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Physikalische Arbeit: Formeln und Beispiele
Physikalische Arbeit beschreibt einen Vorgang, bei dem Energie übertragen oder umgewandelt wird. Für ein klar festgelegtes System gilt bei einem mechanischen Prozess:
$$W=\Delta E=E_{\text{nachher}}-E_{\text{vorher}}$$
Du erkennst Arbeit also an einer Energieänderung – nicht daran, ob sich etwas anstrengend anfühlt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Arbeit überträgt Energie
Wenn ein System Energie erhält, wird an ihm Arbeit verrichtet. Gibt es Energie ab, verrichtet das System Arbeit. Entscheidend ist deshalb zuerst: Welches System betrachtest du?
Physikalische Arbeit
Arbeit ist eine Prozessgröße: Sie beschreibt die Übertragung oder Umwandlung von Energie während eines Vorgangs. Ihr Formelzeichen ist $W$, ihre Einheit ist Joule ($\mathrm J$).
Energie ist dagegen eine Zustandsgröße. Sie beschreibt den Zustand eines Systems, etwa seine Lage oder Geschwindigkeit. Ein Körper kann Energie besitzen, aber keine Arbeit „enthalten“.
$$1\,\mathrm J=1\,\mathrm{N\,m}$$
Eine Person, die eine schwere Tasche regungslos hält, empfindet Anstrengung. Der Angriffspunkt der Haltekraft legt jedoch keinen Weg zurück. Daher wird an der Tasche keine mechanische Arbeit verrichtet.
Physikalische Arbeit benötigt eine Energieübertragung oder Energieumwandlung. Anstrengung allein genügt nicht.
Kraft und Weg bestimmen die mechanische Arbeit
Wirkt eine konstante Kraft parallel zu einem Weg, gilt:
$$W=F\,s$$
Dabei ist $F$ die Kraft in Newton und $s$ der Weg des Kraftangriffspunkts in Metern.
Du schiebst eine Kiste mit einer konstanten Kraft von $250\,\mathrm N$ über $3{,}2\,\mathrm m$. Kraft und Weg zeigen in dieselbe Richtung.
$$W=F\,s$$
$$W=250\,\mathrm N\cdot3{,}2\,\mathrm m=800\,\mathrm J$$
An der Kiste werden $800\,\mathrm J$ mechanische Arbeit verrichtet. Die Einheit passt, weil $\mathrm{N\,m}=\mathrm J$ gilt.
Zeigen Kraft und Weg nicht in dieselbe Richtung, zählt nur der Kraftanteil entlang des Weges. Bei konstanten Vektoren gilt:
$$W=F\,s\cos\alpha$$
Der Winkel $\alpha$ liegt zwischen Kraft und Weg.
- Bei $\alpha=0^\circ$ wirkt die Kraft vollständig in Wegrichtung.
- Bei $\alpha=90^\circ$ ist die Arbeit dieser Kraft null.
- Bei $\alpha>90^\circ$ wirkt ein Kraftanteil entgegen der Bewegung; die Arbeit ist negativ.
Eine konstante Kraft von $200\,\mathrm N$ wirkt über $5\,\mathrm m$ unter einem Winkel von $60^\circ$ zum Weg. Weil $\cos 60^\circ=0{,}5$ gilt:
$$W=200\,\mathrm N\cdot5\,\mathrm m\cdot0{,}5=500\,\mathrm J$$
Nur die wegparallele Kraftkomponente verrichtet Arbeit.
Vertiefung: Veränderliche Kräfte
Verändert sich die Kraft entlang des Weges, reicht $W=Fs$ im Allgemeinen nicht aus. Dann wird die Arbeit über viele sehr kleine Wegstücke addiert:
$$W=\int_{\mathcal C}\vec F\cdot\mathrm d\vec s$$
Arbeitsarten zeigen verschiedene Energieänderungen
Die Arbeitsart wird danach benannt, welche Energie sich verändert. Die einfachen Zuordnungen gelten, wenn keine weiteren Energieumwandlungen berücksichtigt werden müssen.
| Arbeitsart | Energieänderung | Formel |
|---|---|---|
| Hubarbeit | potentielle Energie | $W_{\text{Hub}}=mg\Delta h$ |
| Beschleunigungsarbeit | kinetische Energie | $W_{\text{Beschl}}=\frac12m(v_{\text{nach}}^2-v_{\text{vor}}^2)$ |
| Spannarbeit | Spannenergie einer Feder | $W_{\text{Spann}}=\frac12D(s_{\text{nach}}^2-s_{\text{vor}}^2)$ |
Dabei bezeichnet $m$ die Masse, $g$ die Fallbeschleunigung, $\Delta h$ die Höhenänderung, $v$ die Geschwindigkeit, $D$ die Federkonstante und $s$ die Dehnung der Feder.
