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Messfehler erkennen und Messwerte richtig angeben
Keine Messung liefert einen vollkommen exakten Wert. Ein vollständiges Messergebnis nennt deshalb den Messwert und seine Unsicherheit, zum Beispiel $t=(7{,}6\pm0{,}2)\,\mathrm{s}$.
Auf dieser Seite lernst du, Fehlerquellen zu unterscheiden, Unsicherheiten abzuschätzen und Ergebnisse sinnvoll auszuwerten.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum gehört eine Unsicherheit zum Messwert?
Stell dir vor, ein Grenzwert liegt bei $400$, gemessen wird $390$. Ob der Grenzwert sicher unterschritten ist, hängt von der Unsicherheit ab:
- Bei $390\pm1$ liegt das gesamte Intervall unter $400$.
- Bei $390\pm20$ reicht das Intervall von $370$ bis $410$. Eine sichere Entscheidung ist dann nicht möglich.
Messunsicherheit
Die Messunsicherheit beschreibt den Bereich, in dem der gesuchte Wert aufgrund der bekannten und abgeschätzten Einflüsse erwartet wird. Das Ergebnis $x\pm\Delta x$ steht für das Intervall von $x-\Delta x$ bis $x+\Delta x$.
Die Unsicherheit ist kein Eingeständnis einer misslungenen Messung. Sie zeigt, wie genau die Aussage unter den gewählten Bedingungen ist.
Für eine Zeitmessung gilt
$$t=(7{,}6\pm0{,}2)\,\mathrm{s}.$$
Das zugehörige Intervall reicht von $7{,}4\,\mathrm{s}$ bis $7{,}8\,\mathrm{s}$. Die absolute Unsicherheit beträgt $0{,}2\,\mathrm{s}$.
Die relative Unsicherheit ist
$$\frac{\Delta t}{t}=\frac{0{,}2}{7{,}6}\approx0{,}026.$$
In Prozent sind das ungefähr $2{,}6\,\%$.
Welche Arten von Messfehlern gibt es?
Nicht alle Abweichungen werden gleich behandelt. Entscheidend ist ihre Ursache.
Grober Fehler
Ein grober Fehler entsteht etwa durch einen falschen Aufbau, ein defektes Gerät, eine Verwechslung oder falsches Ablesen. Er gehört nicht zur normalen Messunsicherheit. Die Ursache muss behoben und die Messung wiederholt werden.
Systematischer Fehler
Ein systematischer Fehler verschiebt Messergebnisse unter gleichen Bedingungen gleichartig. Beispiele sind ein falsch eingestellter Nullpunkt oder ein fehlerhaft geteilter Maßstab. Ist die Abweichung bekannt, wird sie möglichst korrigiert.
Zufälliger Fehler
Ein zufälliger Fehler zeigt sich als Streuung wiederholter Messwerte. Er kann beispielsweise durch schwankende Umgebungsbedingungen, wechselnde Ablesung oder unterschiedliche Auslösezeitpunkte entstehen.
Ein Beispiel macht den Unterschied deutlich: Eine Waage zeigt wegen eines falschen Nullpunkts stets $0{,}2\,\mathrm{kg}$ zu viel an. Das ist systematisch. Schwanken ihre Anzeigen zusätzlich leicht, ist diese Streuung zufällig.
Wiederholen hilft gegen zufällige Streuung. Ein gleichbleibender systematischer Fehler verschwindet dadurch nicht.
Wie schätzt und notierst du die Unsicherheit?
Die Unsicherheit musst du während der Messung beurteilen. Achte dabei auf:
- Auflösung und Toleranz des Geräts,
- Schwankungen der Anzeige,
- Ablesesituation und möglichen Parallaxenfehler,
- Einflüsse des Versuchsaufbaus und der Umgebung,
- Angaben des Herstellers zur Genauigkeit.
Bei einer analogen Skala kann die Ableseunsicherheit häufig in der Größenordnung eines halben kleinsten Skalenabstands liegen. Bei einer Digitalanzeige ist mindestens die letzte angezeigte Stelle kritisch. Genaue Geräteangaben haben jedoch Vorrang vor solchen Faustregeln.
Man unterscheidet drei Darstellungen:
- absolute Unsicherheit: $\Delta x$ mit derselben Einheit wie $x$,
- relative Unsicherheit: $\frac{\Delta x}{|x|}$ ohne Einheit,
- prozentuale Unsicherheit: $\frac{\Delta x}{|x|}\cdot100\,\%$.
Sinnvoll runden
- Berechne zunächst mit genügend Stellen.
- Runde die Unsicherheit auf eine oder zwei geltende Ziffern.
- Runde den Messwert auf dieselbe Dezimalstelle wie die Unsicherheit.
