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Der Satz von Vieta ist ein kurzer Blick hinter quadratische Gleichungen. Statt sofort die Lösungsformel zu benutzen, erkennst du bei passenden Aufgaben die Lösungen über Summe und Produkt.
- Ich kann den Satz von Vieta für normierte quadratische Gleichungen formulieren.
- Ich kann Summe und Produkt der Lösungen nutzen.
- Ich kann passende Lösungen durch Probieren finden.
- Ich erkenne, wann ich zuerst durch den Leitkoeffizienten teilen muss.
Die Form erkennen
Am einfachsten ist Vieta bei einer normierten Gleichung. Normiert bedeutet: Vor \(x^2\) steht die 1.
Satz von Vieta
Für \(x^2+px+q=0\) mit Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) gilt: \(x_1+x_2=-p\) und \(x_1\cdot x_2=q\).
Hier ist \(p=-5\) und \(q=6\). Gesucht sind zwei Zahlen mit Summe 5 und Produkt 6: 2 und 3.
Also sind die Lösungen \(x_1=2\) und \(x_2=3\).
Achte besonders auf das Vorzeichen: Die Summe ist \(-p\), nicht \(p\).
Vom Produkt zur Zerlegung
Wenn du die Lösungen kennst, kannst du den Term als Produkt von Linearfaktoren schreiben. Das verbindet Vieta mit der Linearfaktorzerlegung.
Linearfaktor
Ein Linearfaktor hat die Form \((x-a)\). Er wird null, wenn \(x=a\) eingesetzt wird.
Zu den Lösungen 2 und 3 gehört
Probe durch Ausmultiplizieren:
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Nicht normierte Gleichungen
Steht vor \(x^2\) nicht die 1, teilst du zuerst die ganze Gleichung durch diese Zahl. Erst danach liest du \(p\) und \(q\) ab.
Durch 2 teilen:
Jetzt findest du wieder die Lösungen 2 und 3.
Erst normieren, dann Vieta anwenden.
Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Vieta verknüpft die Lösungen einer normierten quadratischen Gleichung mit den Koeffizienten. Summe und Produkt führen oft schnell zu Lösungen und Faktoren.