Mit Google fortfahren
Geladene Teilchen im Feld: Bahnen verstehen
Elektrische Felder können den Betrag und die Richtung der Geschwindigkeit eines geladenen Teilchens ändern. Magnetische Felder lenken ein bewegtes Teilchen dagegen seitlich ab, ohne seinen Geschwindigkeitsbetrag zu ändern. Aus Ladung, Eintrittsrichtung und Feldart kannst du deshalb die Bahnform vorhersagen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Ladung bestimmt die elektrische Kraft
Die Richtung eines elektrischen Feldes ist so festgelegt, wie sich eine positive Probeladung bewegen würde. Auf ein Teilchen mit der Ladung $q$ wirkt die elektrische Kraft
$$\vec F_{\mathrm{el}}=q\vec E$$
Dabei enthält $q$ sein Vorzeichen:
- Bei $q>0$ zeigt die Kraft in Feldrichtung.
- Bei $q<0$ zeigt die Kraft entgegen der Feldrichtung.
- Der Kraftbetrag ist $F_{\mathrm{el}}=|q|E$.
Nach dem newtonschen Grundgesetz folgt
$$\vec a=\frac{q}{m}\vec E$$
Die Masse $m$ bestimmt also mit, wie stark sich die Bewegung ändert. Der Quotient $q/m$ heißt spezifische Ladung.
Ein Proton und ein Elektron befinden sich im selben elektrischen Feld. Wegen ihrer entgegengesetzten Ladungsvorzeichen werden sie in entgegengesetzte Richtungen beschleunigt. Das Elektron reagiert wegen seiner viel kleineren Masse besonders stark. Für den Betrag seiner spezifischen Ladung gilt $e/m_e=1{,}759\cdot10^{11}\,\mathrm{C/kg}$.
Bestimme zuerst das Vorzeichen der Ladung. Die Feldlinien zeigen nur die Kraftrichtung für eine positive Ladung.
Im elektrischen Längsfeld ändert sich das Tempo
Bei einem Längsfeld bewegt sich das Teilchen parallel oder antiparallel zu den Feldlinien. In einem homogenen, zeitlich konstanten Feld ist die Kraft konstant. Deshalb ist auch die Beschleunigung konstant.
Zeigen Geschwindigkeit und Kraft in dieselbe Richtung, wird das Teilchen schneller. Zeigen sie in entgegengesetzte Richtungen, wird es zunächst langsamer. Ein genügend lange wirkendes Gegenfeld kann das Teilchen zum Stillstand bringen und anschließend in die Gegenrichtung beschleunigen.
Für eine eindimensionale Bewegung gelten bei passender Vorzeichenwahl:
$$v=v_0+\frac{qE}{m}t$$
$$y=v_0t+\frac{1}{2}\frac{qE}{m}t^2$$
Wird ein Teilchen aus der Ruhe durch die Spannung $U$ beschleunigt, erhält es im klassischen, nichtrelativistischen Modell den Geschwindigkeitsbetrag
$$v=\sqrt{\frac{2U|q|}{m}}$$
Hier steht $|q|$ für den Ladungsbetrag, weil $v$ ein nichtnegativer Geschwindigkeitsbetrag ist.
Nahezu ruhende Elektronen treten aus einer Kathode aus und werden zu einer positiv geladenen Anode beschleunigt. Obwohl die elektrische Feldrichtung von der Anode zur Kathode zeigt, wirkt die Kraft auf die negativen Elektronen entgegengesetzt zur Feldrichtung: zur Anode. Die Arbeit des elektrischen Feldes erhöht dabei ihre Bewegungsenergie.
Die Formel für $v$ ist ein klassisches Modell. Nähert sich die Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit, sind relativistische Korrekturen nötig.
Im elektrischen Querfeld entsteht eine Parabel
Beim Querfeld tritt das Teilchen senkrecht zu den Feldlinien ein. Seine Bewegung lässt sich in zwei unabhängige Komponenten zerlegen:
- In $x$-Richtung bewegt es sich gleichförmig mit $x=v_0t$.
- In Feldrichtung wird es gleichmäßig beschleunigt mit $y=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}t^2$.
Setzt du $t=x/v_0$ in die zweite Gleichung ein, erhältst du
$$y=\frac{qE}{2mv_0^2}x^2$$
Da $y$ proportional zu $x^2$ ist, entsteht eine Parabel. Das Vorzeichen von $q$ entscheidet, zu welcher Seite sie geöffnet ist.
Ein Elektron fliegt waagerecht zwischen die Platten eines Kondensators. Horizontal wirkt keine elektrische Kraft, daher bleibt $v_x=v_0$. Senkrecht dazu wird das Elektron entgegen der Feldrichtung beschleunigt. Beide Bewegungen zusammen ergeben eine gekrümmte Parabelbahn.
Wurde das Elektron zuvor durch die Beschleunigungsspannung $U_{\mathrm B}$ beschleunigt und liegt am Kondensator mit Plattenabstand $d$ die Ablenkspannung $U_{\mathrm K}$, dann gilt für den Betrag der Ablenkung
$$|y|=\frac{1}{4}\frac{U_{\mathrm K}}{U_{\mathrm B}d}x^2$$
Eine größere Ablenkspannung verstärkt die Ablenkung. Eine größere Beschleunigungsspannung erhöht die Anfangsgeschwindigkeit und verringert dadurch die Ablenkung.
Die Parabel entsteht durch die Überlagerung einer gleichförmigen Bewegung und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung – genau wie beim waagerechten Wurf.
