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Primzahlen wirken auf den ersten Blick unregelmäßig. Das Sieb des Eratosthenes gibt dir aber ein klares Verfahren, um Primzahlen bis zu einer Grenze systematisch zu finden.
Nach dieser Seite kannst du das Sieb anwenden, zusammengesetzte Zahlen streichen und erklären, warum das Verfahren funktioniert.
- Ich kann Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen unterscheiden.
- Ich kann das Sieb des Eratosthenes Schritt für Schritt anwenden.
- Ich kann Vielfache einer Zahl streichen.
- Ich kann begründen, warum am Ende Primzahlen übrig bleiben.
- Ich kann typische Fehler mit der Zahl 1 vermeiden.
Primzahlen wiederholen
Das Sieb sucht Primzahlen. Deshalb brauchst du zuerst die Definition.
Primzahl
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die genau zwei positive Teiler hat: 1 und sich selbst.
2, 3, 5 und 7 sind Primzahlen. 4 ist keine Primzahl, weil \(4=2\cdot2\). 1 ist keine Primzahl, weil sie nur einen positiven Teiler hat.
1 wird im Sieb nicht als Primzahl gezählt.
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So funktioniert das Sieb
Du schreibst alle Zahlen ab 2 bis zu deiner Grenze auf. Dann streichst du Vielfache.
Sieb des Eratosthenes
Das Sieb des Eratosthenes ist ein Verfahren, mit dem man Primzahlen findet, indem man Vielfache bereits gefundener Primzahlen streicht.
Finde Primzahlen bis 30.
- Schreibe 2 bis 30 auf.
- 2 bleibt stehen. Streiche alle größeren Vielfachen von 2: 4, 6, 8, ...
- Die nächste freie Zahl ist 3. Streiche 6, 9, 12, ...
- Die nächste freie Zahl ist 5. Streiche 10, 15, 20, ...
- Die nächste freie Zahl ist 7. Streiche 14, 21, 28.
Übrig bleiben: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Du streichst nicht die Primzahl selbst, sondern ihre größeren Vielfachen.
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Warum das Verfahren funktioniert
Jede zusammengesetzte Zahl hat einen kleineren Teiler. Deshalb wird sie irgendwann als Vielfaches gestrichen.
Zusammengesetzte Zahl
Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die mehr als zwei positive Teiler hat.
21 wird beim Sieben gestrichen, weil \(21=3\cdot7\) ist. Es ist also ein Vielfaches von 3 und von 7.
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Prüfungsmodus
Oft musst du nicht bis zur Grenze jede Zahl testen. Beim Sieb bis 30 reicht es, mit Primzahlen bis \(\sqrt{30}\) zu streichen, also bis 5,47. Praktisch prüfst du 2, 3 und 5.
Wenn eine Zahl \(n\) zusammengesetzt ist, hat sie mindestens einen Teiler, der höchstens \(\sqrt n\) ist. Darum reicht das Sieben mit kleinen Primzahlen bis zur Quadratwurzel der Grenze.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Das Sieb des Eratosthenes findet Primzahlen systematisch. Du startest bei 2, streichst größere Vielfache gefundener Primzahlen und lässt die Primzahlen selbst stehen. Am Ende bleiben genau die Primzahlen bis zur Grenze übrig.