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Polynomdivision wirkt lang, ist aber nur schriftliche Division mit Termen. Du nutzt sie, um Polynome zu zerlegen, Nullstellen auszuwerten und Funktionen besser zu verstehen.
Was du nach dieser Seite kannst
- Ich kann erkennen, wann Polynomdivision sinnvoll ist.
- Ich kann ein Polynom durch einen Linearfaktor teilen.
- Ich kann fehlende Potenzen mit 0 auffüllen.
- Ich kann Quotient und Rest deuten.
- Ich kann das Ergebnis durch Rückmultiplikation prüfen.
Division mit Polynomen
Bei der Polynomdivision teilst du einen Term mit Potenzen von \(x\) durch einen anderen Term. Der Ablauf ähnelt der schriftlichen Division: führenden Term teilen, multiplizieren, subtrahieren, nächsten Term herunterholen.
Polynomdivision
Polynomdivision ist ein Verfahren, mit dem ein Polynom durch ein anderes Polynom geteilt wird. Meist teilst du durch einen Linearfaktor wie \((x-2)\).
Teile \(x^2+5x+6\) durch \((x+2)\).
Der erste Quotientterm ist \(x\), denn \(x^2:x=x\).
Multipliziere: \(x(x+2)=x^2+2x\). Subtrahiere: \(3x+6\).
Nächster Term: \(3\), denn \(3x:x=3\). Multipliziere: \(3x+6\). Rest \(0\).
Also \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\).
Nach jedem Schritt muss der höchste noch übrige Term kleiner werden.
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Mit Rest und Probe
Nicht jede Division geht ohne Rest auf. Der Rest zeigt, was nach dem Teilen übrig bleibt. Die Probe lautet: Divisor mal Quotient plus Rest ergibt den Dividend.
Teile \(x^3-4x^2+x+6\) durch \((x-2)\).
Das Ergebnis ist \(x^2-2x-3\) mit Rest \(0\).
Probe: \((x-2)(x^2-2x-3)=x^3-4x^2+x+6\).
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Prüfungsmodus
Wenn \((x-a)\) ein Faktor ist, hat das Polynom bei \(x=a\) den Wert 0. Diese Verbindung zu Nullstellen wird in Prüfungen sehr oft genutzt.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Polynomdivision zerlegt Polynome systematisch. Wenn du Potenzen ordnest, sauber subtrahierst und mit Rückmultiplikation prüfst, wird das Verfahren zuverlässig.