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Primfaktorzerlegung einfach erklärt
Die Primfaktorzerlegung schreibt eine natürliche Zahl größer als 1 als Produkt von Primzahlen. Du teilst die Zahl dafür schrittweise durch passende Primzahlen, bis nur noch Primfaktoren übrig sind.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was sind Primfaktoren?
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und durch sich selbst ohne Rest teilbar ist. Beispiele sind 2, 3, 5, 7 und 11.
Primfaktorzerlegung
Bei einer Primfaktorzerlegung wird eine natürliche Zahl größer als 1 als Produkt aus Primzahlen geschrieben. Die Primzahlen im Produkt heißen Primfaktoren.
Ein Produkt entsteht durch Multiplikation. Eine Summe aus Primzahlen ist deshalb keine Primfaktorzerlegung.
Die Reihenfolge der Faktoren spielt keine Rolle. Entscheidend ist, welche Primzahlen wie oft vorkommen. Eine Primzahl wie 7 ist bereits vollständig zerlegt: Ihre Primfaktorzerlegung ist 7 selbst.
Die Zahl 1 hat in der gewöhnlichen Schreibweise keine Primfaktorzerlegung. Sie ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl.
So zerlegst du eine Zahl Schritt für Schritt
Beginne mit der kleinsten Primzahl 2. Teile durch sie, wenn die Division ohne Rest möglich ist. Zerlege anschließend den Quotienten weiter.
- Suche eine Primzahl, welche die aktuelle Zahl ohne Rest teilt.
- Dividiere durch diese Primzahl.
- Untersuche den Quotienten erneut.
- Wiederhole die Schritte, bis der letzte Quotient eine Primzahl ist.
- Schreibe alle verwendeten Primzahlen als Produkt auf.
Diese Teilbarkeitsregeln helfen bei den ersten Schritten:
- Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist.
- Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist.
Zerlege 90 in Primfaktoren.
90 ist gerade, also beginnen wir mit 2:
$$90:2=45$$
45 ist nicht durch 2 teilbar. Seine Quersumme ist $4+5=9$, also ist 45 durch 3 teilbar:
$$45:3=15$$
Auch 15 ist durch 3 teilbar:
$$15:3=5$$
5 ist eine Primzahl. Damit ist die Zerlegung vollständig:
$$90=2\cdot3\cdot3\cdot5$$
Teile immer den neu entstandenen Quotienten weiter. Du bist erst fertig, wenn jeder Faktor in deinem Ergebnis eine Primzahl ist.
Wann ist eine Zerlegung vollständig?
Eine Zerlegung ist nur dann vollständig, wenn jeder Faktor prim ist. Bleibt ein zusammengesetzter Faktor stehen, musst du ihn weiter zerlegen.
Gleiche Primfaktoren darfst du mit einer Potenz zusammenfassen. Der Exponent zeigt, wie oft der Faktor vorkommt:
$$90=2\cdot3^2\cdot5$$
Dabei bedeutet $3^2$, dass der Faktor 3 zweimal vorkommt. Üblicherweise ordnest du die verschiedenen Primfaktoren von klein nach groß.
Für jede natürliche Zahl größer als 1 ist diese geordnete Zerlegung eindeutig. Du kannst beim Rechnen zwar mit unterschiedlichen Primteilern beginnen, erhältst am Ende aber dieselben Primfaktoren mit denselben Häufigkeiten. Diese Aussage gehört zum Fundamentalsatz der Arithmetik.
Für 76 gilt:
$76:2=38$ und $38:2=19$.
19 ist prim. Deshalb lautet die vollständige Zerlegung:
$$76=2\cdot2\cdot19=2^2\cdot19$$
Typische Fehler
- Zu früh aufhören: Ein zusammengesetzter Faktor bleibt im Ergebnis stehen.
- Addieren statt multiplizieren: Eine Summe ist keine Primfaktorzerlegung.
- Die Zahl 1 als Primfaktor verwenden: 1 ist keine Primzahl.
- Einen Faktor vergessen: Die Probe durch Multiplikation ergibt dann nicht die Ausgangszahl.
Jetzt zerlegst du selbst
Bearbeite die Aufgaben zunächst ohne Lösung. Notiere bei jeder Division den Quotienten und prüfe am Ende durch Multiplikation.
Aufgabe 1
Zerlege 84 vollständig in Primfaktoren und fasse gleiche Faktoren als Potenz zusammen.
Aufgabe 2
Zerlege 360. Entscheide bei jedem Schritt mithilfe einer Teilbarkeitsregel, welchen Primteiler du verwenden kannst.
Die Multiplikationsprobe schützt vor zwei häufigen Fehlern: einem vergessenen Primfaktor und einem zu häufig notierten Primfaktor. Das Produkt deiner Faktoren muss genau die Ausgangszahl ergeben.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Primfaktorzerlegung
- Grundlage: Primzahlen und Teilbarkeit
- Verfahren: Primteiler finden, dividieren, Quotienten weiter zerlegen
- Ergebnis: Produkt ausschließlich aus Primzahlen
- Standardschreibweise: aufsteigend ordnen und Wiederholungen als Potenzen schreiben
- Kontrolle: Faktoren multiplizieren und mit der Ausgangszahl vergleichen
- Sonderfälle: Primzahl bleibt selbst, 1 hat keine gewöhnliche Primfaktorzerlegung
Abschluss-Check
Du beherrschst das Verfahren, wenn du eine Zahl schrittweise zerlegen, das Ergebnis mit Potenzen ordnen und seine Vollständigkeit durch die Multiplikationsprobe begründen kannst.