Das Magnetfeld ändert die Bewegungsrichtung
Eine magnetische Kraft wirkt nur auf bewegte Ladungen. Für ihren Betrag gilt
$$F_{\mathrm L}=|q|vB\sin(\alpha)$$
Dabei ist $\alpha$ der Winkel zwischen Geschwindigkeit und magnetischer Flussdichte $\vec B$. Die Kraft steht senkrecht zur Geschwindigkeit und zum Magnetfeld. Ihre Richtung lässt sich mit
$$\vec F_{\mathrm L}=q\left(\vec v\times\vec B\right)$$
bestimmen. Für eine positive Ladung zeigt sie in die Richtung des Kreuzprodukts $\vec v\times\vec B$; dafür kannst du die Rechte-Hand-Regel verwenden. Bei einer negativen Ladung zeigt die Kraft genau entgegengesetzt.
Daraus folgen drei wichtige Fälle:
- Ein ruhendes Teilchen erfährt keine magnetische Kraft.
- Bei einer Bewegung parallel zum Magnetfeld ist $\alpha=0^\circ$ und damit $F_{\mathrm L}=0$.
- Bei senkrechtem Eintritt ist $\alpha=90^\circ$ und die Kraft maximal.
Weil die magnetische Kraft stets senkrecht zur Bewegung wirkt, verrichtet sie keine Arbeit. Sie ändert die Richtung, aber nicht den Betrag der Geschwindigkeit.
Magnetische Lorentzkraft
Die magnetische Lorentzkraft ist die Kraft auf eine bewegte elektrische Ladung im Magnetfeld. Bei senkrechtem Eintritt wirkt sie als zum Kreismittelpunkt gerichtete Kraft.
Bei senkrechtem Eintritt in ein homogenes Magnetfeld liefert die Lorentzkraft die nötige Zentripetalkraft:
$$|q|vB=\frac{mv^2}{r}$$
Auflösen nach dem Radius ergibt
$$r=\frac{mv}{|q|B}$$
Der Radius wächst mit Masse und Geschwindigkeit. Er wird kleiner, wenn der Ladungsbetrag oder die magnetische Flussdichte größer wird. Das Vorzeichen der Ladung verändert die Krümmungsrichtung, nicht den Radius.
Schräger Eintritt führt zur Schraubenbahn
Tritt ein Teilchen schräg in ein homogenes Magnetfeld ein, zerlegst du seine Geschwindigkeit:
- $v_{\parallel}=v\cos(\alpha)$ bleibt entlang des Feldes konstant.
- $v_{\perp}=v\sin(\alpha)$ erzeugt eine Kreisbewegung um die Feldlinien.
Beide Bewegungen zusammen ergeben eine Schraubenbahn oder Helix. Für Radius und Ganghöhe gelten
$$r=\frac{mv\sin(\alpha)}{|q|B}$$
$$h=\frac{2\pi mv\cos(\alpha)}{|q|B}$$
Die Ganghöhe $h$ ist die Strecke, die das Teilchen während einer vollständigen Kreisbewegung parallel zum Magnetfeld zurücklegt.
Für $\alpha=90^\circ$ ist $v_{\parallel}=0$: Die Schraubenbahn wird zur Kreisbahn. Für $\alpha=0^\circ$ ist $v_{\perp}=0$: Das Teilchen bewegt sich geradlinig entlang der Feldlinien. Winkel dazwischen erzeugen eine echte Schraubenbahn.
Gekreuzte Felder wählen eine Geschwindigkeit aus
Im Wien-Filter stehen elektrisches Feld, Magnetfeld und Teilchengeschwindigkeit jeweils senkrecht zueinander. Die Felder sind so ausgerichtet, dass elektrische Kraft und magnetische Lorentzkraft entgegengesetzt wirken.
Für einen unabgelenkten Durchgang müssen die Kraftbeträge gleich sein:
$$|q|E=|q|vB$$
Nach dem Kürzen von $|q|$ folgt
$$v=\frac{E}{B}$$
Diese Auswahlgeschwindigkeit hängt nicht von Masse und Ladungsbetrag ab. Teilchen mit anderer Geschwindigkeit werden abgelenkt, weil eine der beiden Kräfte überwiegt.
Es seien $E=3000\,\mathrm{V/m}$ und $B=0{,}020\,\mathrm T$. Dann ist
$$v=\frac{E}{B}=\frac{3000}{0{,}020}\,\mathrm{m/s}=150000\,\mathrm{m/s}$$
Nur Teilchen mit diesem Geschwindigkeitsbetrag passieren den idealisierten Filter unabgelenkt.
| Feldsituation | Kraftwirkung | typische Bahn |
|---|---|---|
| elektrisches Längsfeld | parallel oder antiparallel zur Bewegung | gerade, schneller oder langsamer |
| elektrisches Querfeld | anfangs senkrecht zur Bewegung | Parabel |
| magnetisches Querfeld | stets senkrecht zur Bewegung | Kreis |
| schräger Eintritt ins Magnetfeld | nur senkrechte Komponente wird abgelenkt | Schraubenbahn |
| passend gekreuzte Felder | Kräfte heben sich auf | gerade |
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Geladene Teilchen im Feld
- Elektrisches Feld: kann Tempo und Bewegungsrichtung ändern
- Elektrisches Längsfeld: gleichmäßig beschleunigte Gerade
- Elektrisches Querfeld: Parabelbahn
- Magnetisches Feld: ändert nur die Bewegungsrichtung
- Senkrechter Eintritt: Kreisbahn
- Schräger Eintritt: Schraubenbahn
- Gekreuzte Felder: Geschwindigkeitsauswahl mit $v=E/B$
Abschluss-Check
Prüfe deinen Denkweg zum Schluss immer in dieser Reihenfolge: Ladungsvorzeichen bestimmen, Feldart erkennen, Eintrittsrichtung vergleichen, Kraftrichtung festlegen und daraus die Bahnform ableiten.