Wurfbewegung: Formeln, Beispiele und Übungen

Stell dir einen Ball vor, der eine waagerechte Tischkante verlässt. Er bewegt sich weiter nach vorn und fällt gleichzeitig nach unten. Beide Bewegungen laufen während derselben Zeit ab.

Wir wählen die positive $x$-Richtung nach rechts und die positive $y$-Richtung nach oben. Dann gilt beim waagerechten Wurf aus der Höhe $h$:

Dabei ist $v_0$ die waagerechte Anfangsgeschwindigkeit. Die Fallbeschleunigung beträgt nahe der Erdoberfläche ungefähr $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$; in Schulaufgaben wird häufig mit $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ gerechnet.

Beim Auftreffen ist die Höhe $y=0$. Setze diese Bodenbedingung in das vertikale Bewegungsgesetz ein:

$$0=h-\frac12gt_\mathrm{F}^2$$

Umstellen liefert die Flugzeit:

$$t_\mathrm{F}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Während dieser Zeit bewegt sich der Körper horizontal mit der konstanten Geschwindigkeit $v_0$. Seine Reichweite $w$ ist deshalb:

$$w=v_0t_\mathrm{F}=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Bahnkoordinaten zu einem Zeitpunkt

Für $t=1\,\mathrm s$ erhältst du im selben Beispiel:

$$x=15\,\mathrm{m/s}\cdot1\,\mathrm s=15\,\mathrm m$$

$$y=20\,\mathrm m-\frac12\cdot10\,\mathrm{m/s^2}\cdot(1\,\mathrm s)^2=15\,\mathrm m$$

Nach einer Sekunde befindet sich der Ball also am Punkt $(15\,\mathrm m\mid15\,\mathrm m)$.

Die Zeit kannst du aus $x=v_0t$ als $t=x/v_0$ ausdrücken. Setzt du dies in die Höhengleichung ein, erhältst du die Bahnkurve:

$$y(x)=h-\frac{g}{2v_0^2}x^2$$

Der Term mit $x^2$ zeigt: Die Flugbahn ist eine Parabel, die sogenannte Wurfparabel.

Die Geschwindigkeit besitzt ebenfalls zwei Komponenten:

$$v_x=v_0,\qquad v_y=-gt$$

Da beide Komponenten senkrecht aufeinander stehen, folgt der Betrag der momentanen Geschwindigkeit aus dem Satz des Pythagoras:

$$v(t)=\sqrt{v_0^2+g^2t^2}$$

Beim Auftreffen kann $t_\mathrm F^2=2h/g$ eingesetzt werden:

$$v_\mathrm W=\sqrt{v_0^2+2gh}$$

Im Beispiel mit $h=20\,\mathrm m$, $v_0=15\,\mathrm{m/s}$ und $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ gilt:

$$v_\mathrm W=\sqrt{(15\,\mathrm{m/s})^2+2\cdot10\,\mathrm{m/s^2}\cdot20\,\mathrm m}=25\,\mathrm{m/s}$$

Die Flugrichtung folgt aus dem Geschwindigkeitsdreieck:

$$\tan\alpha=\frac{v_y}{v_x}$$

Beim Fallen ist $v_y<0$ und damit auch der Winkel zur positiven Horizontalen negativ.

Beim schiefen Wurf zeigt die Anfangsgeschwindigkeit schräg nach oben. Du zerlegst sie mit dem Abwurfwinkel $\alpha$ in zwei Komponenten:

$$v_{0x}=v_0\cos\alpha$$

$$v_{0y}=v_0\sin\alpha$$

Dann gelten die Bewegungsgesetze:

$$x(t)=v_{0x}t$$

$$y(t)=y_0+v_{0y}t-\frac12gt^2$$

$$v_x=v_{0x},\qquad v_y(t)=v_{0y}-gt$$

Am höchsten Punkt ist nur die vertikale Geschwindigkeitskomponente null:

$$t_\mathrm{max}=\frac{v_{0y}}{g}$$

Kehrt der Körper zur Abwurfhöhe zurück, sind Aufstiegs- und Abstiegszeit gleich lang:

$$t_\mathrm{ges}=2t_\mathrm{max}=\frac{2v_{0y}}{g}$$

Die Formeln dieser Seite beschreiben ein ideales Modell. Es setzt voraus:

• Der Luftwiderstand und Wind werden vernachlässigt.
• Die Fallbeschleunigung $g$ wird als konstant angenommen.
• Nach dem Abwurf wirkt außer der Gewichtskraft keine weitere Kraft.
• Der Boden wird durch eine festgelegte Höhe beschrieben.

Reale Bälle, Wasserstrahlen oder Fahrzeuge können deutlich vom Modell abweichen. Form, Drehung, Luftwiderstand und Wind verändern ihre Bewegung.

Häufige Fehler

1. Vorzeichen vertauschen: Zeigt die positive $y$-Achse nach oben, dann gilt $a_y=-g$.
2. Gesamtgeschwindigkeit mit einer Komponente verwechseln: Für den Betrag brauchst du beide senkrechten Komponenten.
3. Die falsche Endbedingung verwenden: $t_\mathrm{ges}=2t_\mathrm{max}$ gilt nur bei Rückkehr zur Abwurfhöhe.
4. Bahn und Geschwindigkeit gleichsetzen: Die Geschwindigkeit zeigt entlang der Tangente, nicht entlang der gesamten Parabel.
5. Einheiten übergehen: Höhe, Geschwindigkeit und Beschleunigung müssen in zusammenpassenden Einheiten eingesetzt werden.

Du kannst eine Wurfbewegung nun systematisch lösen: Koordinatensystem festlegen, Anfangsgeschwindigkeit zerlegen, beide Richtungen mit derselben Zeit berechnen und die Ergebnisse im Sachzusammenhang prüfen.