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Polynom einfach erklärt: Grad und Polynomdivision
Ein Polynom ist eine Summe oder Differenz von Potenztermen. Die Exponenten der Variablen sind natürliche Zahlen wie $0, 1, 2, \ldots$; vor den Potenzen stehen Zahlen als Koeffizienten. Hier lernst du, Polynome sicher zu erkennen, ihren Grad zu bestimmen und eine Polynomdivision für Nullstellen zu nutzen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein Polynom?
Polynom
Ein Polynom besteht aus endlich vielen Potenztermen, die addiert oder subtrahiert werden. In jedem Potenzterm hat die Variable einen natürlichen Exponenten. Die Faktoren vor den Potenzen heißen Koeffizienten.
Zum Beispiel ist
$$3x^2-8x+2$$
ein Polynom. Auch ein einzelnes Glied wie $5x^3$ und eine konstante Zahl wie $7$ sind Polynome.
Keine Polynome sind Terme mit einer Variablen im Nenner, mit einem negativen Exponenten oder mit einem gebrochenen Exponenten. Deshalb sind $\frac{1}{x}$ und $x^{\frac12}+1$ keine Polynome.
Wie heißen die Bestandteile und der Grad?
Betrachte das Polynom
$$x^2+3x-1.$$
Es hat die drei Glieder $x^2$, $3x$ und $-1$. Die Koeffizienten sind $1$, $3$ und $-1$. Vor $x^2$ ist die $1$ nur nicht ausgeschrieben.
Die Exponenten sind $2$, $1$ und $0$, denn $3x=3x^1$ und $-1=-1x^0$. Dabei gilt $x^0=1$.
Grad
Der Grad eines von null verschiedenen Polynoms ist der größte Exponent, dessen Koeffizient nicht $0$ ist.
Das Polynom $-7x-2x^2+12$ hat Grad $2$. Die Reihenfolge der Glieder ändert den Grad nicht. Geordnet lautet es $-2x^2-7x+12$.
Ordne ein Polynom nach fallenden Exponenten. Der höchste verbleibende Exponent bestimmt den Grad.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Im Polynom $-4x^3+2x^2+3x-1$ ist $-4$ der von $x^3$. Der höchste Exponent ist ; deshalb hat das Polynom den Grad .
Welche besonderen Formen gibt es?
Die Zahl der Glieder führt zu kurzen Bezeichnungen:
- Ein Monom hat ein Glied, zum Beispiel $5x^2$.
- Ein Binom hat zwei Glieder, zum Beispiel $2x^2+x$.
- Ein Trinom hat drei Glieder, zum Beispiel $x^2+3x-1$.
Das Nullpolynom hat für jedes $x$ den Wert $0$. Sein Graph ist die $x$-Achse. Eine Gradangabe brauchst du hier nicht, weil dafür unterschiedliche Festlegungen verwendet werden.
Wird einem Polynom ein Funktionsname gegeben, entsteht eine Polynomfunktion, auch ganzrationale Funktion genannt. Zum Beispiel:
$$f(x)=4x^4+5x^3+2x-1.$$
Nullstellen sind die $x$-Werte, für die $f(x)=0$ gilt. Ein Polynom vom Grad $n$ hat höchstens $n$ reelle Nullstellen. Es kann also auch weniger haben.
Wie führst du eine Polynomdivision aus?
Bei der Polynomdivision gehst du ähnlich wie bei der schriftlichen Division vor. Berechne:
$$(x^3+6x^2-32):(x-2).$$
Zuerst ordnest du beide Polynome nach fallenden Exponenten. Die Potenz $x^1$ fehlt, deshalb setzt du das Nullglied $0x$ ein:
$$(x^3+6x^2+0x-32):(x-2).$$
- Teile die führenden Terme: $x^3:x=x^2$. Multipliziere zurück: $x^2(x-2)=x^3-2x^2$. Nach dem Subtrahieren bleibt $8x^2$; hole $0x$ herunter.
- Teile erneut: $8x^2:x=8x$. Multipliziere zurück: $8x(x-2)=8x^2-16x$. Nach dem Subtrahieren bleibt $16x$; hole $-32$ herunter.
- Teile ein letztes Mal: $16x:x=16$. Multipliziere zurück: $16(x-2)=16x-32$. Nach dem Subtrahieren bleibt der Rest $0$.
Damit gilt:
$$(x^3+6x^2-32):(x-2)=x^2+8x+16.$$
Wiederhole immer: teilen → zurückmultiplizieren → subtrahieren → herunterholen. Die Subtraktion und fehlende Nullglieder sind die häufigsten Fehlerstellen.