Zu $\Delta A=0{,}67\,\mathrm{cm^2}$ passt daher beispielsweise $A=(5{,}22\pm0{,}67)\,\mathrm{cm^2}$. Eine gröbere Darstellung wäre $A=(5{,}2\pm0{,}7)\,\mathrm{cm^2}$.
Was bringen Wiederholungsmessungen?
Streuen mehrere Messwerte derselben Größe, ist ihr arithmetischer Mittelwert
$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.$$
Er ist meist aussagekräftiger als ein einzelner Wert. Die Streuung der Einzelwerte beschreibt die Standardabweichung
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.$$
Die statistische Unsicherheit des Mittelwerts wird durch den Standardfehler beschrieben:
$$s_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}.$$
Diese Auswertung setzt voraus, dass dieselbe Größe unter vergleichbaren Bedingungen wiederholt gemessen wird. Eine angenommene Normalverteilung ist ein statistisches Modell und nicht durch jede kurze Messreihe automatisch bewiesen.
Der Standardfehler sinkt nur mit $1/\sqrt{n}$. Für die halbe statistische Unsicherheit brauchst du daher viermal so viele Messwerte. Ein systematischer Fehler wird auch durch sehr viele Wiederholungen nicht beseitigt.
Wie pflanzt du Unsicherheiten fort?
Wird eine Größe aus mehreren Messwerten berechnet, wirken deren Unsicherheiten auf das Ergebnis. Zuerst musst du entscheiden, welche Art von Unsicherheit du behandelst.
Konservativer Größtfehler
Wenn du eine obere Grenze abschätzen willst, werden Beiträge so kombiniert, dass sie sich im ungünstigsten Fall verstärken:
- Bei $z=x+y$ oder $z=x-y$ addierst du absolute Unsicherheiten:
$$\Delta z=\Delta x+\Delta y.$$
- Bei $z=xy$ oder $z=x/y$ addierst du relative Unsicherheiten:
$$\frac{\Delta z}{|z|}=\frac{\Delta x}{|x|}+\frac{\Delta y}{|y|}.$$
- Bei $z=x^k$ wird der Betrag des Exponenten zum Faktor:
$$\frac{\Delta z}{|z|}=|k|\frac{\Delta x}{|x|}.$$
Ein Rechteck besitzt
$$L=(5{,}8\pm0{,}1)\,\mathrm{cm}$$
und
$$B=(0{,}9\pm0{,}1)\,\mathrm{cm}.$$
Seine Fläche ist
$$A=L\cdot B=5{,}22\,\mathrm{cm^2}.$$
Für den konservativen Größtfehler werden die relativen Beiträge addiert:
$$\frac{\Delta A}{A}=\frac{0{,}1}{5{,}8}+\frac{0{,}1}{0{,}9}\approx0{,}128.$$
Damit gilt
$$\Delta A\approx0{,}128\cdot5{,}22\,\mathrm{cm^2}\approx0{,}67\,\mathrm{cm^2}.$$
Das Ergebnis lautet
$$A=(5{,}22\pm0{,}67)\,\mathrm{cm^2}.$$
Obwohl beide Längen dieselbe absolute Unsicherheit haben, dominiert die Breite: $0{,}1\,\mathrm{cm}$ sind bei $0{,}9\,\mathrm{cm}$ etwa $11{,}1\,\%$, bei $5{,}8\,\mathrm{cm}$ aber nur etwa $1{,}7\,\%$.
Vertiefung: unabhängige statistische Unsicherheiten
Sind kleine, unabhängige statistische Unsicherheiten gemeint, werden ihre Beiträge nicht linear, sondern quadratisch kombiniert:
$$\Delta Y=\sqrt{\sum_i\left(\frac{\partial Y}{\partial X_i}\Delta X_i\right)^2}.$$
Die lineare Addition liefert einen konservativen Größtfehler. Die quadratische Addition beschreibt die Fortpflanzung unabhängiger statistischer Unsicherheiten. Beide Regeln beantworten also unterschiedliche Fragen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Messfehler und Messunsicherheit
- Messergebnis: Wert, Unsicherheit und Einheit
- Grober Fehler: beheben und neu messen
- Systematischer Fehler: erkennen und korrigieren
- Zufälliger Fehler: durch Messreihen untersuchen
- Messreihe: Mittelwert, Streuung und Standardfehler
- Fortpflanzung: Größtfehler oder statistische Unsicherheit wählen
- Darstellung: sinnvoll runden und Intervall beurteilen
Abschluss-Check
Du kannst ein Messergebnis nun als Intervall lesen, Fehlerarten nach ihrer Ursache behandeln und vor jeder Fehlerfortpflanzung entscheiden, welches Unsicherheitsmodell zur Messung passt.