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ggT berechnen: drei Methoden einfach erklärt
Für positive natürliche Zahlen ist der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT, die größte Zahl, die alle betrachteten Zahlen ohne Rest teilt. Du kannst ihn durch Teilerlisten, Primfaktorzerlegung oder den euklidischen Algorithmus bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet der ggT?
Ein Teiler einer Zahl teilt sie ohne Rest. Zum Beispiel ist $5$ ein Teiler von $20$, denn $20:5=4$.
Größter gemeinsamer Teiler
Der ggT von zwei oder mehr positiven natürlichen Zahlen ist der größte positive Teiler, der in allen Zahlen ohne Rest enthalten ist. Man schreibt zum Beispiel $\operatorname{ggT}(20,30)=10$.
Die gemeinsamen Teiler von $20$ und $30$ sind $1$, $2$, $5$ und $10$. Der größte davon ist $10$.
Ist der ggT zweier Zahlen $1$, heißen die Zahlen teilerfremd. Sie können trotzdem beide größer als $1$ sein.
Methode 1: Teiler auflisten
Diese Methode eignet sich besonders für kleine Zahlen. Liste alle positiven Teiler beider Zahlen auf, markiere die gemeinsamen und wähle den größten.
Gesucht ist $\operatorname{ggT}(36,48)$.
Du findest die Teiler systematisch als Teilerpaare, also zwei Zahlen, deren Produkt $36$ ist: $1\cdot36$, $2\cdot18$, $3\cdot12$, $4\cdot9$ und $6\cdot6$. Prüfe die kleineren Faktoren der Reihe nach; $5$ teilt $36$ nicht. Nach $6\cdot6$ würden nur schon gefundene Paare in umgekehrter Reihenfolge folgen.
Die Teiler von $36$ sind $1,2,3,4,6,9,12,18,36$.
Die Teiler von $48$ sind $1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$.
Gemeinsam sind $1,2,3,4,6,12$. Der größte gemeinsame Teiler ist daher $12$.
Die Probe zeigt: $36:12=3$ und $48:12=4$, jeweils ohne Rest. Dass $12$ auch der größte gemeinsame Teiler ist, erkennst du an den vollständigen Teilerlisten; die Divisionen allein zeigen nur, dass $12$ beide Zahlen teilt.
Ein schneller Sonderfall: Teilt die kleinere Zahl die größere ohne Rest, ist die kleinere Zahl bereits der ggT. Weil $48:16=3$ gilt, ist $\operatorname{ggT}(48,16)=16$.
Methode 2: Primfaktoren vergleichen
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als $1$, die genau zwei positive Teiler hat: $1$ und sich selbst. Beispiele sind $2$, $3$, $5$ und $7$. Eine Primfaktorzerlegung schreibt eine Zahl größer als $1$ als Produkt von Primzahlen. Dabei bedeutet etwa $2^3=2\cdot2\cdot2$; die Hochzahl $3$ heißt Exponent und zählt hier die gleichen Faktoren.
Für den ggT nimmst du nur Primfaktoren, die in allen Zerlegungen vorkommen. Kommt ein Faktor mehrfach vor, übernimmst du ihn nur so oft, wie er in jeder Zahl mindestens vorhanden ist.
Gesucht ist $\operatorname{ggT}(360,450)$.
Zerlege $360$ durch wiederholtes Teilen durch Primzahlen:
$$360:2=180,\quad180:2=90,\quad90:2=45$$
$$45:3=15,\quad15:3=5,\quad5:5=1$$
Die verwendeten Teiler sind die Primfaktoren. Zusammengefasst ergibt das:
$$360=2^3\cdot3^2\cdot5$$
Bei $450$ erhältst du entsprechend $450:2=225$, $225:3=75$, $75:3=25$, $25:5=5$ und $5:5=1$. Also:
$$450=2\cdot3^2\cdot5^2$$
Gemeinsam vorhanden sind $2$, zweimal die $3$ und einmal die $5$. Deshalb gilt:
$$\operatorname{ggT}(360,450)=2\cdot3^2\cdot5=90$$
Probe: $360:90=4$ und $450:90=5$.
