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Linearfaktorzerlegung: Nullstellen sicher nutzen
Bei der Linearfaktorzerlegung schreibst du ein Polynom als Produkt. Zu jeder reellen Nullstelle $x_i$ gehört der Linearfaktor $(x-x_i)$. Dadurch kannst du Nullstellen direkt ablesen, Polynome untersuchen und gemeinsame Faktoren in Bruchtermen erkennen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie hängen Nullstelle und Linearfaktor zusammen?
Linearfaktor
Ein Linearfaktor ist ein Faktor der Form $(x-x_i)$. Setzt du $x=x_i$ ein, wird dieser Faktor null. Deshalb ist $x_i$ eine Nullstelle des Produkts.
Die wichtigste Zuordnung lautet:
$$x_i \longleftrightarrow (x-x_i)$$
Achte besonders auf negative Nullstellen:
- Aus $x_i=3$ wird $(x-3)$.
- Aus $x_i=-1$ wird $(x-(-1))=(x+1)$.
Die Nullstellen eines Polynoms sind $x_1=-1$ und $x_2=-3$. Der Leitkoeffizient ist $1$.
Daraus entstehen die Faktoren $(x+1)$ und $(x+3)$:
$$f(x)=(x+1)(x+3)$$
Die Probe durch Ausmultiplizieren ergibt:
$$f(x)=x^2+3x+x+3=x^2+4x+3$$
Im Faktor steht immer $x$ minus Nullstelle. Ist die Nullstelle negativ, entsteht deshalb ein Pluszeichen.
Wie zerlegst du ein quadratisches Polynom?
Für ein quadratisches Polynom mit den reellen Nullstellen $x_1$ und $x_2$ gilt:
$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$
Dabei ist $a$ der Leitkoeffizient, also der Faktor vor $x^2$ in der Normalform.
Gehe in fünf Schritten vor:
- Bestimme den Leitkoeffizienten $a$.
- Berechne die Nullstellen.
- Bilde zu jeder Nullstelle den Faktor $(x-x_i)$.
- Setze $a$ und die Linearfaktoren zusammen.
- Multipliziere zur Probe aus.
Gegeben ist
$$f(x)=2x^2-4x-16.$$
Für die Nullstellen setzt du $f(x)=0$ und teilst zunächst durch $2$:
$$x^2-2x-8=0.$$
Mit der p-q-Formel für $x^2+px+q=0$ erhältst du bei $p=-2$ und $q=-8$:
$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=1\pm3.$$
Also sind $x_1=4$ und $x_2=-2$. Die Faktoren lauten $(x-4)$ und $(x+2)$. Der ursprüngliche Leitkoeffizient bleibt erhalten:
$$f(x)=2(x-4)(x+2).$$
Probe:
$$2(x-4)(x+2)=2(x^2-2x-8)=2x^2-4x-16.$$
Doppelte oder fehlende reelle Nullstelle
Hat ein quadratisches Polynom nur eine doppelte Nullstelle $x_1$, tritt derselbe Faktor zweimal auf:
$$f(x)=a(x-x_1)^2.$$
Hat es keine reelle Nullstelle, ist im Bereich der reellen Zahlen keine vollständige Zerlegung in Linearfaktoren möglich.
Wie funktioniert die Zerlegung bei höheren Graden?
Bei einem Polynom dritten oder höheren Grades suchst du die Nullstellen schrittweise. Zuerst klammerst du gemeinsame Faktoren aus. Eine gefundene Nullstelle $N$ liefert danach den Faktor $(x-N)$.
Die Division durch diesen Faktor senkt den Grad des Polynoms um $1$. Ist $N$ tatsächlich eine Nullstelle, bleibt bei der Polynomdivision kein Rest.
Gegeben ist
$$f(x)=x^3-7x^2+14x-8.$$
Durch Einsetzen erkennst du $x_1=1$ als Nullstelle, denn $f(1)=0$. Deshalb ist $(x-1)$ ein Faktor.
