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Kotangens: Definition, Werte und Aufgaben
Der Kotangens eines Winkels ist im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete. Für allgemeine Winkel gilt $\cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Du lernst hier, den Kotangens zu bestimmen, seine Grenzen zu erkennen und mit ihm Seitenlängen zu berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Im rechtwinkligen Dreieck erkennen
Bezogen auf einen spitzen Winkel $\alpha$ heißen die beiden kürzeren Seiten:
- Gegenkathete: Sie liegt dem Winkel $\alpha$ gegenüber.
- Ankathete: Sie liegt am Winkel $\alpha$ an.
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie kommt in der Kotangensformel nicht vor.
Kotangens
Für einen spitzen Winkel $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck gilt:
$$\cot(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$$
Die Schreibweisen Kotangens und Cotangens bezeichnen dieselbe Funktion.
Das Verhältnis hängt nur vom Winkel ab. Vergrößerst oder verkleinerst du ein rechtwinkliges Dreieck, ändern sich beide Katheten im gleichen Maß und ihr Verhältnis bleibt gleich.
Die Ankathete zu $\alpha$ ist $8\,\text{cm}$ lang, die Gegenkathete $6\,\text{cm}$.
$$\cot(\alpha)=\frac{8\,\text{cm}}{6\,\text{cm}}=\frac{4}{3}$$
Die Einheiten kürzen sich. Der Kotangenswert $\frac{4}{3}$ ist daher eine Zahl ohne Einheit.
Beim Kotangens steht die Ankathete oben und die Gegenkathete unten.
Mit dem Kotangens eine Seite berechnen
Kennst du einen spitzen Winkel und eine Kathete, kannst du die Kotangensgleichung nach der fehlenden Kathete umstellen.
Gegeben sind $\cot(\alpha)=\frac{3}{2}$ und die Gegenkathete $g=4\,\text{cm}$. Gesucht ist die Ankathete $a$.
Zuerst setzt du die Angaben ein:
$$\frac{3}{2}=\frac{a}{4\,\text{cm}}$$
Dann multiplizierst du beide Seiten mit $4\,\text{cm}$:
$$a=\frac{3}{2}\cdot 4\,\text{cm}=6\,\text{cm}$$
Probe: $\frac{6\,\text{cm}}{4\,\text{cm}}=\frac{3}{2}$. Die Seitenlänge passt zum gegebenen Kotangenswert.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Kotangens steht die im Zähler und die im Nenner. Aus $\cot(\alpha)=\frac{a}{g}$ folgt durch Multiplikation mit $g$ die Gleichung $a=$.
Mit Sinus und Kosinus zusammenhängen
Für allgemeine Winkel wird der Kotangens über Sinus und Kosinus definiert:
$$\cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$$
Der Tangens vertauscht Zähler und Nenner:
$$\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$
Deshalb gilt auf dem gemeinsamen Definitionsbereich:
$$\cot(\alpha)=\frac{1}{\tan(\alpha)}$$
Die Kehrwertformel gilt nur, wenn die beteiligten Ausdrücke definiert sind. Bei $90^\circ$ ist $\cot(90^\circ)=0$, aber $\tan(90^\circ)$ ist nicht definiert. Dort darfst du den Kotangens also nicht als $1/\tan(90^\circ)$ berechnen.
Definitionslücken, Vorzeichen und Verlauf
Weil bei $\cot(\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ der Sinus im Nenner steht, darf $\sin(\alpha)$ nicht null sein.
Der Kotangens ist daher bei allen ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$ nicht definiert:
$$\alpha=k\cdot180^\circ\quad\text{mit }k\in\mathbb Z$$
Im Bogenmaß sind das die Winkel $\alpha=k\pi$. Dort besitzt der Graph senkrechte Asymptoten.
Die Vorzeichen folgen aus den Vorzeichen von Kosinus und Sinus:
| Quadrant | Vorzeichen von $\cot(\alpha)$ |
|---|---|
| I | positiv |
| II | negativ |
| III | positiv |
| IV | negativ |
Im dritten Quadranten sind Sinus und Kosinus beide negativ. Ihr Quotient ist deshalb positiv.
Weitere Eigenschaften:
- Der Kotangens hat die Periode $180^\circ$ beziehungsweise $\pi$.
- Es gilt $\cot(\alpha+180^\circ)=\cot(\alpha)$.
- Zwischen zwei benachbarten Definitionslücken fällt der Graph streng.
- Die Nullstellen liegen bei $90^\circ+k\cdot180^\circ$.
- Der Wertebereich ist die Menge aller reellen Zahlen.
Standardwerte und Taschenrechner
Diese Werte solltest du erkennen können:
| $\alpha$ | $\cot(\alpha)$ |
|---|---|
| $0^\circ$ | nicht definiert |
| $30^\circ$ | $\sqrt3$ |
| $45^\circ$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ |
| $90^\circ$ | $0$ |
| $120^\circ$ | $-\frac{\sqrt3}{3}$ |
| $135^\circ$ | $-1$ |
| $150^\circ$ | $-\sqrt3$ |
| $180^\circ$ | nicht definiert |
Viele Taschenrechner besitzen keine eigene COT-Taste. Wenn der Tangens definiert und nicht null ist, berechnest du:
$$\cot(\alpha)=\frac{1}{\tan(\alpha)}$$
Achte auf das Winkelmaß:
- DEG für Winkel in Grad,
- RAD für Winkel im Bogenmaß.
Für $60^\circ$ stellst du den Rechner auf DEG. Dann gilt:
$$\cot(60^\circ)=\frac{1}{\tan(60^\circ)}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kotangens
- Dreieck: Ankathete durch Gegenkathete
- Allgemein: Kosinus durch Sinus
- Kehrwertbeziehung zum Tangens
- Nicht definiert bei Vielfachen von $180^\circ$
- Null bei $90^\circ$ plus Vielfachen von $180^\circ$
- Periode $180^\circ$
- Berechnung von Seitenlängen
Abschluss-Check
Prüfe beim Rechnen immer in dieser Reihenfolge: Ordne Ankathete und Gegenkathete zum betrachteten Winkel zu, wähle die passende Formel, beachte Definitionslücken und kontrolliere Winkelmaß sowie Vorzeichen.