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Polynomdivision: Anleitung, Beispiele und Übungen
Polynomdivision teilt ein Polynom schrittweise durch ein anderes. Dabei wiederholst du immer denselben Zyklus: Leitterme teilen, zurückmultiplizieren, subtrahieren, nächsten Term herunterholen. So erhältst du einen Quotienten und manchmal einen Rest.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Vor der Division richtig vorbereiten
Ein Polynom ist eine Summe aus Vielfachen von Potenzen einer Variablen, zum Beispiel $x^3+6x^2-32$. Der zu teilende Term heißt Dividend, der Term, durch den du teilst, Divisor. Das Ergebnis heißt Quotient.
Ordne Dividend und Divisor nach fallenden Potenzen. Fehlt eine Potenzstufe, setzt du ein Nullglied als Platzhalter ein:
$$x^3+6x^2-32=x^3+6x^2+0x-32$$
Ohne $0x$ können Terme verschiedener Potenzstufen versehentlich untereinander geraten.
Den Viererschritt anwenden
Bei jedem Durchgang arbeitest du mit dem höchsten noch vorhandenen Term.
- Teilen: Teile den Leitterm des aktuellen Restes durch den Leitterm des Divisors.
- Multiplizieren: Multipliziere den neuen Quotiententerm mit dem gesamten Divisor.
- Subtrahieren: Ziehe das Produkt vom aktuellen Rest ab.
- Herunterholen: Nimm den nächsten Term des Dividenden dazu.
Der feste Rhythmus lautet: teilen → multiplizieren → subtrahieren → herunterholen. Beim Subtrahieren wechseln alle Vorzeichen des abzuziehenden Produkts.
Berechne $(x^3+6x^2+0x-32):(x-2)$.
Erster Durchgang:
$$x^3:x=x^2$$
Der erste Quotiententerm ist $x^2$. Zurückmultipliziert ergibt er $x^2(x-2)=x^3-2x^2$. Nach der Subtraktion bleibt $8x^2$; anschließend holst du $0x$ herunter.
Zweiter Durchgang:
$$8x^2:x=8x$$
Nun ist $8x(x-2)=8x^2-16x$. Nach der Subtraktion bleibt $16x$; dann holst du $-32$ herunter.
Dritter Durchgang:
$$16x:x=16$$
Weil $16(x-2)=16x-32$ gilt, bleibt nach der letzten Subtraktion der Rest $0$.
Damit lautet das Ergebnis:
$$(x^3+6x^2-32):(x-2)=x^2+8x+16$$
Quotient und Rest prüfen
Eine Polynomdivision endet, sobald der Grad des Restes kleiner als der Grad des Divisors ist. Allgemein gilt:
$$P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x)$$
Dabei sind $P$ der Dividend, $D$ der Divisor, $Q$ der Quotient und $R$ der Rest. Zusätzlich muss der Grad von $R$ kleiner als der Grad von $D$ sein.
Ist $R=0$, geht die Division auf. Ist $R\ne0$, kannst du auch schreiben:
$$\frac{P(x)}{D(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{D(x)}$$
Für die Division
$$(x^3+2x^2-x+1):(x+1)$$
erhältst du den Quotienten $x^2+x-2$ und den Rest $3$. Die Probe bestätigt das Ergebnis:
$$(x+1)(x^2+x-2)+3=x^3+2x^2-x+1$$
Als Quotient mit Restbruch geschrieben:
$$x^2+x-2+\frac{3}{x+1}$$
Mit einer Nullstelle faktorisieren
Eine Zahl $x_0$ heißt Nullstelle von $P$, wenn $P(x_0)=0$ gilt. Dann ist $x-x_0$ ein Linearfaktor von $P$. Die Division durch diesen Linearfaktor hat Rest $0$:
$$P(x_0)=0\quad\Longleftrightarrow\quad R=0$$
Achte auf das Vorzeichen: Aus $x_0=2$ wird $x-2$, aus $x_0=-3$ wird $x+3$.
Gegeben ist
$$P(x)=x^3-3x^2-10x+24$$
Prüfe zunächst die vermutete Nullstelle $x_0=2$:
$$P(2)=8-12-20+24=0$$
Also ist $x-2$ ein Faktor. Die Polynomdivision ergibt:
$$(x^3-3x^2-10x+24):(x-2)=x^2-x-12$$
Der quadratische Quotient lässt sich weiter faktorisieren:
$$x^2-x-12=(x-4)(x+3)$$
Damit gilt:
$$P(x)=(x-2)(x-4)(x+3)$$
Die Nullstellen sind $2$, $4$ und $-3$.
Selbst rechnen und Fehler finden
Berechne:
$$(x^3-x^2-4x+4):(x-1)$$
Prüfe zuerst, ob $1$ tatsächlich eine Nullstelle ist. Führe dann die Division durch und bestimme alle reellen Nullstellen des Polynoms.
Lösung
Einsetzen liefert $1-1-4+4=0$. Daher ist die Division durch $x-1$ berechtigt.
Die Quotiententerme entstehen so:
$$x^3:x=x^2,\qquad -4x:x=-4$$
Nach dem ersten Zurückmultiplizieren und Subtrahieren bleibt $-4x+4$. Der Quotient ist deshalb $x^2-4$, der Rest ist $0$:
$$(x^3-x^2-4x+4):(x-1)=x^2-4$$
Mit der Differenz zweier Quadrate gilt $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Damit sind die reellen Nullstellen $1$, $2$ und $-2$.
Die Probe lautet:
$$(x-1)(x^2-4)=x^3-x^2-4x+4$$
Typische Fehler kannst du gezielt prüfen:
- Ein fehlendes Glied wurde nicht als Nullglied ergänzt.
- Beim Subtrahieren wurde nur das erste Vorzeichen geändert.
- Zu $x_0=-2$ wurde fälschlich $x-2$ statt $x+2$ gewählt.
- Ein Rest ungleich $0$ wurde bei einer angeblichen Nullstelle übergangen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Weil $1$ eine Nullstelle ist, dividierst du durch . Der Quotient ist , der Rest ist .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Polynomdivision
- vorbereiten
- Potenzen ordnen
- Nullglieder ergänzen
- durchführen
- Leitterme teilen
- zurückmultiplizieren
- subtrahieren und herunterholen
- Ergebnis
- Quotient
- Rest
- prüfen und anwenden
- $P=DQ+R$
- Nullstellen und Faktoren
- vorbereiten