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Platonische Körper: Die fünf Formen verstehen
Platonische Körper sind besonders regelmäßige, konvexe Körper. Alle ihre Flächen sind kongruente regelmäßige Vielecke, und an jeder Ecke treffen gleich viele Flächen zusammen. Genau fünf Körper erfüllen diese Bedingungen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du einen platonischen Körper?
Ein Polyeder ist ein räumlicher Körper, dessen Oberfläche aus ebenen Vielecken besteht. Kugeln und Kegel sind keine Polyeder, weil sie gekrümmte Flächen besitzen.
Platonischer Körper
Ein platonischer Körper ist ein konvexes Polyeder mit kongruenten regelmäßigen Vielecken als Flächen. Kongruent bedeutet deckungsgleich. Regelmäßig bedeutet: Alle Seiten und alle Innenwinkel eines Vielecks sind gleich groß. Außerdem treffen an jeder Ecke gleich viele Flächen zusammen.
Konvex bedeutet: Der Körper hat keine nach innen springenden Ecken oder Kanten. Verbindest du zwei Punkte im Inneren, liegt auch ihre Verbindungsstrecke vollständig im Körper.
Eine quadratische Pyramide ist deshalb nicht platonisch: Ihre Grundfläche ist ein Quadrat, ihre Seitenflächen sind Dreiecke. Die Flächen sind also nicht alle kongruent.
Gleiche Kantenlängen allein reichen nicht. Entscheidend sind kongruente regelmäßige Flächen, dieselbe Anordnung an jeder Ecke und die Konvexität.
So unterscheiden sich die fünf Körper
| Körper | Flächenform | Ecken | Kanten | Flächen | Flächen je Ecke |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraeder | gleichseitiges Dreieck | 4 | 6 | 4 | 3 |
| Würfel oder Hexaeder | Quadrat | 8 | 12 | 6 | 3 |
| Oktaeder | gleichseitiges Dreieck | 6 | 12 | 8 | 4 |
| Dodekaeder | regelmäßiges Fünfeck | 20 | 30 | 12 | 3 |
| Ikosaeder | gleichseitiges Dreieck | 12 | 30 | 20 | 5 |
Die Namen geben die Flächenzahl an: tetra steht für vier, hexa für sechs, okta für acht, dodeka für zwölf und ikosa für zwanzig.
Drei Körper bestehen aus gleichseitigen Dreiecken. Du unterscheidest sie daran, wie viele Dreiecke an einer Ecke zusammentreffen:
- Tetraeder: drei Dreiecke
- Oktaeder: vier Dreiecke
- Ikosaeder: fünf Dreiecke
Ein Körper besitzt acht kongruente gleichseitige Dreiecke. An jeder Ecke treffen vier davon zusammen. In der Tabelle findest du dafür den Oktaeder. Er hat sechs Ecken und zwölf Kanten.
Für jeden der fünf Körper gilt außerdem die Eulersche Polyederformel:
$$E-K+F=2$$
Dabei steht $E$ für die Zahl der Ecken, $K$ für die Zahl der Kanten und $F$ für die Zahl der Flächen. Beim Oktaeder erhältst du $6-12+8=2$.
Warum gibt es genau fünf Möglichkeiten?
An einer räumlichen Ecke treffen mindestens drei Flächen zusammen. Ihre Innenwinkelsumme muss kleiner als 360° sein. Bei genau 360° liegen die Flächen flach in einer Ebene.
Gleichseitige Dreiecke
Ein Innenwinkel beträgt 60°:
- drei Dreiecke: $3\cdot60°=180°$ – möglich, Tetraeder
- vier Dreiecke: $4\cdot60°=240°$ – möglich, Oktaeder
- fünf Dreiecke: $5\cdot60°=300°$ – möglich, Ikosaeder
- sechs Dreiecke: $6\cdot60°=360°$ – eben, kein konvexer Körper
Quadrate
Ein Innenwinkel beträgt 90°. Drei Quadrate ergeben $3\cdot90°=270°$ und bilden eine Würfelecke. Vier Quadrate ergeben bereits 360°.
