$$
Geometrisch bedeutet eine Multiplikation: Die Beträge werden multipliziert und die Winkel addiert. Die Zahl wird also gestreckt und gedreht.
Wie berechnet man Potenzen und Wurzeln?
Die Potenzen von $i$ wiederholen sich in einem Viererzyklus:
$$i^0=1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1.$$
Für einen großen nichtnegativen Exponenten bestimmst du deshalb den Rest bei der Division durch $4$. Da $7$ den Rest $3$ besitzt, gilt $i^7=i^3=-i$.
Für eine komplexe Zahl in Polarform liefert der Satz von de Moivre
$$\left(re^{i\varphi}\right)^n=r^ne^{in\varphi}.$$
Du potenzierst also den Betrag und multiplizierst den Winkel mit $n$.
Die Zahl $z=2e^{i\pi/3}$ wird quadriert:
$$z^2=2^2e^{i2\pi/3}=4e^{i2\pi/3}.$$
Der Betrag wächst von $2$ auf $4$, der Winkel verdoppelt sich.
Vertiefung: Alle n-ten Wurzeln
Für $z=re^{i\varphi}\ne0$ besitzt die Gleichung $w^n=z$ genau $n$ verschiedene Lösungen:
$$w_k=\sqrt[n]{r}\,e^{i(\varphi+2\pi k)/n},\qquad k=0,1,\ldots,n-1.$$
Alle Lösungen haben denselben Betrag. Ihre Winkel unterscheiden sich jeweils um $\frac{2\pi}{n}$, sodass sie gleichmäßig auf einem Kreis liegen.
Gesucht sind die dritten Wurzeln von $8=8e^{i0}$:
$$w_k=2e^{i2\pi k/3},\qquad k=0,1,2.$$
Damit erhältst du drei Lösungen mit den Winkeln $0$, $\frac{2\pi}{3}$ und $\frac{4\pi}{3}$. Jede dieser Zahlen ergibt beim Kubieren wieder $8$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Komplexe Zahlen
- Kartesische Form: $a+bi$
- Gaußsche Ebene: Punkt $(a,b)$
- Betrag: Abstand vom Ursprung
- Konjugation: Spiegelung an der reellen Achse
- Addition und Subtraktion: Komponenten verbinden
- Multiplikation: ausmultiplizieren oder Drehstreckung nutzen
- Division: Nenner mit der Konjugierten reell machen
- Polarform: Betrag und Argument
- Potenzen: Betrag potenzieren und Winkel vervielfachen
- Wurzeln: gleichmäßig auf einem Kreis verteilen
Abschluss-Check
Wenn du Real- und Imaginärteil sauber trennst, $i^2=-1$ konsequent einsetzt und für jede Rechnung die passende Darstellungsform wählst, kannst du komplexe Zahlen systematisch statt durch bloßes Ausprobieren bearbeiten.