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Die Linearfaktorzerlegung macht aus einem Polynom ein Produkt. Dadurch siehst du Nullstellen sofort und kannst Gleichungen schneller lösen.
- Ich kann erklären, was ein Linearfaktor ist.
- Ich kann aus Nullstellen Faktoren bilden.
- Ich kann quadratische Terme in Linearfaktoren zerlegen.
- Ich kann durch Ausmultiplizieren prüfen.
Nullstellen werden Faktoren
Ein Faktor ist dann null, wenn einer seiner Teile null ist. Deshalb gehören Nullstellen und Linearfaktoren direkt zusammen.
Linearfaktorzerlegung
Bei der Linearfaktorzerlegung schreibst du ein Polynom als Produkt von Faktoren der Form \((x-a)\). Die Zahl \(a\) ist eine Nullstelle.
Die Nullstellen 2 und 3 führen zu
Setzt du \(x=2\) ein, wird der erste Faktor null. Setzt du \(x=3\) ein, wird der zweite Faktor null.
Nullstelle \(a\) bedeutet Faktor \((x-a)\).
Quadratische Terme zerlegen
Bei einfachen quadratischen Termen suchst du zwei Zahlen, deren Produkt der konstante Term und deren Summe der mittlere Koeffizient ist.
Gesucht: Produkt 6, Summe -5. Das sind -2 und -3.
Probe:
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Mit Vorfaktor oder Ausklammern
Manchmal steht vor dem Produkt noch ein Faktor oder du musst zuerst einen gemeinsamen Faktor ausklammern.
Nullstellen: \(x=0\) und \(x=4\). Der Vorfaktor 2 ändert die Nullstellen nicht.
Gemeinsame Faktoren zuerst ausklammern, dann weiter zerlegen.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Die Linearfaktorzerlegung zeigt, bei welchen x-Werten ein Polynom null wird. Aus Nullstellen entstehen Faktoren, und Ausmultiplizieren prüft deine Zerlegung.