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Primzahlen sind wie die Bausteine der natürlichen Zahlen. Wenn du Brüche kürzt, Teiler suchst oder Zahlen zerlegst, tauchen sie ständig wieder auf.
Hier lernst du, was Primzahlen sind, wie du Primzahlen bis \(1000\) findest und wie du die Liste sinnvoll benutzt, statt sie nur auswendig zu lernen.
- Ich kann erklären, was eine Primzahl ist.
- Ich kann Primzahlen von zusammengesetzten Zahlen unterscheiden.
- Ich kann mit Teilbarkeitsregeln Primzahlen prüfen.
- Ich kann das Sieb des Eratosthenes beschreiben.
- Ich kenne die Primzahlen bis 1000 als Nachschlagehilfe.
Was ist eine Primzahl?
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei positiven Teilern. Diese Teiler sind \(1\) und die Zahl selbst.
Primzahl
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als \(1\), die genau zwei positive Teiler hat: \(1\) und sich selbst.
\(7\) ist eine Primzahl.
Die positiven Teiler von \(7\) sind \(1\) und \(7\).
Es gibt keinen weiteren Teiler.
Also ist \(7\) prim.
\(9\) ist keine Primzahl.
Die positiven Teiler von \(9\) sind \(1\), \(3\) und \(9\).
Weil \(9\) mehr als zwei Teiler hat, ist \(9\) zusammengesetzt.
\(1\) ist keine Primzahl, weil sie nur einen positiven Teiler hat.
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Prim oder zusammengesetzt?
Eine Zahl, die größer als \(1\) ist und mehr als zwei Teiler hat, heißt zusammengesetzt. Sie lässt sich als Produkt kleinerer natürlicher Zahlen schreiben.
Zusammengesetzte Zahl
Eine zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl größer als \(1\), die mehr als zwei positive Teiler hat.
\(21\) ist zusammengesetzt.
Du findest:
\(21 = 3 \cdot 7\)
Also sind \(1\), \(3\), \(7\) und \(21\) Teiler.
Damit ist \(21\) keine Primzahl.
\(29\) ist prim.
Du prüfst die Primteiler bis zur Wurzel von \(29\).
\(\sqrt{29}\) liegt zwischen \(5\) und \(6\).
Du musst also nur \(2\), \(3\) und \(5\) prüfen.
\(29\) ist nicht durch \(2\), nicht durch \(3\) und nicht durch \(5\) teilbar.
Also ist \(29\) eine Primzahl.
Warum reicht das Prüfen bis zur Wurzel? Wenn eine Zahl \(n\) einen Teiler größer als \(\sqrt n\) hat, dann gehört dazu ein zweiter Teiler kleiner als \(\sqrt n\). Den hättest du schon gefunden.
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Primzahlen bis 100 finden
Viele Aufgaben werden leichter, wenn du die Primzahlen bis \(100\) sicher kennst.
Die Primzahlen bis \(100\) sind:
\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,\)
\(31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,\)
\(73, 79, 83, 89, 97\).
Außer \(2\) sind alle Primzahlen ungerade. Aber nicht alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen.
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Sieb des Eratosthenes
Das Sieb des Eratosthenes ist eine Methode, um Primzahlen systematisch zu finden. Du streichst Vielfache weg.
Sieb des Eratosthenes
Das Sieb des Eratosthenes ist ein Verfahren, bei dem du aus einer Zahlenliste alle Vielfachen von Primzahlen streichst. Übrig bleiben Primzahlen.
Finde Primzahlen bis \(30\).
Schritt 1: Schreibe die Zahlen von \(2\) bis \(30\) auf.
Schritt 2: \(2\) ist prim. Streiche alle größeren Vielfachen von \(2\).
Schritt 3: \(3\) ist noch nicht gestrichen. Streiche alle größeren Vielfachen von \(3\).
Schritt 4: \(5\) ist noch nicht gestrichen. Streiche alle größeren Vielfachen von \(5\).
Bis \(\sqrt{30}\) reicht das.
Übrig bleiben:
\(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\).
Beim Sieben streichst du Vielfache. Die Primzahl selbst bleibt stehen.
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Liste der Primzahlen bis 1000
Die Liste ist zum Nachschlagen gedacht. Wichtiger als Auswendiglernen ist, dass du verstehst, wie du die Zahlen prüfen kannst.
Primzahlen bis \(1000\):
\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,\) \(31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,\) \(73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,\) \(127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173,\) \(179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229,\) \(233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,\) \(283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349,\) \(353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409,\) \(419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463,\) \(467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541,\) \(547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601,\) \(607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659,\) \(661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733,\) \(739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809,\) \(811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863,\) \(877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941,\) \(947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997\).
Ist \(997\) prim?
Für Zahlen bis \(1000\) müsstest du nur Primteiler bis \(31\) prüfen:
\(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31\).
\(997\) ist durch keinen davon teilbar.
Also ist \(997\) eine Primzahl.
Es gibt \(168\) Primzahlen bis \(1000\).
Prüfungsmodus: Schnell prüfen
In Aufgaben musst du oft entscheiden, ob eine Zahl prim ist. Nutze Teilbarkeitsregeln und prüfe nur die nötigen Primteiler.
Prüfe \(221\).
\(221\) ist nicht gerade.
Die Quersumme ist \(2+2+1=5\), also nicht durch \(3\) teilbar.
Sie endet nicht auf \(0\) oder \(5\), also nicht durch \(5\) teilbar.
Jetzt prüfst du \(7\), \(11\) und \(13\), denn \(\sqrt{221}\) ist etwas kleiner als \(15\).
\(221 = 13 \cdot 17\).
Also ist \(221\) keine Primzahl.
Prüfe \(113\).
\(\sqrt{113}\) liegt zwischen \(10\) und \(11\).
Du prüfst \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\).
\(113\) ist durch keine dieser Zahlen teilbar.
Also ist \(113\) prim.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Primzahlen sind natürliche Zahlen größer als \(1\) mit genau zwei positiven Teilern. Die Zahl \(1\) ist nicht prim, und \(2\) ist die einzige gerade Primzahl.
Zum Prüfen nutzt du Teilbarkeitsregeln und testest Primteiler nur bis zur Wurzel der Zahl. Die Primzahlen bis \(1000\) kannst du als Liste verwenden, solltest aber immer auch begründen können.