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Innere Energie verstehen und berechnen
Die innere Energie $U$ ist die gesamte mikroskopisch gespeicherte Energie eines Systems, also die Energie auf der Ebene seiner Teilchen. Sie steckt unter anderem in den Bewegungen, Wechselwirkungen und Bindungen seiner Teilchen. Wärme oder Arbeit können die innere Energie verändern.
Auf dieser Seite lernst du, innere Energie von Temperatur und Wärme zu unterscheiden, Energieänderungen zu erklären und einfache Erwärmungsvorgänge zu berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was zur inneren Energie gehört
Bevor du eine Energieänderung untersuchst, legst du das System fest. Das kann zum Beispiel ein Gas in einem Behälter oder das Wasser in einem Glas sein. Die gedachte oder wirkliche Begrenzung heißt Systemgrenze.
Innere Energie
Die innere Energie $U$ ist die Summe der mikroskopischen Energien innerhalb eines Systems. Ihre Einheit ist Joule ($\mathrm J$).
Zur inneren Energie können gehören:
- die kinetische Energie, also Bewegungsenergie, beim Fortbewegen, Drehen und Schwingen der Teilchen;
- die potenzielle Energie, die von der Anordnung und den Kräften zwischen den Teilchen abhängt. Dazu gehören auch Beiträge chemischer Bindungen.
Die Bewegungsarten heißen auch Translation, Rotation und Schwingung. Bindungsenergie ist dabei kein zusätzlicher, doppelt zu zählender Energieposten, sondern Teil der mikroskopischen Energiebilanz.
Nicht dazu gehören die Bewegung und die Lage des Systems als Ganzes. Ein Gasbehälter besitzt im fahrenden Zug Bewegungsenergie. Diese makroskopische Energie ist aber nicht Teil der inneren Energie des Gases. Auch das Hochstellen des Behälters auf ein Regal vergrößert seine Lageenergie gegenüber der Erde, nicht automatisch seine innere Energie.
Innen oder außen? Frage, ob die Energie zu den Teilchen und ihren Wechselwirkungen innerhalb des Systems gehört oder zur Bewegung beziehungsweise Lage des gesamten Systems.
Temperatur, Wärme und innere Energie unterscheiden
Die drei Begriffe hängen zusammen, bedeuten aber nicht dasselbe.
| Begriff | Bedeutung | Mengenabhängig? |
|---|---|---|
| Temperatur $T$ | beschreibt den thermischen Zustand und hängt bei Gasen mit der mittleren kinetischen Energie der Teilchen zusammen | nein |
| Innere Energie $U$ | im System gespeicherte mikroskopische Energie | ja |
| Wärme $Q$ | Energie, die wegen eines Temperaturunterschieds über eine Systemgrenze übertragen wird | ist ein Übertragungsvorgang |
Ein Körper besitzt innere Energie, aber er „besitzt“ keine Wärme. Wärme bezeichnet Energie während der Übertragung.
Ein Behälter enthält $1\,\mathrm l$ Wasser bei $30\,^{\circ}\mathrm C$. Im vereinfachten Gedankenbeispiel gibst du weitere $1\,\mathrm l$ Wasser derselben Temperatur hinzu. Wir nehmen gleichen Druck an und vernachlässigen Energieaustausch mit der Umgebung sowie die Wirkung des Eingießens. Dann bleibt die Temperatur bei $30\,^{\circ}\mathrm C$, während Masse und innere Energie sich verdoppeln. Für beide Mengen verwenden wir denselben Bezugspunkt der inneren Energie: Wir legen denselben Zustand als Nullpunkt je Kilogramm Wasser fest.
Die Temperatur allein verrät also nicht, wie viel innere Energie insgesamt vorhanden ist.
Wärme fließt von selbst von einem Körper höherer Temperatur zu einem Körper niedrigerer Temperatur. Der Austausch endet im thermischen Gleichgewicht, wenn beide dieselbe Temperatur erreicht haben.
Wie Wärme und Arbeit die innere Energie verändern
Meist interessiert nicht der schwer bestimmbare absolute Wert von $U$, sondern seine Änderung:
$$\Delta U=U_2-U_1$$
Wir betrachten im Folgenden geschlossene Systeme: Es tritt keine Materie über die Systemgrenze. Außerdem ändern sich die Bewegungs- und Lageenergie des Systems als Ganzes nicht. Unter diesen Bedingungen lautet der erste Hauptsatz mit unserer Vorzeichenregel:
$$\Delta U=Q+W$$
Dabei bedeutet:
- $Q>0$: Dem System wird Wärme zugeführt.
- $Q<0$: Das System gibt Wärme ab.
- $W>0$: An dem System wird Arbeit verrichtet.