Für jeden Primfaktor, der in allen Zahlen vorkommt, gehört der kleinste Exponent in den ggT. Gibt es keinen gemeinsamen Primfaktor, ist der ggT $1$. Sobald eine der betrachteten Zahlen $1$ ist, ist der ggT ebenfalls $1$. Das Wort „kleinste“ bezieht sich auf die Häufigkeit des Faktors, nicht auf das Endergebnis.
Methode 3: Mit Resten rechnen
Der euklidische Algorithmus ist praktisch, wenn Teilerlisten oder Primfaktorzerlegungen lang werden. Teile die größere Zahl durch die kleinere und notiere den Rest. Die Zahl, durch die du teilst, heißt Divisor; der ganzzahlige Anteil des Ergebnisses heißt Quotient. Der Rest ist immer kleiner als der Divisor und mindestens $0$.
Rechne dann mit dem bisherigen Divisor und dem Rest weiter. Sobald der Rest $0$ ist, ist der Divisor dieser letzten Division der ggT.
Gesucht ist $\operatorname{ggT}(143,65)$.
$$143=2\cdot65+13$$
Hier ist $65$ der Divisor, $2$ der Quotient und $13$ der Rest. Nun teilst du $65$ durch $13$:
$$65=5\cdot13+0$$
Der Divisor der letzten Division ist $13$. Also ist $\operatorname{ggT}(143,65)=13$.
Warum darfst du mit dem Rest weiterrechnen? Jeder gemeinsame Teiler von $143$ und $65$ teilt auch die Differenz $143-2\cdot65=13$. Umgekehrt teilt jeder gemeinsame Teiler von $65$ und $13$ auch $2\cdot65+13=143$. Die gemeinsamen Teiler ändern sich also nicht. Außerdem werden die positiven Reste immer kleiner, sodass das Verfahren nach endlich vielen Schritten mit Rest $0$ endet.
Mehrere Zahlen und Brüche
Für mehr als zwei Zahlen kannst du den ggT schrittweise bilden: Berechne zuerst den ggT zweier Zahlen und dann den ggT dieses Ergebnisses mit der nächsten Zahl. Alternativ vergleichst du Primfaktoren und nimmst nur Faktoren, die in allen Zahlen vorkommen.
Für $24$, $36$ und $60$ gilt:
$$24=2^3\cdot3,\qquad36=2^2\cdot3^2,\qquad60=2^2\cdot3\cdot5$$
In allen drei Zerlegungen kommen mindestens $2^2$ und $3$ vor. Daher:
$$\operatorname{ggT}(24,36,60)=2^2\cdot3=12$$
Mit dem ggT kannst du einen Bruch in einem Schritt vollständig kürzen. Dazu teilst du die Zahl über dem Bruchstrich, den Zähler, und die Zahl darunter, den Nenner, durch denselben gemeinsamen Teiler. Der Wert des Bruchs bleibt dabei gleich.
Bestimme zuerst den ggT von $84$ und $126$:
$$126=1\cdot84+42,\qquad84=2\cdot42+0$$
Damit ist der ggT $42$. Teile Zähler und Nenner durch $42$:
$$\frac{84}{126}=\frac{84:42}{126:42}=\frac{2}{3}$$
Da $2$ und $3$ teilerfremd sind, ist der Bruch vollständig gekürzt.
Üben und typische Fehler vermeiden
Achte auf drei häufige Fehler:
- Die $1$ gehört immer zu den positiven Teilern.
- Ein gemeinsamer Teiler ist nicht automatisch der größte gemeinsame Teiler.
- Bei Primfaktoren zählen nur Faktoren, die in allen Zahlen vorkommen, und zwar mit der kleinsten gemeinsamen Häufigkeit.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Der ggT ist der gemeinsame Teiler. Sind zwei Zahlen teilerfremd, ist ihr ggT . Bei der Primfaktorzerlegung wählst du für jeden gemeinsamen Primfaktor den Exponenten. Beim euklidischen Algorithmus rechnest du mit Divisor und weiter.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- ggT
- Bedeutung: größter gemeinsamer Teiler
- Methoden: Teilerlisten, Primfaktoren, euklidischer Algorithmus
- Sonderfall: ggT 1 bedeutet teilerfremd
- Mehrere Zahlen: Gemeinsamkeit aller Zahlen zählt
- Anwendung: Brüche vollständig kürzen und Größen aufteilen