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Gleichungen durch Substitution lösen
Bei einer Substitution ersetzt du einen wiederkehrenden Term durch eine neue Variable. So wird aus einer Gleichung höheren Grades eine bekannte, einfachere Gleichung. Danach setzt du zurück und bestimmst die Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann hilft die Substitution?
Betrachte die Gleichung
$$x^4-6x^2+8=0.$$
Die Unbekannte kommt nur als $x^4$ und $x^2$ vor. Weil $x^4=(x^2)^2$ gilt, kannst du den wiederkehrenden Term $x^2$ ersetzen.
Substitution
Bei einer Substitution ersetzt du einen geeigneten Term vorübergehend durch eine neue Variable. Für eine biquadratische Gleichung der Form $ax^4+bx^2+c=0$ wählst du meist $z=x^2$.
Dann wird aus $x^4$ der Term $z^2$ und aus $x^2$ der Term $z$:
$$x^4-6x^2+8=0 \quad\longrightarrow\quad z^2-6z+8=0.$$
Die neue Gleichung ist quadratisch und lässt sich mit einem bekannten Verfahren lösen.
Substitution passt, wenn sich alle Potenzen der Unbekannten als Potenzen desselben Terms schreiben lassen. Bei $x^4$ und $x^2$ ist dieser Term $x^2$.
So gehst du in vier Schritten vor
- Erkennen: Suche einen Term, der mehrfach als Potenz vorkommt.
- Substituieren: Setze zum Beispiel $z=x^2$ und schreibe die Gleichung vollständig in $z$ um.
- Lösen: Löse die einfachere Gleichung und bestimme alle möglichen $z$-Werte.
- Rücksubstituieren: Ersetze $z$ wieder durch $x^2$ und löse jede entstehende Gleichung nach $x$.
Die $z$-Werte sind nur Zwischenergebnisse. Erst nach der Rücksubstitution erhältst du die Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
Bei $z=x^2$ musst du außerdem beachten: Für $z>0$ entstehen zwei reelle Werte, nämlich $x=\pm\sqrt z$. Für $z=0$ entsteht nur $x=0$. Ein negativer $z$-Wert liefert keine reelle Lösung, weil ein Quadrat nicht negativ sein kann.
Ein Beispiel vollständig lösen
Löse
$$x^4-6x^2+8=0.$$
1. Substituieren: Setze $z=x^2$. Dann gilt $x^4=z^2$.
$$z^2-6z+8=0.$$
2. Quadratische Gleichung lösen: Die Gleichung lässt sich faktorisieren.
$$z^2-6z+8=(z-2)(z-4)=0.$$
Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt daher
$$z_1=2 \quad\text{oder}\quad z_2=4.$$
3. Rücksubstituieren: Setze $z=x^2$ zurück.
$$x^2=2 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt2,$$
$$x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2.$$
4. Lösungsmenge angeben:
$$L=\{-2,-\sqrt2,\sqrt2,2\}.$$
Warum entstehen vier Lösungen? Die quadratische Ersatzgleichung besitzt zwei positive $z$-Lösungen. Jede davon liefert beim Rücksubstituieren zwei reelle $x$-Lösungen.
Typische Fehler vermeiden
Nicht zu früh aufhören
$z_1=2$ und $z_2=4$ sind noch nicht die gesuchten $x$-Lösungen. Schreibe nach dem Lösen der Ersatzgleichung immer ausdrücklich $x^2=z$ auf.
Das Plus-minus-Zeichen mitnehmen
Aus $x^2=4$ folgt nicht nur $x=2$, sondern $x=-2$ oder $x=2$. Beide Zahlen haben das Quadrat $4$.
Vollständig in der neuen Variablen schreiben
Nach der Substitution darf kein $x$ mehr in der Ersatzgleichung stehen. Eine Mischung wie $z^2-6x^2+8=0$ ist noch nicht fertig substituiert.
Mit der Ausgangsgleichung prüfen
Setze eine gefundene Zahl in die ursprüngliche Gleichung ein. Für $x=2$ gilt:
$$2^4-6\cdot2^2+8=16-24+8=0.$$
Damit ist $x=2$ tatsächlich eine Lösung.
Jetzt löst du selbst
Löse die Gleichung
$$x^4-5x^2+4=0.$$
Gehe in dieser Reihenfolge vor: substituieren, die quadratische Ersatzgleichung lösen, rücksubstituieren und die Lösungsmenge angeben.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Mit $z=x^2$ entsteht die Gleichung $z^2-5z+4=0$. Sie lässt sich als $()()=0$ schreiben. Daher gilt $z_1=$ und $z_2=$.
Aus $(z-1)(z-4)=0$ folgen $z_1=1$ und $z_2=4$. Nach der Rücksubstitution erhältst du
$$x^2=1\Rightarrow x=\pm1,$$
$$x^2=4\Rightarrow x=\pm2.$$
Also ist
$$L=\{-2,-1,1,2\}.$$
Zur Kontrolle ergibt jede dieser Zahlen beim Einsetzen in $x^4-5x^2+4$ den Wert $0$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Lösen durch Substitution
- Struktur erkennen
- $x^4=(x^2)^2$
- wiederkehrenden Term wählen
- Ersatzgleichung lösen
- $z=x^2$ einsetzen
- quadratische Gleichung bearbeiten
- Rücksubstituieren
- positive, null oder negative $z$-Werte unterscheiden
- alle reellen $x$-Lösungen bestimmen
- Ergebnis sichern
- Lösungsmenge angeben
- Probe in der Ausgangsgleichung
- Struktur erkennen