Senkrechter Wurf: Formeln, Beispiele und Aufgaben

Wir betrachten einen Körper, der sich nur senkrecht bewegt. Dabei gelten drei Modellannahmen:

• Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.
• Die Erdbeschleunigung ist konstant.
• Für ihren Betrag verwenden wir $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$.

Wir wählen die Richtung nach oben als positiv. Dann gilt:

• Eine aufwärts gerichtete Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ ist positiv.
• Eine abwärts gerichtete Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ ist negativ.
• Die Beschleunigung lautet während der gesamten Bewegung $a=-g$.

Für die positive Aufwärtsrichtung lauten die Bewegungsgleichungen:

$$v(t)=v_0-gt$$

$$y(t)=y_0+v_0t-\frac12gt^2$$

Dabei sind:

• $y_0$: Anfangshöhe in Metern,
• $v_0$: Anfangsgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde,
• $t$: Zeit seit dem Abwurf in Sekunden,
• $y(t)$: Höhe zum Zeitpunkt $t$,
• $v(t)$: Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$.

Das Vorzeichen von $v(t)$ zeigt die Bewegungsrichtung: $v>0$ bedeutet aufwärts, $v=0$ den Umkehrpunkt und $v<0$ abwärts.

Am höchsten Punkt gilt $v=0$. Setze dies in die Geschwindigkeitsgleichung ein:

$$0=v_0-gt_\mathrm S$$

Daraus folgt die Steigzeit:

$$t_\mathrm S=\frac{v_0}{g}$$

Die Steighöhe über dem Abwurfpunkt erhältst du durch Einsetzen der Steigzeit in die Höhenfunktion:

$$\Delta y_\mathrm{max}=\frac{v_0^2}{2g}$$

Bei einer Anfangshöhe $y_0$ ist die größte Höhe über dem gewählten Nullniveau:

$$y_\mathrm{max}=y_0+\frac{v_0^2}{2g}$$

Kehrt ein Körper genau zur Abwurfhöhe zurück, sind Aufstieg und Abstieg im Modell zeitlich symmetrisch. Dann gilt:

$$t_\mathrm{ges}=2t_\mathrm S=\frac{2v_0}{g}$$

Für den Ball mit $v_0=20\,\mathrm{m/s}$ ergibt sich:

$$t_\mathrm{ges}=\frac{2\cdot20}{9{,}81}\,\mathrm s\approx4{,}08\,\mathrm s$$

Diese Verdopplung gilt nicht, wenn der Körper auf einer anderen Höhe landet. Startet er beispielsweise über dem Boden, dauert der Weg vom höchsten Punkt bis zum Boden länger als der Aufstieg.

Dann setzt du die Höhe des Bodens in die allgemeine Höhenfunktion ein. Liegt der Boden bei $y=0$, löst du:

$$0=y_0+v_0t-\frac12gt^2$$

Von den mathematischen Lösungen ist für die Flugzeit nur eine nichtnegative Zeit nach dem Abwurf sinnvoll.

Auch ein Wurf nach unten lässt sich mit denselben Gleichungen beschreiben: Bei unserer Vorzeichenregel setzt du dafür $v_0<0$ ein.

Ohne Luftwiderstand bleibt die Summe aus Bewegungsenergie und Lageenergie konstant:

$$E_\mathrm{kin}+E_\mathrm{pot}=\text{konstant}$$

Dabei gilt:

$$E_\mathrm{kin}=\frac12mv^2$$

$$E_\mathrm{pot}=mgy$$

Beim Aufstieg wird Bewegungsenergie in Lageenergie umgewandelt. Am höchsten Punkt ist $v=0$ und damit die Bewegungsenergie null. Für die Steighöhe über dem Abwurfpunkt folgt:

$$\frac12mv_0^2=mg\Delta y_\mathrm{max}$$

Die Masse $m$ kürzt sich heraus; anschließend teilst du durch $g$:

$$\Delta y_\mathrm{max}=\frac{v_0^2}{2g}$$

Damit erhältst du dasselbe Ergebnis wie mit den Bewegungsgleichungen. Auf derselben Höhe sind die Geschwindigkeitsbeträge beim Auf- und Abstieg gleich; die Richtungen sind jedoch entgegengesetzt.

Du beherrschst den senkrechten Wurf, wenn du zuerst Richtung und Nullniveau festlegst, danach die passende Gleichung auswählst und dein Ergebnis mit Einheit, Vorzeichen und Bewegungsphase prüfst.