Die Polynomdivision ergibt:
$$(x^3-7x^2+14x-8):(x-1)=x^2-6x+8.$$
Das Restpolynom besitzt die Nullstellen $2$ und $4$:
$$x^2-6x+8=(x-2)(x-4).$$
Damit lautet die vollständige Zerlegung:
$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-4).$$
Durch Ausmultiplizieren erhältst du wieder $x^3-7x^2+14x-8$.
Manchmal kannst du bereits eine Potenz von $x$ ausklammern:
$$x^3-6x^2+5x=x(x^2-6x+5)=x(x-5)(x-1).$$
Der ausgeklammerte Faktor $x$ zeigt sofort die Nullstelle $0$.
Findest du nicht genug reelle Nullstellen, kann ein Restpolynom ohne weitere reelle Nullstellen übrig bleiben. Die Zerlegung ist dann im Bereich der reellen Zahlen beendet.
Welche Sonderfälle und Fehler musst du beachten?
Drei Fehler treten besonders häufig auf:
- Falsches Vorzeichen: Aus der Nullstelle $-3$ wird $(x+3)$, nicht $(x-3)$.
- Vorfaktor vergessen: Bei $2x^2+3x+1$ gehört die $2$ auch in die Produktform: $2(x+0{,}5)(x+1)$.
- Probe ausgelassen: Erst das Ausmultiplizieren zeigt sicher, ob alle Faktoren und Vorzeichen stimmen.
Für
$$f(x)=2x^4+12x^3+16x^2-12x-18$$
wird zuerst $2$ ausgeklammert. Durch wiederholtes Abspalten der Nullstellen $1$ und $-1$ bleibt das quadratische Polynom $x^2+6x+9=(x+3)^2$ übrig.
Die Produktform lautet deshalb:
$$f(x)=2(x+3)^2(x+1)(x-1).$$
Die Potenz $2$ zeigt, dass $-3$ eine doppelte Nullstelle ist.
Wofür kannst du die Produktform nutzen?
Eine Funktion aus Nullstellen aufbauen
Sind die Nullstellen $-5$ und $1$ gegeben und soll der Leitkoeffizient $1$ sein, erhältst du:
$$f(x)=(x+5)(x-1)=x^2+4x-5.$$
Die Nullstellen allein legen den Vorfaktor nicht fest. Ohne zusätzliche Angabe wird hier der Leitkoeffizient $1$ gewählt.
Gemeinsame Faktoren in Bruchtermen erkennen
In Summen darfst du nicht einzelne Summanden kürzen. Zerlege zuerst Zähler und Nenner in Produkte:
$$\frac{x^2+4x-5}{x^2+x-2}=\frac{(x+5)(x-1)}{(x-1)(x+2)}.$$
Nun ist $(x-1)$ ein gemeinsamer Faktor:
$$\frac{(x+5)(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{x+5}{x+2}.$$
Dabei bleiben die Einschränkungen des ursprünglichen Terms erhalten: $x=1$ und $x=-2$ sind ausgeschlossen, weil der ursprüngliche Nenner dort null wird.
Kürzen ist nur bei gemeinsamen Faktoren erlaubt, nicht innerhalb von Summen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Linearfaktorzerlegung
- Nullstelle $x_i$ ergibt Faktor $(x-x_i)$
- Vorfaktor $a$ bleibt erhalten
- Quadratische Polynome werden über ihre Nullstellen zerlegt
- Höhere Polynome werden schrittweise durch Polynomdivision reduziert
- Doppelte Nullstellen erzeugen quadrierte Faktoren
- Ausmultiplizieren prüft die Zerlegung
- Produktformen machen gemeinsame Faktoren sichtbar
Abschluss-Check
Wenn du bei einer Zerlegung unsicher bist, prüfe in dieser Reihenfolge: Stimmen die Nullstellen mit den Faktoren überein? Ist der Vorfaktor vorhanden? Entsteht beim Ausmultiplizieren wieder die ursprüngliche Normalform?