Regelmäßige Fünfecke
Ein Innenwinkel beträgt 108°. Drei Fünfecke ergeben $3\cdot108°=324°$ und bilden eine Dodekaederecke. Vier Fünfecke würden 432° ergeben.
Regelmäßige Sechsecke haben Innenwinkel von 120°. Schon drei ergeben 360°. Vielecke mit noch mehr Seiten besitzen noch größere Innenwinkel und können daher ebenfalls keine solche konvexe Ecke bilden.
Das Winkelargument zeigt zunächst, dass höchstens fünf Eckkonfigurationen möglich sind. Da zu jeder dieser Konfigurationen ein geschlossener Körper bekannt ist, existieren genau fünf platonische Körper.
Oberfläche und Volumen berechnen
Alle Kanten eines platonischen Körpers haben dieselbe Länge $a$. Die Oberfläche $O$ wird in Quadrateinheiten, das Volumen $V$ in Kubikeinheiten angegeben.
| Körper | Oberfläche $O$ | Volumen $V$ |
|---|---|---|
| Tetraeder | $\sqrt{3}\,a^2$ | $\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$ |
| Würfel | $6a^2$ | $a^3$ |
| Oktaeder | $2\sqrt{3}\,a^2$ | $\frac{\sqrt{2}}{3}a^3$ |
| Dodekaeder | $3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\,a^2$ | $\frac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3$ |
| Ikosaeder | $5\sqrt{3}\,a^2$ | $\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}a^3$ |
Gehe immer in vier Schritten vor:
- Bestimme den Körper und die gesuchte Größe.
- Wähle die passende Formel.
- Setze die Kantenlänge mit ihrer Einheit ein.
- Prüfe Einheit und Plausibilität des Ergebnisses.
Ein Oktaeder hat die Kantenlänge $a=17\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist seine Oberfläche.
Die passende Formel lautet:
$$O=2\sqrt{3}\,a^2$$
Einsetzen und vereinfachen:
$$O=2\sqrt{3}\cdot(17\,\mathrm{cm})^2=578\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^2$$
Die Einheit $\mathrm{cm}^2$ passt, weil eine Oberfläche berechnet wurde.
Beim Würfel mit $a=3\,\mathrm{cm}$ erhältst du dagegen:
$$O=6\cdot(3\,\mathrm{cm})^2=54\,\mathrm{cm}^2$$
$$V=(3\,\mathrm{cm})^3=27\,\mathrm{cm}^3$$
Wie hängen die Dualkörper zusammen?
Verbindest du die Mittelpunkte benachbarter Flächen eines platonischen Körpers, entsteht im Inneren sein Dualkörper.
Dabei werden Ecken und Flächen vertauscht:
- Jede Fläche des Ausgangskörpers wird zu einer Ecke des Dualkörpers.
- Jede Ecke des Ausgangskörpers wird zu einer Fläche des Dualkörpers.
- Die Zahl der Kanten bleibt gleich.
Die Dualpaare sind:
- Würfel und Oktaeder
- Dodekaeder und Ikosaeder
- Tetraeder und Tetraeder
Der Tetraeder heißt selbstdual, weil sein Dualkörper wieder ein Tetraeder ist.
Der Würfel besitzt sechs Flächen, acht Ecken und zwölf Kanten. Sein Dualkörper, der Oktaeder, besitzt deshalb sechs Ecken, acht Flächen und ebenfalls zwölf Kanten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Platonische Körper
- Eigenschaften
- konvex
- kongruente regelmäßige Flächen
- gleiche Anordnung an jeder Ecke
- Fünf Formen
- Tetraeder, Würfel, Oktaeder
- Dodekaeder, Ikosaeder
- Begründung
- mindestens drei Flächen je Ecke
- Innenwinkelsumme kleiner als 360°
- Berechnungen
- Oberfläche mit $a^2$
- Volumen mit $a^3$
- Dualität
- Ecken und Flächen werden vertauscht
- Kantenzahl bleibt gleich
- Eigenschaften