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Tetraeder: Oberfläche und Volumen berechnen
Ein Tetraeder ist ein Körper mit vier dreieckigen Flächen, vier Ecken und sechs Kanten. Nur beim regelmäßigen Tetraeder sind alle Flächen gleichseitige Dreiecke und alle Kanten gleich lang. Diese Unterscheidung entscheidet darüber, welche Formeln du verwenden darfst.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Tetraeder sicher erkennen
Stell dir eine Pyramide mit einem Dreieck als Grundfläche vor. Sie besitzt drei weitere Dreiecke als Seitenflächen. Zusammen sind das vier Dreiecksflächen: ein Tetraeder.
Tetraeder
Ein Tetraeder ist ein Polyeder mit vier dreieckigen Flächen. Es hat vier Ecken und sechs Kanten. Jede Fläche kann als Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide betrachtet werden.
Die Zahlen passen auch zur Euler-Beziehung für konvexe Polyeder:
$$E-K+F=4-6+4=2$$
Dabei steht $E$ für Ecken, $K$ für Kanten und $F$ für Flächen.
Das regelmäßige Tetraeder
Beim regelmäßigen Tetraeder sind alle sechs Kanten gleich lang. Deshalb sind seine vier Flächen kongruente, also deckungsgleiche, gleichseitige Dreiecke. Eine einzige Kantenlänge $a$ bestimmt den ganzen Körper.
Die Formeln $O=\sqrt3\,a^2$ und $V=\frac{\sqrt2}{12}a^3$ gelten nur für ein regelmäßiges Tetraeder.
Ein allgemeines Tetraeder darf ganz unterschiedlich lange Kanten haben. Die Bezeichnung „Tetraeder“ allein ist daher keine Erlaubnis, die Formeln für die regelmäßige Form einzusetzen.
Oberfläche berechnen
Die Oberfläche $O$ ist die Summe aller vier Dreiecksflächen. Für ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $a$ gilt:
$$A_D=\frac{\sqrt3}{4}a^2$$
Vier gleiche Flächen ergeben:
$$O=4\cdot A_D=4\cdot\frac{\sqrt3}{4}a^2=\sqrt3\,a^2$$
Ein regelmäßiges Tetraeder hat die Kantenlänge $a=6\,\text{cm}$.
Zuerst setzt du die Kantenlänge in die Oberflächenformel ein:
$$O=\sqrt3\cdot(6\,\text{cm})^2=36\sqrt3\,\text{cm}^2$$
Gerundet erhältst du $O\approx62{,}35\,\text{cm}^2$. Die Einheit ist quadratisch, weil eine Fläche berechnet wurde.
Höhe und Volumen berechnen
Die Körperhöhe $h$ steht senkrecht auf einer Dreiecksfläche und führt von dieser Grundfläche zur gegenüberliegenden Ecke. Beim regelmäßigen Tetraeder gilt:
$$h=\frac{\sqrt6}{3}a=a\sqrt{\frac23}$$
Wie bei jeder Pyramide berechnest du das Volumen mit einem Drittel aus Grundfläche mal Höhe:
$$V=\frac13G h$$
Für das regelmäßige Tetraeder ist $G=\frac{\sqrt3}{4}a^2$. Einsetzen und Vereinfachen führt zu:
$$V=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{4}a^2\cdot\frac{\sqrt6}{3}a=\frac{\sqrt2}{12}a^3$$
Für $a=6\,\text{cm}$ beträgt die Höhe
$$h=\frac{\sqrt6}{3}\cdot6\,\text{cm}=2\sqrt6\,\text{cm}\approx4{,}90\,\text{cm}.$$
Das Volumen ist
$$V=\frac{\sqrt2}{12}\cdot(6\,\text{cm})^3=18\sqrt2\,\text{cm}^3\approx25{,}46\,\text{cm}^3.$$
Die Einheit ist kubisch, weil ein Rauminhalt berechnet wurde.
Allgemeine Tetraeder berechnen
Ist ein Tetraeder nicht als regelmäßig gekennzeichnet, brauchst du Angaben zu seiner tatsächlichen Grundfläche und Höhe. Dann gilt weiterhin die Pyramidenformel
$$V=\frac13G h.$$
Sind stattdessen vier Eckpunkte im Koordinatensystem gegeben, kannst du von einer Ecke drei Kantenvektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ bilden. Das Spatprodukt liefert zunächst das Volumen des zugehörigen Spats. Ein Tetraeder nimmt davon ein Sechstel ein:
$$V=\frac16\left|(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\right|.$$
Der Betrag ist wichtig: Das Vorzeichen des Spatprodukts hängt von der Reihenfolge der Vektoren ab, ein geometrisches Volumen ist aber nie negativ.
Für die Kantenvektoren $\vec a=(1,4,8)$, $\vec b=(-1,1,3)$ und $\vec c=(4,6,3)$ beträgt das Spatprodukt $-35$.
Deshalb ist
$$V=\frac16\left|-35\right|=\frac{35}{6}.$$
Ohne angegebene Längeneinheit lautet die Volumeneinheit allgemein „Kubikeinheiten“.
Typische Fehler vermeiden
Prüfe vor jeder Rechnung drei Punkte:
- Welche Form liegt vor? Nur das Wort „Tetraeder“ garantiert keine regelmäßige Form.
- Welche Größen gehören zusammen? Zur Formel $V=\frac13Gh$ muss $h$ senkrecht auf genau der gewählten Grundfläche stehen.
- Welche Einheit passt? Längen haben etwa die Einheit $\text{cm}$, Flächen $\text{cm}^2$ und Volumen $\text{cm}^3$.
Eine regelmäßige Form erkennst du an einer ausdrücklichen Angabe wie „regelmäßig“ oder an sechs gleich langen Kanten. Eine symmetrisch wirkende Zeichnung allein ist kein Beweis.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Tetraeder
- Aufbau: 4 Ecken, 6 Kanten, 4 Dreiecksflächen
- Allgemein: $V=\frac13Gh$
- Regelmäßig
- alle 6 Kanten gleich lang
- $O=\sqrt3\,a^2$
- $h=\frac{\sqrt6}{3}a$
- $V=\frac{\sqrt2}{12}a^3$
- Koordinaten
- drei Kantenvektoren von einer Ecke
- Volumen als ein Sechstel des Spatproduktbetrags