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Messunsicherheit berechnen und richtig angeben
Keine Messung liefert einen vollkommen exakten Wert. Ein vollständiges Messergebnis besteht deshalb aus einem Bestwert, einer Messunsicherheit und einer Einheit, zum Beispiel $L=(20{,}0\pm0{,}1)\,\mathrm{cm}$. Die Unsicherheit beschreibt, welche Werte der Messgröße aufgrund des Messverfahrens vernünftigerweise infrage kommen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum braucht jede Messung eine Unsicherheit?
Stell dir vor, du misst die Länge eines Tisches dreimal. Selbst bei sorgfältigem Arbeiten können leicht verschiedene Werte entstehen. Gründe sind etwa die begrenzte Skalenteilung des Lineals, ein etwas anderer Startpunkt oder die Blickrichtung beim Ablesen.
Messunsicherheit
Die Messunsicherheit quantifiziert die Variabilität der Werte, die einem Messergebnis zugeordnet werden können. Sie ist kein Eingeständnis schlechten Arbeitens, sondern eine notwendige Angabe zur Qualität einer Messung.
Der Bestwert ist die beste aus den Daten gewonnene Schätzung. Bei einer Messreihe ist das häufig der Mittelwert. Er ist aber nicht automatisch ein exakt bekannter wahrer Wert.
Ein Messwert ohne Unsicherheit sagt nicht, wie präzise und belastbar das Ergebnis ist.
Welche Arten von Abweichungen gibt es?
Nicht jede auffällige Abweichung wird gleich behandelt. Entscheidend ist ihre Ursache.
Grobe Abweichungen
Ein Zahlendreher, ein falsch gesetzter Nullpunkt oder eine ungeeignete Versuchsanordnung sind grobe Abweichungen. Sie sollen durch Kontrolle erkannt und vermieden werden. Einen verdächtigen Wert darfst du nicht allein deshalb streichen, weil er nicht zu deiner Erwartung passt. Du brauchst dafür ein begründetes Kriterium und solltest die mögliche Ursache dokumentieren.
Systematische Abweichungen
Eine systematische Abweichung verschiebt Messwerte unter gleichen Bedingungen in dieselbe Richtung. Ein nicht auf null gestellter Kraftmesser kann beispielsweise alle Werte zu groß anzeigen. Viele Wiederholungen beseitigen diese Verschiebung nicht. Du musst die Ursache prüfen, das Gerät kalibrieren, das Verfahren ändern oder einen passenden Unsicherheitsbeitrag berücksichtigen.
Zufällige Abweichungen
Zufällige Abweichungen wechseln unvorhersehbar in Betrag und Richtung. Beispiele sind Schwankungen der Reaktionszeit, der Temperatur oder der letzten Anzeigestelle. Wiederholungen machen diese Streuung sichtbar und statistisch auswertbar.
Die statistische Auswertung wiederholter Messungen heißt Typ-A-Bewertung. Eine Typ-B-Bewertung nutzt andere Informationen, etwa Skalenteilung, Herstellerangaben, Kalibrierung, Erfahrung oder Umgebungsbedingungen. Typ A und Typ B bezeichnen Bewertungswege, nicht gute und schlechte Unsicherheiten.
Wie gibst du eine direkte Messung an?
Bei einer direkten Messung liest du die gesuchte Größe unmittelbar an einem Gerät ab. Eine schulische Faustregel lautet:
- Bei einem Analoggerät setzt du häufig mindestens die Hälfte der kleinsten Skalenteilung an.
- Bei einem Digitalgerät kann eine Einheit der letzten angezeigten Stelle angesetzt werden, wenn keine genauere Geräteangabe vorliegt.
Diese Faustregeln ersetzen keine vorhandenen Hersteller- oder Kalibrierangaben.
Ein analoger Federkraftmesser besitzt Teilstriche im Abstand von $0{,}1\,\mathrm N$. Du liest $0{,}25\,\mathrm N$ ab.
