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Normale berechnen: Formel, Beispiel und Sonderfall
Eine Normale ist die Gerade, die im betrachteten Punkt senkrecht auf der Tangente steht. Du bestimmst zuerst die Tangentensteigung mit der Ableitung und bildest dann – außer im Sonderfall einer waagerechten Tangente – den negativen Kehrwert.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was ist eine Normale?
Betrachte den Punkt $P(x_0\mid f(x_0))$ auf dem Graphen einer Funktion. Die Tangente berührt den Graphen dort und hat dieselbe Steigung wie der Graph. Die Normale verläuft ebenfalls durch $P$, steht aber im rechten Winkel zur Tangente.
Normale
Die Normale ist die Gerade durch den betrachteten Punkt eines Funktionsgraphen, die dort senkrecht zur Tangente verläuft.
Die Tangentensteigung erhältst du aus der ersten Ableitung:
$$m_T=f'(x_0)$$
Sind beide Geraden nicht vertikal und ist $m_T\neq 0$, gilt:
$$m_T\cdot m_N=-1$$
Daher ist die Normalensteigung der negative Kehrwert der Tangentensteigung:
$$m_N=-\frac{1}{m_T}$$
„Kehrwert“ bedeutet: Zähler und Nenner werden vertauscht. „Negativ“ bedeutet: Das Vorzeichen wird zusätzlich gewechselt. Aus $m_T=2$ wird deshalb $m_N=-\frac12$.
Wie stellst du die Normalengleichung auf?
Gegeben sind eine Funktion $f$ und eine Stelle $x_0$. Für $f'(x_0)\neq 0$ gehst du in fünf Schritten vor:
- Berechne den Punkt mit $y_0=f(x_0)$.
- Bilde die erste Ableitung $f'(x)$.
- Berechne die Tangentensteigung $m_T=f'(x_0)$.
- Bilde die Normalensteigung $m_N=-\frac{1}{m_T}$.
- Setze Punkt und Steigung in die Punktsteigungsform ein.
Die Punktsteigungsform lautet:
$$n(x)=m_N(x-x_0)+y_0$$
Da $y_0=f(x_0)$ gilt, kannst du auch direkt schreiben:
$$n(x)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)+f(x_0)$$
Diese Formel gilt nur, wenn $f'(x_0)\neq 0$ ist.
Möchtest du die Form $n(x)=m_Nx+b$ verwenden, berechnest du den Achsenabschnitt mit
$$b=y_0-m_Nx_0$$
Bestimme zuerst den Punkt und die Tangentensteigung. Bilde erst danach den negativen Kehrwert und setze alles in eine Geradengleichung ein.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Ableitung an der Stelle $x_0$ liefert die . Die Normalensteigung ist bei $m_T\neq 0$ der von $m_T$. Tangente und Normale verlaufen durch denselben .
Wie sieht eine vollständige Rechnung aus?
Gegeben sind
$$f(x)=4x^2+2x+1\qquad\text{und}\qquad x_0=1.$$
Gesucht ist die Normale am Graphen bei $x_0=1$.
1. Punkt bestimmen
$$y_0=f(1)=4\cdot1^2+2\cdot1+1=7$$
Also ist der betrachtete Punkt $P(1\mid 7)$.
2. Ableitung bilden
$$f'(x)=8x+2$$
3. Tangentensteigung berechnen
$$m_T=f'(1)=8\cdot1+2=10$$
4. Negativen Kehrwert bilden
$$m_N=-\frac{1}{10}=-0{,}1$$
Die Kontrolle $10\cdot(-0{,}1)=-1$ bestätigt, dass die Steigungen zueinander passen.
5. Normalengleichung aufstellen
Mit der Punktsteigungsform erhältst du:
$$n(x)=-0{,}1(x-1)+7$$
Ausmultipliziert ergibt sich:
$$n(x)=-0{,}1x+7{,}1$$
Probe mit dem Punkt: $n(1)=-0{,}1+7{,}1=7$. Die Normale verläuft also tatsächlich durch $P(1\mid7)$.
Was passiert bei einer waagerechten Tangente?
Ist $f'(x_0)=0$, ist die Tangente waagerecht. Dann darfst du nicht durch $0$ teilen. Die Normale ist in diesem Fall eine vertikale Gerade:
$$x=x_0$$
Eine vertikale Gerade lässt sich nicht als Funktion $n(x)=mx+b$ mit endlicher Steigung schreiben.
Gilt an der Stelle $x_0=3$ die Ableitung $f'(3)=0$, dann ist die Tangente dort waagerecht. Die Normale lautet direkt:
$$x=3$$
Typische Fehler vermeiden
- Vorzeichen vergessen: Aus $m_T=5$ folgt $m_N=-\frac15$, nicht $\frac15$.
- Nur das Vorzeichen wechseln: Aus $m_T=-2$ folgt $m_N=\frac12$, nicht $2$.
- Falschen Punkt einsetzen: Beide Geraden müssen durch $P(x_0\mid f(x_0))$ verlaufen.
- Durch null teilen: Bei $m_T=0$ lautet die Normale $x=x_0$.
- Klammer falsch auflösen: Prüfe die ausmultiplizierte Gleichung, indem du den Punkt einsetzt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Normale am Funktionsgraphen
- Punkt: $P(x_0\mid f(x_0))$
- Tangente: $m_T=f'(x_0)$
- Normale: senkrecht zur Tangente
- Standardfall: $m_N=-\frac{1}{m_T}$
- Gleichung: $n(x)=m_N(x-x_0)+f(x_0)$
- Sonderfall: bei $m_T=0$ gilt $x=x_0$
Abschluss-Check
Du kannst eine Normale sicher bestimmen, wenn du drei Dinge prüfst: den richtigen Punkt, den negativen Kehrwert und den Sonderfall $f'(x_0)=0$.