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Schräger Wurf: Formeln, Bahnkurve und Aufgaben
Beim schrägen Wurf überlagern sich zwei unabhängige Bewegungen: horizontal eine gleichförmige Bewegung und vertikal eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Ohne Luftwiderstand entsteht dadurch eine nach unten geöffnete Parabel.
Du lernst, die Anfangsgeschwindigkeit zu zerlegen und daraus Ort, Geschwindigkeit, Scheitelpunkt, Flugzeit, Reichweite und Bahnkurve zu bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Bewegung in zwei Richtungen verstehen
Wir betrachten einen Körper, der aus der Höhe $h$ mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ unter dem Winkel $\alpha_0$ nach rechts oben geworfen wird. Der Koordinatenursprung liegt am Boden unter der Abwurfstelle. Die positive $x$-Richtung zeigt nach rechts, die positive $y$-Richtung nach oben.
Superpositionsprinzip
Die horizontale und die vertikale Teilbewegung laufen gleichzeitig, beeinflussen sich im verwendeten Idealmodell aber nicht. Die beobachtete Bewegung ist ihre vektorielle Überlagerung.
Die Anfangsgeschwindigkeit wird in zwei Komponenten zerlegt:
$$v_{x,0}=v_0\cos\alpha_0$$
$$v_{y,0}=v_0\sin\alpha_0$$
- Horizontal wirkt keine Beschleunigung. Deshalb bleibt $v_x=v_{x,0}$ konstant.
- Vertikal wirkt die Erdbeschleunigung nach unten. Bei einer nach oben gerichteten $y$-Achse gilt $a_y=-g$.
Die Beschleunigung zeigt also während des gesamten Flugs nach unten. Das gilt auch am höchsten Punkt.
Die Flugbahn, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zeigen im Allgemeinen in unterschiedliche Richtungen. Am Scheitelpunkt ist nur $v_y=0$; die horizontale Geschwindigkeit bleibt erhalten.
Ort, Geschwindigkeit und Bahnkurve berechnen
Für den Start bei $x(0)=0$ und $y(0)=h$ gelten die Ortsgesetze:
$$x(t)=v_{x,0}t$$
$$y(t)=-\frac12gt^2+v_{y,0}t+h$$
Die zugehörigen Geschwindigkeitsgesetze lauten:
$$v_x(t)=v_{x,0}$$
$$v_y(t)=-gt+v_{y,0}$$
Damit kannst du für jeden Zeitpunkt die Bahnkoordinaten und beide Geschwindigkeitskomponenten bestimmen.
Von den Ortsgesetzen zur Bahnkurve
Eine Bahnkurve beschreibt $y$ direkt als Funktion von $x$. Löse dazu das horizontale Ortsgesetz nach der Zeit auf:
$$t=\frac{x}{v_{x,0}}$$
Setze diesen Ausdruck in $y(t)$ ein:
$$y(x)=-\frac{g}{2v_{x,0}^2}x^2+\frac{v_{y,0}}{v_{x,0}}x+h$$
Mit $v_{x,0}=v_0\cos\alpha_0$ und $v_{y,0}/v_{x,0}=\tan\alpha_0$ folgt:
$$y(x)=-\frac{g}{2(v_0\cos\alpha_0)^2}x^2+\tan\alpha_0\,x+h$$
Der Koeffizient vor $x^2$ ist negativ. Deshalb ist die ideale Flugbahn eine nach unten geöffnete Parabel.
Die Zeit kann nur dann über $t=x/v_{x,0}$ entfernt werden, wenn $v_{x,0}\ne0$ ist. Beim exakt senkrechten Wurf mit $\alpha_0=90^\circ$ gibt es keine horizontale Flugweite und keine Bahnkurve der Form $y(x)$.
Scheitelpunkt bestimmen
Am Scheitelpunkt $S$ wechselt die vertikale Bewegung vom Steigen zum Fallen. Dort gilt:
$$v_y(t_S)=0$$
Mit $v_y(t)=-gt+v_{y,0}$ erhältst du die Steigzeit:
$$t_S=\frac{v_{y,0}}g$$
Setze diese Zeit in beide Ortsgesetze ein:
$$x_S=\frac{v_{x,0}v_{y,0}}g$$
$$y_S=h+\frac{v_{y,0}^2}{2g}$$
Der Scheitelpunkt lautet damit:
$$S\left(\frac{v_{x,0}v_{y,0}}g\;\middle|\;h+\frac{v_{y,0}^2}{2g}\right)$$
Gegeben sind $h=80\,\mathrm m$, $v_{x,0}=10\,\mathrm{m/s}$, $v_{y,0}=30\,\mathrm{m/s}$ und $g=10\,\mathrm{m/s^2}$.
Zuerst bestimmst du die Steigzeit:
$$t_S=\frac{30\,\mathrm{m/s}}{10\,\mathrm{m/s^2}}=3\,\mathrm s$$
In dieser Zeit legt der Körper horizontal zurück:
$$x_S=10\,\mathrm{m/s}\cdot3\,\mathrm s=30\,\mathrm m$$
Die maximale Höhe ist:
$$y_S=80\,\mathrm m+\frac{(30\,\mathrm{m/s})^2}{2\cdot10\,\mathrm{m/s^2}}=125\,\mathrm m$$
Der Scheitelpunkt ist also $S(30\,\mathrm m\mid125\,\mathrm m)$.