Die halbe Skalenteilung beträgt:
$$u_F=\frac{0{,}1\,\mathrm N}{2}=0{,}05\,\mathrm N$$
Das vollständige Ergebnis lautet:
$$F=(0{,}25\pm0{,}05)\,\mathrm N$$
Das zugehörige Intervall reicht hier von $0{,}20\,\mathrm N$ bis $0{,}30\,\mathrm N$.
Richtig runden
Runde die Unsicherheit auf höchstens zwei von null verschiedene Ziffern. Runde anschließend den Bestwert auf dieselbe Dezimalstelle.
Aus $I=0{,}227459\,\mathrm A$ und $u_I=0{,}0050\,\mathrm A$ wird daher:
$$I=(0{,}2275\pm0{,}0050)\,\mathrm A$$
Absolute und relative Unsicherheit
Die absolute Unsicherheit $u$ besitzt dieselbe Einheit wie die Messgröße. Die relative Unsicherheit vergleicht sie mit dem Bestwert:
$$u_\mathrm{rel}=\frac{u}{|x|}$$
In Prozent gilt:
$$u_\%=\frac{u}{|x|}\cdot100\,\%$$
Für $F=(0{,}25\pm0{,}05)\,\mathrm N$ beträgt die relative Unsicherheit $0{,}05/0{,}25=0{,}20$, also $20\,\%$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ein vollständiges Messergebnis enthält den , die und die . Die absolute Unsicherheit besitzt .
Was bringen wiederholte Messungen?
Wiederholungen zeigen die zufällige Streuung. Für $n$ Messwerte berechnest du zunächst den arithmetischen Mittelwert:
$$\bar x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$
Die korrigierte Stichprobenstandardabweichung beschreibt die Streuung der Einzelwerte:
$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}{n-1}}$$
Die Standardunsicherheit des Mittelwerts beschreibt dagegen, wie genau das Zentrum der Verteilung bestimmt wurde:
$$s_{\bar x}=\frac{s}{\sqrt n}$$
Drei Zeitmessungen ergeben $10{,}0\,\mathrm s$, $10{,}2\,\mathrm s$ und $9{,}8\,\mathrm s$.
Der Mittelwert ist:
$$\bar t=\frac{10{,}0+10{,}2+9{,}8}{3}\,\mathrm s=10{,}0\,\mathrm s$$
Für die Streuung erhältst du:
$$s=\sqrt{\frac{0^2+0{,}2^2+(-0{,}2)^2}{2}}\,\mathrm s=0{,}20\,\mathrm s$$
Die Standardunsicherheit des Mittelwerts beträgt:
$$s_{\bar t}=\frac{0{,}20}{\sqrt3}\,\mathrm s\approx0{,}12\,\mathrm s$$
$s$ beschreibt hier die Streuung einzelner Zeitmessungen. $s_{\bar t}$ beschreibt die Unsicherheit des geschätzten Mittelwerts. Die beiden Größen beantworten unterschiedliche Fragen.
Mehr Wiederholungen verkleinern $s_{\bar x}$ im Modell ungefähr mit $1/\sqrt n$. Die Streuung $s$ der Einzelmessungen wird dadurch nicht automatisch kleiner. Auch eine systematische Verschiebung verschwindet nicht durch Wiederholen.
Soll ein Vertrauensbereich angegeben werden, muss zusätzlich ein zur Messzahl und zum gewählten Vertrauensniveau passender Faktor verwendet und das Vertrauensniveau genannt werden.
Vertiefung: Wie pflanzt sich Unsicherheit fort?
Oft wird die gesuchte Größe nicht direkt gemessen. Für die Geschwindigkeit $v=s/t$ misst du beispielsweise Weg und Zeit. Deren Unsicherheiten beeinflussen das Ergebnis.
