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kgV berechnen: Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV, ist die kleinste positive Zahl, die durch alle gegebenen positiven Zahlen ohne Rest teilbar ist. Du kannst es mit Vielfachenreihen oder Primfaktoren bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Gemeinsame Vielfache erkennen
Ein Vielfaches einer Zahl entsteht, wenn du sie mit einer natürlichen Zahl multiplizierst. Die Vielfachen von 6 beginnen beispielsweise mit 6, 12, 18 und 24.
Gemeinsames Vielfaches
Eine Zahl ist ein gemeinsames Vielfaches mehrerer Zahlen, wenn sie durch jede dieser Zahlen ohne Rest teilbar ist. Das kleinste positive gemeinsame Vielfache heißt kgV.
Für 6 und 8 sind 24, 48 und 72 gemeinsame Vielfache. Das kleinste davon ist 24. Deshalb gilt:
$$\operatorname{kgV}(6,8)=24$$
Das Produkt der Ausgangszahlen ist zwar ein gemeinsames Vielfaches, aber nicht immer das kleinste. Für 6 und 8 ist das Produkt 48, das kgV jedoch 24.
Mit Vielfachenreihen rechnen
Bei kleinen Zahlen findest du das kgV oft am schnellsten in den Vielfachenreihen.
- Schreibe die positiven Vielfachen beider Zahlen auf.
- Suche Zahlen, die in beiden Reihen vorkommen.
- Wähle die kleinste gemeinsame Zahl.
Gesucht ist $\operatorname{kgV}(12,18)$.
- Vielfache von 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, …
- Vielfache von 18: 18, 36, 54, 72, …
36 ist die erste Zahl in beiden Reihen. Daher gilt:
$$\operatorname{kgV}(12,18)=36$$
Mit Primfaktoren rechnen
Bei größeren Zahlen werden Vielfachenreihen schnell lang. Dann hilft die Primfaktorzerlegung: Du schreibst jede Zahl als Produkt von Primzahlen.
Für das kgV gehst du so vor:
- Zerlege jede Zahl vollständig in Primfaktoren.
- Sammle alle vorkommenden Primzahlen.
- Wähle von jeder Primzahl die höchste vorkommende Potenz.
- Multipliziere diese Potenzen.
Gesucht ist $\operatorname{kgV}(54,63)$.
$$54=2\cdot3^3$$
$$63=3^2\cdot7$$
Du brauchst $2$, $3^3$ und $7$. Bei der 3 wählst du die höhere Potenz $3^3$, damit das Ergebnis auch durch 54 teilbar ist.
$$\operatorname{kgV}(54,63)=2\cdot3^3\cdot7=378$$
Kontrolle: $378:54=7$ und $378:63=6$. Das Ergebnis ist durch beide Ausgangszahlen teilbar.
Übernimm jeden Primfaktor mit dem größten Exponenten, der in einer Zerlegung vorkommt. Gemeinsame Faktoren werden nicht einfach doppelt genommen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Berechnen des kgV mit Primfaktoren wählst du für jede Primzahl die vorkommende Potenz. Für $54=2\cdot3^3$ und $63=3^2\cdot7$ brauchst du bei der 3 die Potenz . Das kgV ist .
Die passende Methode wählen und prüfen
Vielfachenreihen sind anschaulich und eignen sich besonders für kleine Zahlen. Die Primfaktorzerlegung bleibt auch bei größeren Zahlen übersichtlich.
Kennst du den größten gemeinsamen Teiler, kurz ggT, kannst du für zwei positive Zahlen außerdem rechnen:
$$\operatorname{kgV}(m,n)=\frac{m\cdot n}{\operatorname{ggT}(m,n)}$$
Teile am besten vor dem Multiplizieren.
Für 18 und 24 gilt $\operatorname{ggT}(18,24)=6$.
$$\operatorname{kgV}(18,24)=(18:6)\cdot24=3\cdot24=72$$
Die Kontrolle bestätigt: $72:18=4$ und $72:24=3$.
Eine Zahl, die durch beide Ausgangszahlen teilbar ist, ist zunächst nur ein gemeinsames Vielfaches. Dass sie wirklich das kleinste ist, ergibt sich aus der korrekt angewendeten Vielfachen-, Primfaktor- oder ggT-Methode.
Das kgV als Hauptnenner nutzen
Beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen brauchst du gleiche Nenner. Das kgV der Nenner ist der kleinste mögliche gemeinsame Nenner, der Hauptnenner.
Der Erweiterungsfaktor eines Bruchs ist:
$$\frac{\text{Hauptnenner}}{\text{bisheriger Nenner}}$$
Berechne $\frac{1}{6}+\frac{1}{8}$.
Zuerst bestimmst du den Hauptnenner:
$$\operatorname{kgV}(6,8)=24$$
Der erste Bruch wird mit 4 erweitert, der zweite mit 3:
$$\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{4}{24}+\frac{3}{24}=\frac{7}{24}$$
Die Nenner sind gleich, und $\frac{7}{24}$ lässt sich nicht weiter kürzen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- kgV
- Bedeutung
- kleinstes positives gemeinsames Vielfaches
- Berechnung
- Vielfachenreihen
- höchste Primzahlpotenzen
- Formel mit dem ggT
- Kontrolle
- durch alle Ausgangszahlen teilbar
- Minimalität durch den Rechenweg gesichert
- Anwendung
- Hauptnenner von Brüchen
- Bedeutung