Flugzeit, Reichweite und Auftreffen berechnen
Der Körper trifft den Boden, wenn seine Höhe $y=0$ ist. Setze deshalb in das vertikale Ortsgesetz ein:
$$-\frac12gt_W^2+v_{y,0}t_W+h=0$$
Die physikalisch relevante positive Lösung ist:
$$t_W=\frac{v_{y,0}+\sqrt{v_{y,0}^2+2gh}}g$$
Die negative Lösung beschreibt bei $h>0$ einen rechnerischen Zeitpunkt vor dem Abwurf und gehört nicht zum beobachteten Flug.
Mit der Flugzeit folgt die Reichweite:
$$w=v_{x,0}t_W$$
Geschwindigkeit beim Auftreffen
Zu jedem Zeitpunkt setzt sich die Geschwindigkeit aus ihren Komponenten zusammen. Ihr Betrag ist:
$$v(t)=\sqrt{v_{x,0}^2+(-gt+v_{y,0})^2}$$
Beim Auftreffen setzt du $t=t_W$ ein:
$$v_W=\sqrt{v_{x,0}^2+(-gt_W+v_{y,0})^2}$$
Die Neigung der momentanen Bewegungsrichtung erfüllt:
$$\tan\alpha=\frac{v_y}{v_x}$$
Beim Steigen ist $v_y>0$ und der Winkel positiv. Beim Fallen ist $v_y<0$ und der Winkel negativ.
Steigzeit und Fallzeit sind nur dann gleich, wenn Start- und Endhöhe übereinstimmen. Auch die maximale Reichweite bei $45^\circ$ gilt nur für gleiche Start- und Endhöhe im Modell ohne Luftwiderstand.
Einen vollständigen Wurf lösen
Wir verwenden erneut $h=80\,\mathrm m$, $v_{x,0}=10\,\mathrm{m/s}$, $v_{y,0}=30\,\mathrm{m/s}$ und $g=10\,\mathrm{m/s^2}$.
Schritt 1: Flugzeit
$$t_W=\frac{30+\sqrt{30^2+2\cdot10\cdot80}}{10}\,\mathrm s$$
Unter der Wurzel steht $2500$, also ist $\sqrt{2500}=50$:
$$t_W=\frac{30+50}{10}\,\mathrm s=8\,\mathrm s$$
Schritt 2: Reichweite
$$w=10\,\mathrm{m/s}\cdot8\,\mathrm s=80\,\mathrm m$$
Schritt 3: Auftreffgeschwindigkeit
Die horizontale Komponente bleibt $v_x=10\,\mathrm{m/s}$. Vertikal gilt beim Auftreffen:
$$v_y=-10\,\mathrm{m/s^2}\cdot8\,\mathrm s+30\,\mathrm{m/s}=-50\,\mathrm{m/s}$$
Das Minuszeichen zeigt: Der Körper bewegt sich nach unten. Der Betrag der Geschwindigkeit ist:
$$v_W=\sqrt{(10\,\mathrm{m/s})^2+(-50\,\mathrm{m/s})^2}=10\sqrt{26}\,\mathrm{m/s}\approx51\,\mathrm{m/s}$$
Die Werte sind plausibel: Die Flugzeit liegt nach der Steigzeit von $3\,\mathrm s$, die Reichweite ist positiv und der Körper bewegt sich beim Auftreffen abwärts.
Jetzt du
Entscheide für denselben Wurf, welche Angaben in die Lösung gehören.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Am Scheitelpunkt ist die vertikale Geschwindigkeit . Die Steigzeit beträgt . Der Aufprall erfolgt nach . Bis dahin legt der Körper horizontal zurück. Die vertikale Auftreffgeschwindigkeit ist .
Wo das Modell endet
Alle Rechnungen setzen eine konstante Erdbeschleunigung und vernachlässigbaren Luftwiderstand voraus. Mit Luftwiderstand bleibt $v_x$ nicht konstant und die reale Bahn ist keine ideale Parabel, sondern eine ballistische Kurve.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Schräger Wurf
- Anfang
- $v_{x,0}=v_0\cos\alpha_0$
- $v_{y,0}=v_0\sin\alpha_0$
- Bewegung
- horizontal gleichförmig
- vertikal mit $a_y=-g$
- Kennpunkte
- Scheitel durch $v_y=0$
- Aufprall durch $y=0$
- Ergebnisse
- Bahnkurve $y(x)$
- Reichweite und Auftreffgeschwindigkeit
- Gültigkeit
- konstantes $g$
- kein Luftwiderstand
- Anfang
Abschluss-Check
Wenn du die Bewegung zuerst in ihre Komponenten zerlegst, kannst du jede weitere Größe aus wenigen Grundgleichungen ableiten. Prüfe am Ende immer Vorzeichen, Einheiten, Plausibilität und die Grenzen des Idealmodells.