Übung: Führe die Division selbst aus
Berechne
$$(x^3+x^2-2):(x-1).$$
Ergänze zuerst das fehlende lineare Glied. Führe dann alle Divisionsschritte aus und prüfe dein Ergebnis durch Rückmultiplikation.
Mit dem Nullglied lautet die Aufgabe
$$(x^3+x^2+0x-2):(x-1).$$
- $x^3:x=x^2$. Das Rückprodukt ist $x^3-x^2$; nach der Subtraktion bleibt $2x^2$. Hole $0x$ herunter.
- $2x^2:x=2x$. Das Rückprodukt ist $2x^2-2x$; nach der Subtraktion bleibt $2x$. Hole $-2$ herunter.
- $2x:x=2$. Das Rückprodukt ist $2x-2$; der Rest ist $0$.
Damit gilt
$$(x^3+x^2-2):(x-1)=x^2+2x+2.$$
Die Probe bestätigt das Ergebnis:
$$(x-1)(x^2+2x+2)=x^3+x^2-2.$$
Wie hilft die Division bei Nullstellen?
Ist $a$ eine bestätigte Nullstelle von $f$, dann gilt $f(a)=0$. Dazu gehört der Linearfaktor $x-a$. Das Vorzeichen im Faktor wirkt daher oft „umgekehrt“: Zur Nullstelle $2$ gehört $x-2$, zur Nullstelle $-3$ gehört $x+3$.
Gegeben ist
$$f(x)=x^3-3x^2-10x+24.$$
Prüfe zuerst den Kandidaten $2$:
$$f(2)=2^3-3\cdot2^2-10\cdot2+24=8-12-20+24=0.$$
Also ist $2$ wirklich eine Nullstelle und $x-2$ ein Linearfaktor. Die Polynomdivision ergibt
$$(x^3-3x^2-10x+24):(x-2)=x^2-x-12.$$
Der quadratische Restfaktor zerfällt weiter:
$$x^2-x-12=(x+3)(x-4).$$
Damit sind die reellen Nullstellen $2$, $-3$ und $4$.
Bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten kannst du ganzzahlige Teiler des konstanten Glieds als Kandidaten testen. Das ist nur eine Suchstrategie: Eine ganzzahlige Nullstelle muss nicht existieren. Dividiere erst durch $x-a$, nachdem du mit $f(a)=0$ geprüft hast, dass $a$ tatsächlich eine Nullstelle ist.
Wie vermeidest und findest du typische Fehler?
Kontrolliere eine Rechnung an diesen Stellen:
- Sind alle Glieder nach fallenden Exponenten geordnet?
- Stehen für fehlende Potenzen Nullglieder wie $0x^2$ oder $0x$ da?
- Wurde mit dem gesamten Divisor zurückmultipliziert?
- Wurden beim Subtrahieren alle Vorzeichen geändert?
- Ist der Restgrad kleiner als der Divisorgrad?
- Ergibt die Rückmultiplikation wieder den Dividenden?
Allgemein gilt bei einer Division mit Rest:
$$P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x),$$
wobei der Grad von $R$ kleiner als der Grad von $D$ ist. Bei Rest $0$ vereinfacht sich die Probe zu $P(x)=D(x)\cdot Q(x)$.
Übung mit Diagnose
Ein Schüler behauptet:
$$(x^3-3x^2+2):(x-1)=x^2-2x-2$$
mit Rest $0$. Erkläre, warum vor der Rechnung ein Nullglied ergänzt werden muss, und prüfe das Ergebnis durch Rückmultiplikation.
Geordnet mit Platzhalter lautet der Dividend $x^3-3x^2+0x+2$. Das Nullglied hält die Potenzen beim Subtrahieren in der richtigen Spalte.
Die Probe ergibt:
$$(x-1)(x^2-2x-2)=x^3-3x^2+0x+2.$$
Das ist der ursprüngliche Dividend. Quotient und Rest sind daher richtig.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Polynom
- Aufbau: Glieder, Koeffizienten, natürliche Exponenten
- Ordnung: fallende Exponenten und Nullglieder
- Einordnung: Monom, Binom, Trinom und Grad
- Funktion: ganzrationale Funktion mit höchstens so vielen reellen Nullstellen wie ihr Grad
- Division: teilen, zurückmultiplizieren, subtrahieren, herunterholen
- Nullstellen: $f(a)=0$ führt zum Faktor $x-a$
- Kontrolle: Rest und Rückmultiplikation prüfen
Abschluss-Check
Wenn du Polynome erkennst, sauber ordnest und jede Division mit Rest oder Rückmultiplikation prüfst, kannst du viele typische Fehler selbst entdecken.