- $W<0$: Das System verrichtet Arbeit an seiner Umgebung.
Sowohl Wärmezufuhr als auch Arbeit am System können seine innere Energie erhöhen. Beispiele für Arbeit am System sind das Komprimieren eines Gases und das Umrühren von Wasser.
Ein Gas wird zusammengedrückt, ohne dabei Wärme mit der Umgebung auszutauschen. Dann ist $Q=0$ und die Arbeit am Gas positiv. Aus $\Delta U=Q+W$ folgt $\Delta U>0$: Die innere Energie steigt.
Wird unter diesen Bedingungen weder Wärme noch Arbeit über die Systemgrenze übertragen, gilt $Q=0$ und $W=0$. Dann bleibt die innere Energie konstant.
Die Vorzeichen von $Q$ und $W$ hängen von der vereinbarten Konvention ab. Hier zählen Wärme zum System und Arbeit am System positiv. Entscheidend ist, eine Konvention konsequent zu verwenden.
Übung: Wärmeverlust und Arbeit zusammen betrachten
Fiktives Übungsmodell: Durch Rühren werden einem geschlossenen Wassersystem $80\,\mathrm J$ als Arbeit zugeführt. Gleichzeitig gibt es $120\,\mathrm J$ als Wärme ab. Anfangs und am Ende ruht das Wasser; seine Höhe bleibt gleich. Berechne $\Delta U$ zunächst selbst.
Lösung: Arbeit am System zählt positiv, Wärmeabgabe negativ. Deshalb gilt $W=+80\,\mathrm J$ und $Q=-120\,\mathrm J$.
$$\Delta U=Q+W=-120\,\mathrm J+80\,\mathrm J=-40\,\mathrm J$$
Die innere Energie sinkt um $40\,\mathrm J$: Die Wärmeabgabe ist größer als die Arbeitszufuhr.
Wie du eine Erwärmung berechnest
Bei flüssigem Wasser und vielen Festkörpern verwenden wir für eine einfache Erwärmung oder Abkühlung näherungsweise die folgende Beziehung. Dabei bleiben Stoff und Aggregatzustand gleich, die Ausdehnungsarbeit ist vernachlässigbar und $c$ wird im betrachteten Temperaturbereich als konstant angenommen:
$$\Delta U\approx m\,c\,\Delta T$$
Die Größen bedeuten:
- $m$: Masse in Kilogramm;
- $c$: spezifische Wärmekapazität in $\mathrm{kJ/(kg\,K)}$ oder $\mathrm{J/(kg\,K)}$;
- $\Delta T=T_2-T_1$: Temperaturänderung in Kelvin;
- $\Delta U$: Änderung der inneren Energie.
Die spezifische Wärmekapazität $c$ gibt an, wie viel Wärme nötig ist, um $1\,\mathrm{kg}$ eines Stoffes unter festgelegten Bedingungen um $1\,\mathrm K$ zu erwärmen. Wichtig sind etwa Temperaturbereich und die Frage, ob Volumen oder Druck konstant bleiben. Wenn keine Arbeit auftritt, ist diese Wärme gleich der Zunahme der inneren Energie.
Für Temperaturunterschiede gilt: Eine Änderung um $1\,^{\circ}\mathrm C$ ist genauso groß wie eine Änderung um $1\,\mathrm K$. Deshalb entsprechen $50\,^{\circ}\mathrm C-25\,^{\circ}\mathrm C$ genau $25\,\mathrm K$.
Im folgenden Rechenmodell werden $2\,\mathrm{kg}$ flüssiges Wasser bei normalem Luftdruck von $25\,^{\circ}\mathrm C$ auf $50\,^{\circ}\mathrm C$ erwärmt. Wir rechnen mit dem gerundeten Wert $c=4{,}2\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}$ und vernachlässigen die geringe Arbeit bei der Ausdehnung.
1. Temperaturänderung bestimmen
$$\Delta T=50\,^{\circ}\mathrm C-25\,^{\circ}\mathrm C=25\,\mathrm K$$
2. Werte mit Einheiten einsetzen
$$\Delta U\approx2\,\mathrm{kg}\cdot4{,}2\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg\,K}}\cdot25\,\mathrm K$$
3. Einheiten kürzen und rechnen
$$\Delta U\approx210\,\mathrm{kJ}$$
Die innere Energie des Wassers steigt näherungsweise um $210\,\mathrm{kJ}$. Das positive Ergebnis passt zur Erwärmung.
Welche Wärmekapazität brauchst du bei Gasen?
Ein ideales Gas ist ein vereinfachtes Gasmodell, in dem die Teilchen außerhalb ihrer Zusammenstöße keine Kräfte aufeinander ausüben und ihr eigenes Volumen vernachlässigt wird. Für eine feste Menge dieses Gases hängt die innere Energie nur von der Temperatur ab.
