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Polynome wirken zuerst wie lange Rechenausdrücke. Wenn du ihre Bausteine kennst, kannst du sie ordnen, auswerten, ableiten und ihre Graphen besser verstehen.
- Ich kann Monom, Koeffizient, Grad und Polynom erklären.
- Ich kann Polynome ordnen und zusammenfassen.
- Ich kann einfache Polynomwerte berechnen.
- Ich kann typische Eigenschaften aus dem Grad ableiten.
Bausteine eines Polynoms
Ein Polynom ist eine Summe aus Potenzen einer Variablen mit Zahlen davor. Diese Zahlen heißen Koeffizienten. Die höchste vorkommende Potenz bestimmt den Grad.
Polynom
Ein Polynom in \(x\) hat die Form \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\). Die Exponenten sind nichtnegative ganze Zahlen.
\(p(x)=4x^3-2x^2+7x-5\) ist ein Polynom.
Der höchste Exponent ist 3. Deshalb hat das Polynom den Grad 3. Der konstante Term ist \(-5\).
Bei Polynomen sind Exponenten wie 0, 1, 2, 3 erlaubt. Wurzeln im Exponenten oder \(x\) im Nenner gehören nicht zu Polynomen.
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Rechnen mit Polynomen
Gleichartige Terme haben dieselbe Variable mit demselben Exponenten. Nur solche Terme darfst du direkt zusammenfassen.
Fasse zusammen:
- Quadratische Terme: \(3x^2+2x^2=5x^2\).
- Lineare Terme: \(5x-7x=-2x\).
- Konstanten: \(-1+4=3\).
Ergebnis: \(5x^2-2x+3\).
Berechne \(p(2)\) für \(p(x)=x^3-4x+1\).
\(p(2)=2^3-4\cdot2+1=8-8+1=1\).
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Prüfungsmodus
Prüfe bei Aufgaben zuerst, ob der Ausdruck wirklich ein Polynom ist. Danach ordnest du nach fallenden Exponenten und fasst Gleichartiges zusammen.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Ein Polynom ist eine geordnete Summe von Potenzen. Wenn du Grad, Koeffizienten und gleichartige Terme erkennst, kannst du Polynome sicher lesen und umformen.