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Manche Zahlen wirken erst wie ein großer Block. Mit der Primfaktorzerlegung zerlegst du sie in ihre kleinsten Bausteine. Das hilft bei Brüchen, Teilbarkeit, größtem gemeinsamen Teiler und kleinstem gemeinsamen Vielfachen.
Nach dieser Seite kannst du Primzahlen erkennen, Zahlen in Primfaktoren zerlegen und die Zerlegung sinnvoll nutzen.
- Ich kann Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen unterscheiden.
- Ich kann eine Zahl schrittweise in Primfaktoren zerlegen.
- Ich kann eine Primfaktorzerlegung mit Potenzen schreiben.
- Ich kann Zerlegungen prüfen.
- Ich kann typische Teilbarkeitsfehler vermeiden.
Primzahlen als Bausteine
Eine Zahl kann Teiler haben. Manche Zahlen lassen sich aber nur durch 1 und sich selbst teilen.
Primzahl
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die genau zwei positive Teiler hat: 1 und sich selbst.
2, 3, 5, 7, 11 und 13 sind Primzahlen. Die Zahl 1 ist keine Primzahl, weil sie nur einen positiven Teiler hat.
Prüfe 12 und 13.
- 12 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Also ist 12 keine Primzahl.
- 13 hat nur die Teiler 1 und 13. Also ist 13 eine Primzahl.
1 ist keine Primzahl. 2 ist die kleinste und einzige gerade Primzahl.
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Zahlen zerlegen
Bei der Primfaktorzerlegung schreibst du eine Zahl als Produkt von Primzahlen.
Primfaktorzerlegung
Die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl größer als 1 ist eine Multiplikation aus Primzahlen, deren Produkt wieder die Ausgangszahl ergibt.
Zerlege 84.
Also gilt:
Teile immer weiter, bis nur noch Primzahlen übrig sind.
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Teilbarkeitsregeln nutzen
Teilbarkeitsregeln helfen dir, passende Primfaktoren schneller zu finden.
Teilbarkeit
Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn beim Teilen kein Rest bleibt.
Zerlege 90.
- 90 ist gerade, also durch 2 teilbar: \(90=2\cdot45\).
- 45 hat die Quersumme 9 und ist durch 3 teilbar: \(45=3\cdot15\).
- \(15=3\cdot5\).
- Also: \(90=2\cdot3^2\cdot5\).
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Prüfungsmodus
In Tests reicht die Zerlegung allein oft nicht. Du musst auch prüfen, ob alle Faktoren Primzahlen sind und ob das Produkt wieder stimmt.
Ist \(72=2\cdot6\cdot6\) eine Primfaktorzerlegung?
Nein. Zwar ist das Produkt 72, aber 6 ist keine Primzahl. Richtig ist:
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Die Primfaktorzerlegung zerlegt eine Zahl in Primzahlen. Du teilst Schritt für Schritt, fasst gleiche Faktoren als Potenzen zusammen und prüfst am Ende: Sind alle Faktoren prim und ergibt das Produkt wieder die Ausgangszahl?