Mit Google fortfahren
Satz von Vieta: Nullstellen finden und prüfen
Mit dem Satz von Vieta findest oder überprüfst du die Lösungen einer normierten quadratischen Gleichung, indem du ihre Summe und ihr Produkt betrachtest. Für $x^2+px+q=0$ gilt:
$$x_1+x_2=-p \qquad\text{und}\qquad x_1x_2=q$$
Du suchst also zwei Zahlen, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die zwei Bedingungen sicher ablesen
Der Satz von Vieta bezieht sich zunächst auf die Normalform
$$x^2+px+q=0.$$
Dabei ist $p$ der Koeffizient vor $x$ und $q$ die Zahl ohne $x$. Vor $x^2$ muss der Faktor $1$ stehen, und auf der rechten Seite muss $0$ stehen.
Satz von Vieta
Sind $x_1$ und $x_2$ die Lösungen von $x^2+px+q=0$, dann ist ihre Summe $-p$ und ihr Produkt $q$:
$$x_1+x_2=-p, \qquad x_1x_2=q.$$
Umgekehrt gilt: Erfüllen zwei Zahlen beide Beziehungen, sind sie Lösungen der Gleichung.
Achte besonders auf das Minuszeichen: Die gesuchte Summe ist nicht $p$, sondern $-p$. Das Vorzeichen von $q$ übernimmst du dagegen unverändert.
Für $x^2-5x+6=0$ gilt $p=-5$ und $q=6$.
Gesucht sind daher zwei Zahlen mit der Summe $-(-5)=5$ und dem Produkt $6$. Die Zahlen $2$ und $3$ passen:
$$2+3=5, \qquad 2\cdot3=6.$$
Also sind $x_1=2$ und $x_2=3$ die Lösungen.
Die Gleichung zuerst vorbereiten
Nicht jede Gleichung steht sofort in der benötigten Form. Gehe dann in dieser Reihenfolge vor:
- Bringe alle Terme auf eine Seite, sodass rechts $0$ steht.
- Ordne die Terme nach fallenden Potenzen von $x$.
- Teile die gesamte Gleichung durch den Koeffizienten vor $x^2$, falls dieser nicht $1$ ist.
- Lies erst danach $p$ und $q$ ab.
Gegeben ist
$$2x^2-6x-20=0.$$
Vor $x^2$ steht der Faktor $2$. Deshalb teilst du jeden Term durch $2$:
$$x^2-3x-10=0.$$
Nun sind $p=-3$ und $q=-10$. Damit müssen die Lösungen die Summe $3$ und das Produkt $-10$ besitzen. Das Zahlenpaar $5$ und $-2$ erfüllt beides:
$$5+(-2)=3, \qquad 5\cdot(-2)=-10.$$
Die Lösungen sind also $x_1=5$ und $x_2=-2$.
Teilst du zum Normieren durch eine Zahl, musst du alle Terme auf beiden Seiten durch diese Zahl teilen.
Ganzzahlige Lösungen systematisch suchen
Beim Probieren beginnst du am besten mit dem Produkt $q$. Dafür gibt es bei ganzen Zahlen meist nur wenige Faktorpaare.
Für $x^2+px+q=0$ gehst du so vor:
- Notiere $p$, $q$ und die gesuchte Summe $-p$.
- Bilde Zahlenpaare mit dem Produkt $q$.
- Berechne die Summe jedes Paares.
- Wähle nur ein Paar, das Produkt und Summe erfüllt.
- Prüfe dein Ergebnis mit beiden Vieta-Bedingungen.
Löse $x^2-8x+12=0$.
Es gilt $p=-8$ und $q=12$. Gesucht sind also Zahlen mit der Summe $8$ und dem Produkt $12$.
| Zahlenpaar | Produkt | Summe | Passt? |
|---|---|---|---|
| $1$ und $12$ | $12$ | $13$ | nein |
| $3$ und $4$ | $12$ | $7$ | nein |
| $2$ und $6$ | $12$ | $8$ | ja |
Daher gilt:
$$x_1=2, \qquad x_2=6.$$
Die Kontrolle bestätigt beide Bedingungen:
$$2+6=8=-p, \qquad 2\cdot6=12=q.$$
Das Vorzeichen von $q$ hilft bei der Suche:
- Ist $q$ positiv, haben ganzzahlige Lösungspaare dasselbe Vorzeichen.
