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Primzahlen bis 1000: Liste, Erkennen und Prüfen
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die genau zwei positive Teiler hat: 1 und sich selbst. Bis einschließlich 1000 gibt es 168 Primzahlen. Die kleinste ist 2, die größte in diesem Bereich ist 997.
Auf dieser Seite lernst du, Primzahlen zu erkennen, mit einem Sieb zu finden und eine Zahl systematisch auf ihre Primzahleigenschaft zu prüfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Primzahl?
Eine natürliche Zahl kann verschiedene positive Teiler besitzen. Ein Teiler passt ohne Rest in die Zahl.
Primzahl
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1 mit genau zwei positiven Teilern: 1 und der Zahl selbst.
Die Zahl 7 ist prim, denn ihre einzigen positiven Teiler sind 1 und 7. Die Zahl 12 ist nicht prim: Neben 1 und 12 hat sie zum Beispiel die Teiler 2, 3, 4 und 6.
Eine natürliche Zahl größer als 1, die nicht prim ist, heißt zusammengesetzte Zahl. Sie lässt sich als Produkt kleinerer natürlicher Zahlen größer als 1 schreiben. So gilt $12=3\cdot4$.
Die Zahl 1 ist keine Primzahl. Sie hat nur einen positiven Teiler. Die Zahl 2 ist dagegen prim und zugleich die einzige gerade Primzahl.
Warum kann keine andere gerade Zahl prim sein? Jede gerade Zahl größer als 2 ist durch 2 teilbar. Sie besitzt daher außer 1 und sich selbst noch mindestens einen weiteren Teiler.
Welche Primzahlen liegen bis 1000?
Die folgende Tabelle enthält alle 168 Primzahlen von 2 bis 997. Die Einteilung nach Hunderterbereichen erleichtert das Nachschlagen.
| Bereich | Primzahlen |
|---|---|
| 2–100 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
| 101–200 | 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 |
| 201–300 | 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293 |
| 301–400 | 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397 |
| 401–500 | 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 |
| 501–600 | 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599 |
| 601–700 | 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691 |
| 701–800 | 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797 |
| 801–900 | 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887 |
| 901–1000 | 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 |
Zwischen 2 und 1000 liegen insgesamt 999 natürliche Zahlen. Davon sind 168 prim und $999-168=831$ zusammengesetzt. Die Zahl 1000 gehört zu den zusammengesetzten Zahlen, denn beispielsweise gilt $1000=10\cdot100$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die kleinste Primzahl ist . Bis einschließlich 1000 gibt es Primzahlen. Die größte Primzahl in diesem Bereich ist . Die Zahl 1000 ist .
Wie prüfst du eine einzelne Zahl?
Bei einer kleinen Zahl kannst du mögliche Teiler ausprobieren. Bei größeren Zahlen wäre es jedoch unnötig, alle kleineren Zahlen zu testen.
Für eine Zahl $n$ genügt es, mögliche Primteiler bis zur Quadratwurzel $\sqrt n$ zu prüfen. Du brauchst dabei nur Primzahlen als mögliche Teiler zu testen.
Warum reicht das? Ist $n=a\cdot b$ zusammengesetzt und wäre sowohl $a>\sqrt n$ als auch $b>\sqrt n$, dann wäre $a\cdot b>n$. Das ist unmöglich. Bei einer zusammengesetzten Zahl muss daher mindestens ein Faktor höchstens $\sqrt n$ sein.
Prüfe, ob 221 prim ist.
- Bestimme die Prüfgrenze. Weil $14^2=196$ und $15^2=225$ gilt, liegt $\sqrt{221}$ zwischen 14 und 15.
- Prüfe nur die Primzahlen bis 14: 2, 3, 5, 7, 11 und 13.
- 221 ist nicht durch 2, 3, 5, 7 oder 11 teilbar. Bei 13 findest du jedoch $221=13\cdot17$.
- Damit ist 221 zusammengesetzt und keine Primzahl.
Bei 997 liegt die Quadratwurzel zwischen 31 und 32, denn $31^2=961$ und $32^2=1024$. Für einen vollständigen Test musst du deshalb nur die Primzahlen bis 31 prüfen. Keine davon teilt 997 ohne Rest; daher ist 997 prim.
Beende den Test nicht nach einigen erfolglosen Divisionen. Eine Zahl ist erst dann sicher als prim erkannt, wenn alle möglichen Primteiler bis zu ihrer Quadratwurzel geprüft wurden.
Wie findest du viele Primzahlen auf einmal?
Wenn du alle Primzahlen bis zu einer Grenze suchst, kannst du ein Siebverfahren verwenden. Dabei streichst du schrittweise die Vielfachen bereits gefundener Primzahlen.
So findest du alle Primzahlen bis 30:
- Schreibe die natürlichen Zahlen von 2 bis 30 auf.
- Behalte 2 und streiche alle größeren Vielfachen von 2.
- Die nächste nicht gestrichene Zahl ist 3. Behalte sie und streiche ihre größeren Vielfachen.
- Die nächste nicht gestrichene Zahl ist 5. Behalte sie und streiche ihre größeren Vielfachen.
- Alle nicht gestrichenen Zahlen sind prim.
Nach dem Sieben bleiben bis 30 diese Zahlen übrig:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und 29.
Die Zahl 7 wird nicht gestrichen. Ihre größeren Vielfachen bis 30, nämlich 14, 21 und 28, wurden bereits als Vielfache von 2 oder 3 entfernt.
Beim Sieben bis 1000 führst du das Streichen mit der jeweils nächsten nicht gestrichenen Primzahl fort. Es genügt, neue Streichschritte für Primzahlen bis 31 zu beginnen, weil $32^2$ bereits größer als 1000 ist. Die nicht gestrichenen Zahlen ergeben genau die vollständige Liste dieser Seite.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Primzahlen bis 1000
- Definition: größer als 1 und genau zwei positive Teiler
- Sonderfälle: 1 ist nicht prim, 2 ist die einzige gerade Primzahl
- Liste: 168 Primzahlen von 2 bis 997
- Einzelprüfung: Primteiler nur bis zur Quadratwurzel testen
- Siebverfahren: Vielfache gefundener Primzahlen streichen
- Gegenbeweis: eine Zerlegung in kleinere Faktoren genügt
Abschluss-Check
Du kannst eine Zahl nun auf zwei Arten einordnen: Entweder findest du einen zusätzlichen Teiler und weist damit nach, dass sie zusammengesetzt ist, oder du prüfst erfolglos alle Primteiler bis zur Quadratwurzel und erkennst sie als Primzahl.