Ein Rucksack mit $m=12\,\mathrm{kg}$ wird um $\Delta h=1{,}5\,\mathrm m$ angehoben. Mit $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ gilt:
$$W_{\text{Hub}}=mg\Delta h$$
$$W_{\text{Hub}}=12\,\mathrm{kg}\cdot9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\cdot1{,}5\,\mathrm m$$
$$W_{\text{Hub}}=176{,}58\,\mathrm J\approx177\,\mathrm J$$
Die potentielle Energie des Systems aus Rucksack und Erde nimmt um etwa $177\,\mathrm J$ zu.
Bei einer anfangs entspannten Feder ist $s_{\text{vor}}=0$. Dann vereinfacht sich die Spannarbeit zu:
$$W_{\text{Spann}}=\frac12Ds^2$$
Der Faktor $\frac12$ entsteht, weil die Federkraft beim Spannen von null bis zu ihrem Endwert zunimmt. Sie ist also nicht über den ganzen Weg gleich groß.
Vorzeichen und Systemgrenze richtig deuten
Das Vorzeichen von $W=\Delta E$ bezieht sich auf das betrachtete System:
- $W>0$: Das System erhält Energie.
- $W<0$: Das System gibt Energie ab.
- $W=0$: Durch die betrachtete Kraft wird keine Energie übertragen.
Ein Skateboardfahrer mit $m=60\,\mathrm{kg}$ bremst von $7\,\mathrm{m/s}$ auf $6\,\mathrm{m/s}$ ab.
$$W=\frac12m(v_{\text{nach}}^2-v_{\text{vor}}^2)$$
$$W=\frac12\cdot60\,\mathrm{kg}\cdot\left((6\,\mathrm{m/s})^2-(7\,\mathrm{m/s})^2\right)$$
$$W=-390\,\mathrm J$$
Die kinetische Energie des Fahrers nimmt um $390\,\mathrm J$ ab. Bezogen auf seine Energieänderung ist die Arbeit deshalb negativ; die Energie wird an die Umgebung abgegeben.
Die Wahl der Systemgrenze verändert die Beschreibung. Fällt ein Körper, kann die Schwerkraft als äußere Kraft positive Arbeit am Körper verrichten. Betrachtet man dagegen Körper und Schwerefeld gemeinsam, wird potentielle Energie innerhalb des Systems in kinetische Energie umgewandelt.
Eine Aussage wie „Die Arbeit beträgt $mgh$“ ist erst eindeutig, wenn klar ist, welches System betrachtet wird, welche Kraft gemeint ist und welche Vorzeichenkonvention gilt.
Reibung entzieht einer Bewegung häufig mechanische Energie. Diese Energie verschwindet nicht, sondern erhöht meist die innere Energie der beteiligten Körper und ihrer Umgebung.
So löst du Aufgaben zur Arbeit
Gehe bei Rechenaufgaben in fünf Schritten vor:
- System festlegen: Wessen Energieänderung betrachtest du?
- Vorgang erkennen: Ändern sich Weg, Höhe, Geschwindigkeit oder Federdehnung?
- Passende Formel wählen: Prüfe besonders, ob Kraft und Weg parallel sind.
- Mit Einheiten rechnen: Setze alle Größen in SI-Einheiten ein.
- Ergebnis deuten: Prüfe Betrag, Einheit, Vorzeichen und Sachzusammenhang.
Verwende $W=Fs$ nur bei einer konstanten Kraft. Ohne den Winkelterm gilt die Formel außerdem nur für eine Kraft parallel zum Weg.
Übung: Ziehen einer Kiste
Eine Kiste wird mit einer konstanten Kraft von $75\,\mathrm N$ über $4\,\mathrm m$ gezogen. Die Kraft wirkt parallel zum Weg. Berechne die Arbeit.
Übung: Bewegung ohne Arbeit einer bestimmten Kraft
Ein Koffer rollt waagerecht durch einen Bahnhof. Erkläre, warum die Gewichtskraft am Koffer keine mechanische Arbeit verrichtet, obwohl er sich bewegt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Arbeit ist eine , Energie dagegen eine . Bei einer konstanten Kraft parallel zum Weg gilt . Die Einheit der Arbeit ist .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Physikalische Arbeit
- Bedeutung
- Energieübertragung oder Energieumwandlung
- Prozessgröße statt gespeicherter Zustand
- Berechnung
- $W=Fs$ bei konstanter paralleler Kraft
- $W=Fs\cos\alpha$ bei einem Winkel
- Wegintegral bei veränderlicher Kraft
- Arbeitsarten
- Hubarbeit verändert potentielle Energie
- Beschleunigungsarbeit verändert kinetische Energie
- Spannarbeit verändert Spannenergie
- Deutung
- positives Vorzeichen bedeutet Energiezufuhr
- negatives Vorzeichen bedeutet Energieabgabe
- Systemgrenze entscheidet über die Beschreibung
- Bedeutung
Abschluss-Check
Du hast das Ziel erreicht, wenn du bei einem neuen Vorgang zuerst das System festlegst, die passende Energieänderung oder Kraft-Weg-Beziehung auswählst und dein Ergebnis mit Einheit und Vorzeichen deutest.