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Primzahlen erkennen und sicher prüfen
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1 mit genau zwei positiven Teilern: 1 und sich selbst. Du lernst hier, Primzahlen von zusammengesetzten Zahlen zu unterscheiden, kleine Zahlen zu prüfen und das Sieb des Eratosthenes anzuwenden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Primzahl?
Primzahl
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die genau zwei positive Teiler hat: 1 und sich selbst.
Ein Teiler einer Zahl teilt sie ohne Rest. Die Zahl 5 hat nur die Teiler 1 und 5. Deshalb ist 5 eine Primzahl.
Die Zahl 4 hat dagegen die Teiler 1, 2 und 4. Weil sie mehr als zwei Teiler besitzt, ist sie keine Primzahl.
Eine natürliche Zahl größer als 1 mit mehr als zwei Teilern heißt zusammengesetzte Zahl. Sie lässt sich als Produkt kleinerer natürlicher Zahlen schreiben, zum Beispiel 21 = 3 · 7.
Ein einziger zusätzlicher Teiler neben 1 und der Zahl selbst genügt als Beweis: Die Zahl ist nicht prim.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Eine Primzahl besitzt genau positive Teiler: und .
Warum gehören 0 und 1 nicht dazu?
Die Zahl 1 hat nur einen positiven Teiler: 1. Die Formulierungen durch 1 und durch sich selbst meinen hier denselben Teiler. Deshalb ist 1 keine Primzahl.
Auch 0 ist keine Primzahl. Sie besitzt nicht genau zwei positive Teiler: Jede positive natürliche Zahl teilt 0 ohne Rest.
Die Zahl 2 erfüllt die Definition. Ihre Teiler sind 1 und 2. Sie ist außerdem die einzige gerade Primzahl, denn jede andere gerade Zahl hat zusätzlich den Teiler 2.
Wie prüfst du eine kleine Zahl?
Beginne mit der Leitfrage: Gibt es außer 1 und der Zahl selbst noch einen Teiler?
- Suche nach einer Division ohne Rest.
- Findest du einen zusätzlichen Teiler, ist die Zahl zusammengesetzt.
- Findest du keinen zusätzlichen Teiler, hat die Zahl nur 1 und sich selbst als Teiler und ist prim.
Prüfe 21 und 13.
Bei 21 findest du 3 als zusätzlichen Teiler, denn 21 = 3 · 7. Die positiven Teiler sind 1, 3, 7 und 21. Also ist 21 nicht prim.
Bei 13 ergeben die Divisionen durch die natürlichen Zahlen von 2 bis 12 keinen ganzzahligen Quotienten. Die einzigen positiven Teiler sind 1 und 13. Also ist 13 prim.
Ein häufiger Fehler ist, nur die Teilbarkeit durch 2, 3 und 5 zu prüfen. Das reicht nicht immer: 49 ist durch keine dieser Zahlen teilbar, aber 49 = 7 · 7. Daher ist 49 zusammengesetzt.
Wie findest du mehrere Primzahlen auf einmal?
Mit dem Sieb des Eratosthenes findest du alle Primzahlen in einem begrenzten Zahlenbereich.
- Schreibe die natürlichen Zahlen ab 2 bis zur gewünschten Grenze auf.
- Markiere die 2 und streiche alle größeren Vielfachen von 2.
- Markiere die nächste nicht gestrichene Zahl, die 3, und streiche ihre größeren Vielfachen.
- Fahre mit der jeweils nächsten nicht gestrichenen Zahl fort.
- Die nicht gestrichenen Zahlen sind die Primzahlen des Bereichs.
Bis 30 bleiben übrig:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und 29.
Das Verfahren funktioniert, weil jedes gestrichene Vielfache außer 1 und sich selbst noch mindestens einen weiteren Teiler besitzt.
Warum heißen Primzahlen Bausteine der Zahlen?
Zusammengesetzte Zahlen lassen sich vollständig in Primfaktoren zerlegen. Primfaktoren sind Primzahlen, die miteinander multipliziert die Ausgangszahl ergeben.
Zerlege 84 schrittweise:
84 = 2 · 42
84 = 2 · 2 · 21
84 = 2 · 2 · 3 · 7
Nun sind alle Faktoren Primzahlen. Die Primfaktorzerlegung ist vollständig.
Primfaktorzerlegungen helfen später unter anderem beim Kürzen von Brüchen sowie beim Bestimmen des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Primzahlen
- Definition: genau zwei positive Teiler
- Sonderfälle: 0 und 1 sind nicht prim, 2 ist die einzige gerade Primzahl
- Einzelprüfung: zusätzlichen Teiler suchen
- Mehrere Zahlen: Sieb des Eratosthenes verwenden
- Bedeutung: Bausteine zusammengesetzter Zahlen
Abschluss-Check
Du hast den Kern verstanden, wenn du eine Zahl nicht nach ihrem Aussehen beurteilst, sondern ihre Teiler prüfst: Genau zwei bedeuten prim, ein weiterer Teiler bedeutet zusammengesetzt.