Bei unabhängigen, probabilistisch beschriebenen Eingangsgrößen werden die relativen Beiträge für ein Produkt oder einen Quotienten quadratisch kombiniert:
$$u_v=|v|\sqrt{\left(\frac{u_s}{s}\right)^2+\left(\frac{u_t}{t}\right)^2}$$
Gegeben sind:
$$s=(50{,}00\pm0{,}50)\,\mathrm m$$
$$t=(20{,}0\pm1{,}0)\,\mathrm s$$
Der Bestwert der Geschwindigkeit ist:
$$v=\frac{50{,}00\,\mathrm m}{20{,}0\,\mathrm s}=2{,}50\,\mathrm{m/s}$$
Die relativen Eingangsunsicherheiten betragen $1\,\%$ für den Weg und $5\,\%$ für die Zeit. Damit folgt:
$$u_v=2{,}50\sqrt{0{,}01^2+0{,}05^2}\,\mathrm{m/s}\approx0{,}13\,\mathrm{m/s}$$
Das Ergebnis lautet:
$$v=(2{,}50\pm0{,}13)\,\mathrm{m/s}$$
Die Zeitmessung dominiert die Unsicherheitsbilanz. Eine Verbesserung der Zeitmessung wäre deshalb wirksamer als eine weitere Verbesserung der bereits genaueren Wegmessung.
Sind die Eingangsunsicherheiten dagegen als sichere Größtwerte gedacht, ist eine konservative lineare Kombination passend:
$$u_v\approx|v|\left(\frac{u_s}{|s|}+\frac{u_t}{|t|}\right)=0{,}15\,\mathrm{m/s}$$
Quadratische und lineare Kombination sind keine frei austauschbaren Rezepte. Die Wahl hängt davon ab, wie die Eingangsunsicherheiten bestimmt und interpretiert wurden.
Wie vergleichst du Messergebnisse?
Vergleiche nicht nur die Bestwerte. Bilde zuerst die Unsicherheitsintervalle und beachte, wie die Unsicherheit festgelegt wurde.
Ein Ergebnis $x\pm u$ liefert rechnerisch das Intervall:
$$[x-u,\ x+u]$$
Beispiel mit dem Referenzwert $g_\mathrm{ref}=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$:
- $g_A=(9{,}83\pm0{,}01)\,\mathrm{m/s^2}$ ergibt $[9{,}82;9{,}84]\,\mathrm{m/s^2}$. Der Referenzwert liegt nicht darin.
- $g_B=(9{,}78\pm0{,}05)\,\mathrm{m/s^2}$ ergibt $[9{,}73;9{,}83]\,\mathrm{m/s^2}$. Der Referenzwert liegt darin.
Obwohl der Bestwert von A näher am Referenzwert liegt, ist nur B nach dieser einfachen Intervallregel mit ihm verträglich.
Präzision und Richtigkeit
Präzision beschreibt eine geringe Streuung beziehungsweise kleine Unsicherheit. Richtigkeit beschreibt die Nähe zu einem geeigneten Referenzwert. Ein Ergebnis kann präzise, aber durch einen systematischen Einfluss verschoben sein.
Überlappende Unsicherheitsintervalle sind ein Hinweis auf Verträglichkeit, aber kein Beweis für Gleichheit. Bei anspruchsvollen Vergleichen müssen Verteilung, Vertrauensniveau, Messzahl und mögliche Abhängigkeiten berücksichtigt werden.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Messunsicherheit
- Ergebnis: Bestwert, Unsicherheit und Einheit
- Ursachen: zufällige, systematische und grobe Abweichungen
- Bestimmung: Typ A aus Wiederholungen, Typ B aus weiteren Informationen
- Darstellung: absolute und relative Unsicherheit
- Fortpflanzung: Eingangsbeiträge passend zum Unsicherheitsmodell kombinieren
- Vergleich: Intervalle und Präzision gemeinsam beurteilen
Abschluss-Check
Du hast das Lernziel erreicht, wenn du zu einem neuen Messergebnis die Unsicherheitsquellen benennen, die passende Unsicherheit bestimmen, korrekt runden und die Aussage des Intervalls begründet erklären kannst.