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Summenregel beim Ableiten einfach erklärt
Beim Ableiten einer Summe leitest du jeden Summanden einzeln ab. Plus- und Minuszeichen bleiben dabei erhalten. Die Summenregel zerlegt also eine lange Funktion in überschaubare Teile.
Auf dieser Seite lernst du, die Summanden zu erkennen, sie mit der jeweils passenden Regel abzuleiten und typische Fehler zu vermeiden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Summenregel ist gemeint?
Der Ausdruck Summenregel hat in der Mathematik zwei verschiedene Bedeutungen:
- In der Differentialrechnung wird eine Summe gliedweise abgeleitet.
- In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden die Wahrscheinlichkeiten mehrerer passender Ergebnisse oder Pfade addiert.
Diese Seite behandelt vor allem die Summenregel beim Ableiten.
Summenregel der Differentialrechnung
Sind $u$ und $v$ differenzierbare Funktionen, dann gilt:
$$(u+v)'=u'+v'$$
Für eine Differenz gilt entsprechend:
$$(u-v)'=u'-v'$$
Wie leitest du eine Summe ab?
Gehe bei einer Summe oder Differenz in vier Schritten vor:
- Trenne die Funktion an ihren Plus- und Minuszeichen in einzelne Glieder.
- Leite jedes Glied mit der passenden Ableitungsregel ab.
- Übernimm die Rechenzeichen.
- Vereinfache das Ergebnis.
Für Potenzen brauchst du häufig zusätzlich die Potenzregel:
$$(x^n)'=n x^{n-1}$$
Steht ein konstanter Faktor vor einer Funktion, bleibt er nach der Faktorregel erhalten:
$$(a u(x))'=a u'(x)$$
Gegeben ist $f(x)=2x^3-4x^2+5x$.
Die drei Glieder sind $2x^3$, $-4x^2$ und $5x$. Du leitest sie einzeln ab:
$$(2x^3)'=2\cdot3x^2=6x^2$$
$$(-4x^2)'=-4\cdot2x=-8x$$
$$(5x)'=5$$
Damit erhältst du:
$$f'(x)=6x^2-8x+5$$
Die Summenregel sagt dir, welche Teile du getrennt behandelst. Die Potenz- oder eine andere Ableitungsregel sagt dir anschließend, wie du jeden Teil ableitest.
Was geschieht mit linearen und konstanten Gliedern?
Zwei Sonderfälle kommen besonders oft vor:
- Ein lineares Glied $ax$ wird zu $a$, weil $x'=1$ gilt.
- Eine Konstante wird zu $0$ und fällt im vereinfachten Ergebnis weg.
Bei $-x$ ist der unsichtbare Faktor $-1$ wichtig:
$$(-x)'=(-1\cdot x)'=-1$$
Gegeben ist
$$h(x)=\frac{1}{3}x^3+4x^2-x+5$$
Leite jedes Glied ab:
$$\left(\frac{1}{3}x^3\right)'=\frac{1}{3}\cdot3x^2=x^2$$
$$(4x^2)'=8x$$
$$(-x)'=-1$$
$$(5)'=0$$
Daher gilt:
$$h'(x)=x^2+8x-1$$
Die Konstante $5$ ist nicht vergessen worden: Ihre Ableitung ist $0$.
Welche Regel braucht jedes Glied?
Die Summenregel funktioniert nicht nur bei Polynomen. Sie kann auch Glieder mit Wurzeln, Sinus, Cosinus, Exponential- oder Logarithmusfunktionen trennen. Für jedes Glied brauchst du danach seine eigene Ableitungsregel.
Wichtige Ableitungen sind:
- $(\sin x)'=\cos x$
- $(\cos x)'=-\sin x$
- $(e^x)'=e^x$
- $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ für $x>0$
- $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ für $x>0$
Die Bedingungen $x>0$ sind wichtig: Zwar ist $\sqrt{x}$ auch bei $x=0$ definiert, ihre Ableitung besitzt dort aber keinen endlichen Wert.
Für
$$q(x)=x^2+\sin x-e^x-5x^3$$
werden die vier Glieder getrennt abgeleitet:
$$q'(x)=2x+\cos x-e^x-15x^2$$
Die Summenregel trennt die Glieder. Potenzregel und bekannte Standardableitungen erledigen die einzelnen Schritte.
Wie vermeidest du typische Fehler?
Prüfe deine Ableitung Glied für Glied. Vier Fragen helfen dir dabei:
- Habe ich wirklich jedes Glied abgeleitet?
- Ist jeder konstante Faktor erhalten geblieben?
- Habe ich alle Plus- und Minuszeichen übernommen?
- Sind konstante Glieder zu $0$ geworden?
Aufgabe
Leite die Funktion ab:
$$s(x)=4x^4-3x^2+7x-6$$
Notiere zuerst die Ableitung jedes einzelnen Glieds. Kontrolliere deine Lösung danach mit dem folgenden Rechenweg.
Lösung:
$$(4x^4)'=16x^3$$
$$(-3x^2)'=-6x$$
$$(7x)'=7$$
$$(-6)'=0$$
Also gilt:
$$s'(x)=16x^3-6x+7$$
Kontrolle: Vier Ausgangsglieder wurden behandelt. Der konstante Summand ist als $0$ weggefallen.
Transferaufgabe
Ein Produkt kannst du zuerst ausmultiplizieren und danach die Summenregel verwenden:
$$t(x)=(4x^2+1)(3x-2)$$
Ausmultipliziert ergibt sich:
$$t(x)=12x^3-8x^2+3x-2$$
Nun wird gliedweise abgeleitet:
$$t'(x)=36x^2-16x+3$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Summenregel
- Bedeutung klären: Ableitung oder Wahrscheinlichkeit
- Funktion an Plus und Minus in Glieder zerlegen
- Jedes Glied mit seiner passenden Regel ableiten
- Faktoren und Vorzeichen beibehalten
- Konstanten zu null ableiten
- Ergebnis gliedweise kontrollieren
Abschluss-Check
Wenn du jeden Ausgangsterm sichtbar einem Ableitungsterm zuordnen kannst, hast du eine wirksame Kontrolle: Kein Glied, Faktor oder Vorzeichen bleibt unbemerkt.