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Teiler und Vielfache einfach bestimmen
Vielfache entstehen beim Multiplizieren. Teiler sind Zahlen, durch die du ohne Rest teilen kannst. Beide Begriffe beschreiben also dieselbe Zahlbeziehung aus zwei Blickrichtungen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Vielfache entstehen beim Multiplizieren
Du möchtest immer vier Gegenstände in eine Schachtel legen. Mit jeder weiteren Schachtel wächst die Gesamtzahl um vier:
$4, 8, 12, 16, 20, 24, \ldots$
Vielfaches
Eine Zahl ist ein Vielfaches von 4, wenn sie als $4\cdot n$ mit einer positiven natürlichen Zahl $n$ geschrieben werden kann.
Die ersten sechs Vielfachen von $4$ entstehen so:
$4\cdot1=4$, $4\cdot2=8$, $4\cdot3=12$, $4\cdot4=16$, $4\cdot5=20$, $4\cdot6=24$.
Du multiplizierst $4$ nacheinander mit $1,2,3,4,5$ und $6$. Deshalb lautet der Anfang der Vielfachenreihe:
$4,8,12,16,20,24,\ldots$
Die Vielfachen einer Zahl erhältst du, indem du ihre Einmaleinsreihe fortsetzt. Eine Vielfachenreihe endet nicht.
Teiler erkennst du an einer Division ohne Rest
Eine Zahl passt als Teiler genau dann, wenn beim Aufteilen nichts übrig bleibt.
Teiler
Eine natürliche Zahl ist ein Teiler einer anderen Zahl, wenn die Division ohne Rest aufgeht. Zum Beispiel ist $3$ ein Teiler von $18$, denn $18:3=6$.
Ist $4$ ein Teiler von $18$?
$4\cdot4=16$. Von $18$ bleiben danach noch $2$ übrig. Die Division durch $4$ geht also nicht ohne Rest auf. Deshalb ist $4$ kein Teiler von $18$.
Mit Teilerpaaren findest du alle Teiler
Teiler treten bei einer positiven natürlichen Zahl paarweise auf. Jede passende Multiplikationsaufgabe liefert zwei Teiler.
Gesucht sind alle Teiler von $12$.
- $1\cdot12=12$: Das Teilerpaar ist $1$ und $12$.
- $2\cdot6=12$: Das Teilerpaar ist $2$ und $6$.
- $3\cdot4=12$: Das Teilerpaar ist $3$ und $4$.
Danach würden sich die Paare nur in umgekehrter Reihenfolge wiederholen. Somit ist die vollständige Teilermenge:
$T_{12}=\{1;2;3;4;6;12\}$
Suche Multiplikationsaufgaben mit dem gesuchten Ergebnis. Die beiden Faktoren bilden jeweils ein Teilerpaar.
So unterscheidest du beide Blickrichtungen
Bei der Aufgabe $6\cdot7=42$ kannst du drei Aussagen ablesen:
- $42$ ist ein Vielfaches von $6$.
- $42$ ist ein Vielfaches von $7$.
- $6$ und $7$ sind Teiler von $42$.
Das Vielfache ist das Ergebnis der Multiplikation. Die Faktoren sind Teiler des Ergebnisses.
Eine Aufgabe selbst lösen
Gesucht ist eine Zahl, die größer als $5$, kleiner als $7$ und ein Teiler von $42$ ist.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Teiler und Vielfache
- Vielfache durch Multiplikation bilden
- Teiler durch Division ohne Rest erkennen
- Teiler mit Faktor- und Teilerpaaren sammeln
- Beziehungen mit Umkehraufgaben begründen
Abschluss-Check
Wenn du eine Zahlbeziehung begründen willst, suche eine passende Multiplikation: Das Ergebnis ist ein Vielfaches, seine Faktoren sind Teiler.