- Ist $q$ negativ, haben sie verschiedene Vorzeichen.
Diese Hinweise ersetzen die Summenkontrolle nicht.
Lösungen prüfen und Gleichungen bilden
Mit Vieta kannst du nicht nur Lösungen suchen. Du kannst auch ein vorgeschlagenes Zahlenpaar prüfen oder aus zwei Lösungen eine Gleichung aufstellen.
Ein Zahlenpaar prüfen
Bei $x^2+x-12=0$ sind $p=1$ und $q=-12$. Für die Zahlen $3$ und $-4$ gilt:
$$3+(-4)=-1=-p,$$
$$3\cdot(-4)=-12=q.$$
Weil beide Bedingungen stimmen, sind $3$ und $-4$ Lösungen.
Eine Gleichung bilden
Sind $x_1$ und $x_2$ vorgegeben, berechnest du
$$p=-(x_1+x_2) \qquad\text{und}\qquad q=x_1x_2.$$
Gegeben sind $x_1=-7$ und $x_2=4$.
Zuerst berechnest du Summe und Produkt:
$$x_1+x_2=-7+4=-3,$$
$$x_1x_2=(-7)\cdot4=-28.$$
Daraus folgen $p=-(-3)=3$ und $q=-28$. Die gesuchte Gleichung lautet:
$$x^2+3x-28=0.$$
Zur Kontrolle kannst du die linke Seite faktorisieren:
$$(x+7)(x-4)=x^2+3x-28.$$
Warum Vieta funktioniert und wo Probieren endet
Eine normierte quadratische Gleichung mit den Lösungen $x_1$ und $x_2$ lässt sich in Faktoren schreiben:
$$x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2).$$
Multiplizierst du die rechte Seite aus, erhältst du
$$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2.$$
Nun vergleichst du die Koeffizienten mit $x^2+px+q$:
- Vor $x$ steht einmal $p$ und einmal $-(x_1+x_2)$.
- Als konstanter Term steht einmal $q$ und einmal $x_1x_2$.
Daraus folgen genau die beiden Vieta-Beziehungen.
Der Satz von Vieta gilt nicht nur für ganzzahlige Lösungen. Lediglich die Suche über ganzzahlige Faktorpaare ist besonders einfach. Findest du kein passendes ganzzahliges Paar, kann die Gleichung trotzdem nicht ganzzahlige oder keine reellen Lösungen besitzen. Dann brauchst du ein anderes geeignetes Lösungsverfahren, etwa die pq-Formel.
Auch eine doppelte Lösung ist möglich. Bei
$$x^2+14x+49=0$$
sind $p=14$ und $q=49$. Zweimal $-7$ erfüllt beide Beziehungen:
$$(-7)+(-7)=-14=-p,$$
$$(-7)\cdot(-7)=49=q.$$
Daher ist $x_1=x_2=-7$ eine doppelte Lösung.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Satz von Vieta
- Voraussetzung
- Normalform $x^2+px+q=0$
- rechte Seite ist $0$
- Beziehungen
- Summe $x_1+x_2=-p$
- Produkt $x_1x_2=q$
- Anwendungen
- Lösungen suchen
- Lösungen prüfen
- Gleichung bilden
- Kontrolle
- beide Bedingungen prüfen
- Vorzeichen beachten
- Grenze
- Probieren eignet sich besonders für ganzzahlige Lösungen
- Voraussetzung
Abschluss-Check
Wenn du unsicher bist, schreibe vor jedem Versuch gut sichtbar: Summe $=-p$, Produkt $=q$. Prüfe am Ende immer beide Beziehungen.