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ggT berechnen: drei Methoden einfach erklärt
Für positive natürliche Zahlen ist der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT, die größte Zahl, die alle betrachteten Zahlen ohne Rest teilt. Du kannst ihn durch Teilerlisten, Primfaktorzerlegung oder den euklidischen Algorithmus bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet der ggT?
Ein Teiler einer Zahl teilt sie ohne Rest. Zum Beispiel ist $5$ ein Teiler von $20$, denn $20:5=4$.
Größter gemeinsamer Teiler
Der ggT von zwei oder mehr positiven natürlichen Zahlen ist der größte positive Teiler, der in allen Zahlen ohne Rest enthalten ist. Man schreibt zum Beispiel $\operatorname{ggT}(20,30)=10$.
Die gemeinsamen Teiler von $20$ und $30$ sind $1$, $2$, $5$ und $10$. Der größte davon ist $10$.
Ist der ggT zweier Zahlen $1$, heißen die Zahlen teilerfremd. Sie können trotzdem beide größer als $1$ sein.
Methode 1: Teiler auflisten
Diese Methode eignet sich besonders für kleine Zahlen. Liste alle positiven Teiler beider Zahlen auf, markiere die gemeinsamen und wähle den größten.
Gesucht ist $\operatorname{ggT}(36,48)$.
Die Teiler von $36$ sind $1,2,3,4,6,9,12,18,36$.
Die Teiler von $48$ sind $1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$.
Gemeinsam sind $1,2,3,4,6,12$. Der größte gemeinsame Teiler ist daher $12$.
Die Probe bestätigt das Ergebnis: $36:12=3$ und $48:12=4$, jeweils ohne Rest.
Ein schneller Sonderfall: Teilt die kleinere Zahl die größere ohne Rest, ist die kleinere Zahl bereits der ggT. Weil $48:16=3$ gilt, ist $\operatorname{ggT}(48,16)=16$.
Methode 2: Primfaktoren vergleichen
Eine Primfaktorzerlegung schreibt eine Zahl als Produkt von Primzahlen. Für den ggT nimmst du nur Primfaktoren, die in allen Zerlegungen vorkommen. Kommt ein Faktor mehrfach vor, übernimmst du ihn nur so oft, wie er in jeder Zahl mindestens vorhanden ist.
Gesucht ist $\operatorname{ggT}(360,450)$.
$$360=2^3\cdot3^2\cdot5$$
$$450=2\cdot3^2\cdot5^2$$
Gemeinsam vorhanden sind $2$, zweimal die $3$ und einmal die $5$. Deshalb gilt:
$$\operatorname{ggT}(360,450)=2\cdot3^2\cdot5=90$$
Probe: $360:90=4$ und $450:90=5$.
Bei Potenzen derselben Primzahl gehört der kleinste vorkommende Exponent in den ggT. Das Wort „kleinste“ bezieht sich auf die Häufigkeit des Faktors, nicht auf das Endergebnis.
Methode 3: Mit Resten rechnen
Der euklidische Algorithmus ist praktisch, wenn Teilerlisten oder Primfaktorzerlegungen lang werden. Teile die größere Zahl durch die kleinere und notiere den Rest. Rechne dann mit dem bisherigen Divisor und dem Rest weiter. Sobald der Rest $0$ ist, ist der Divisor dieser letzten Division der ggT.
Gesucht ist $\operatorname{ggT}(143,65)$.
$$143=2\cdot65+13$$
Der Rest ist $13$. Nun teilst du $65$ durch $13$:
$$65=5\cdot13+0$$
Der Divisor der letzten Division ist $13$. Also ist $\operatorname{ggT}(143,65)=13$.
Warum darfst du mit dem Rest weiterrechnen? Jeder gemeinsame Teiler von $143$ und $65$ teilt auch die Differenz $143-2\cdot65=13$. Umgekehrt teilt jeder gemeinsame Teiler von $65$ und $13$ auch $2\cdot65+13=143$. Die gemeinsamen Teiler ändern sich also nicht.
Mehrere Zahlen und Brüche
Für mehr als zwei Zahlen kannst du den ggT schrittweise bilden. Alternativ vergleichst du Primfaktoren und nimmst nur Faktoren, die in allen Zahlen vorkommen.
Für $24$, $36$ und $60$ gilt:
$$24=2^3\cdot3,\qquad36=2^2\cdot3^2,\qquad60=2^2\cdot3\cdot5$$
In allen drei Zerlegungen kommen mindestens $2^2$ und $3$ vor. Daher:
$$\operatorname{ggT}(24,36,60)=2^2\cdot3=12$$
Mit dem ggT kannst du einen Bruch in einem Schritt vollständig kürzen.
$84$ und $126$ haben den ggT $42$. Teile Zähler und Nenner durch $42$:
$$\frac{84}{126}=\frac{84:42}{126:42}=\frac{2}{3}$$
Da $2$ und $3$ teilerfremd sind, ist der Bruch vollständig gekürzt.
Üben und typische Fehler vermeiden
Achte auf drei häufige Fehler:
- Die $1$ gehört immer zu den positiven Teilern.
- Ein gemeinsamer Teiler ist nicht automatisch der größte gemeinsame Teiler.
- Bei Primfaktoren zählen nur Faktoren, die in allen Zahlen vorkommen, und zwar mit der kleinsten gemeinsamen Häufigkeit.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Der ggT ist der gemeinsame Teiler. Sind zwei Zahlen teilerfremd, ist ihr ggT . Bei der Primfaktorzerlegung wählst du für jeden gemeinsamen Primfaktor den Exponenten. Beim euklidischen Algorithmus rechnest du mit Divisor und weiter.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- ggT
- Bedeutung: größter gemeinsamer Teiler
- Methoden: Teilerlisten, Primfaktoren, euklidischer Algorithmus
- Sonderfall: ggT 1 bedeutet teilerfremd
- Mehrere Zahlen: Gemeinsamkeit aller Zahlen zählt
- Anwendung: Brüche vollständig kürzen und Größen aufteilen