Für das ideale Gas gilt bei konstantem oder passendem mittlerem $c_V$:
$$\Delta U=m\,c_V\,\Delta T$$
$c_V$ ist die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen. Zur Berechnung von $\Delta U$ beim idealen Gas verwendest du sie auch dann, wenn sich das Volumen während des Vorgangs ändert. Die Wärmekapazität bei konstantem Druck ist eine andere Größe: Beim Erwärmen unter konstantem Druck dehnt sich das Gas aus und verrichtet zusätzlich Arbeit. Deshalb darfst du die zugeführte Wärme nicht immer mit $\Delta U$ gleichsetzen.
In einem fiktiven Rechenbeispiel wird ein ideales Gas mit $m=4{,}5\,\mathrm{kg}$ um $30\,\mathrm K$ erwärmt. Seine innere Energie steigt dabei um $189\,\mathrm{kJ}$. Gesucht ist die mittlere spezifische Wärmekapazität $c_V$.
Teile $\Delta U=m\,c_V\,\Delta T$ auf beiden Seiten durch $m\,\Delta T$:
$$c_V=\frac{\Delta U}{m\,\Delta T}=\frac{189\,\mathrm{kJ}}{4{,}5\,\mathrm{kg}\cdot30\,\mathrm K}=1{,}4\,\mathrm{kJ/(kg\,K)}$$
Die Masse ist positiv und die Temperaturänderung ungleich null; deshalb ist die Division erlaubt. Die Einheit passt zur gesuchten spezifischen Wärmekapazität.
Kein Phasenwechsel allein reicht als Prüfung nicht aus: Beachte auch die Versuchsbedingungen und den passenden Wert der Wärmekapazität. Bei einfachen Wasserrechnungen ist $\Delta U\approx m\,c\,\Delta T$ eine Näherung. Beim idealen Gas verwendest du für die innere Energie $c_V$.
Warum die Temperatur beim Phasenwechsel gleich bleiben kann
Ein Phasenwechsel ist ein Wechsel des Aggregatzustands, also zwischen fest, flüssig und gasförmig. Beim Schmelzen (fest zu flüssig), Verdampfen (flüssig zu gasförmig) oder Sublimieren (fest direkt zu gasförmig) wird Energie aufgenommen. Bei einem reinen Stoff bleibt die Temperatur während eines solchen Übergangs im Gleichgewicht bei konstantem Druck gleich, solange beide Phasen vorhanden sind.
Die Energie erhöht dann nicht einfach die mittlere Bewegungsenergie der Teilchen. Sie verändert vor allem deren Anordnung und Wechselwirkungen und damit die innere Energie; bei einer Ausdehnung kann außerdem Arbeit an der Umgebung verrichtet werden. Beim Schmelzen von Eis werden Bindungen zwischen Wassermolekülen gelockert, die Wassermoleküle selbst bleiben erhalten. Beim Erstarren (flüssig zu fest) oder Kondensieren (gasförmig zu flüssig) wird entsprechend Energie abgegeben.
Bei normalem Luftdruck können Eis und flüssiges Wasser beide eine Temperatur von $0\,^{\circ}\mathrm C$ haben. Bei gleicher Masse besitzt das flüssige Wasser dennoch eine größere innere Energie. Für den Übergang vom festen zum flüssigen Zustand wurde Energie aufgenommen, obwohl die Temperatur während des Schmelzens gleich blieb.
Darum ist die Formel $\Delta U=m\,c\,\Delta T$ während eines Phasenwechsels nicht ausreichend. Bei $\Delta T=0$ würde sie keine Änderung anzeigen, obwohl sich die innere Energie tatsächlich verändert.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Innere Energie $U$
- umfasst mikroskopische Bewegungsenergie und potenzielle Energie einschließlich Bindungsbeiträgen
- ist von Bewegung und Lage des Gesamtsystems zu unterscheiden
- ändert sich durch Wärme $Q$ und Arbeit $W$
- ihre Änderung $\Delta U$ beträgt bei einfacher Wassererwärmung näherungsweise $m\,c\,\Delta T$
- ihre Änderung $\Delta U$ beträgt beim idealen Gas $m\,c_V\,\Delta T$
- kann sich beim Phasenwechsel trotz gleichbleibender Temperatur ändern
- hängt anders als die Temperatur von der Stoffmenge ab
Abschluss-Check
Du kannst innere Energie nun mikroskopisch erklären, von Temperatur und Wärme abgrenzen sowie Änderungen durch Wärme, Arbeit, Erwärmung und Phasenwechsel beurteilen.