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Waagerechter Wurf: Formeln, Flugzeit und Weite
Beim waagerechten Wurf bewegt sich ein Körper gleichzeitig gleichförmig nach vorn und im freien Fall nach unten. Aus beiden Teilbewegungen entsteht eine parabelförmige Bahn. Hier lernst du, Position, Flugzeit, Wurfweite und Geschwindigkeit im idealisierten Modell zu bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Zwei Bewegungen laufen gleichzeitig ab
Was passiert, wenn eine Kugel waagerecht von einer Tischkante rollt? Sie fliegt nach vorn und fällt zugleich nach unten. Beide Bewegungen benötigen dieselbe Zeit.
Waagerechter Wurf
Ein Körper startet in der Höhe $h_0$ mit einer rein horizontalen Anfangsgeschwindigkeit $v_0$. Danach wirkt im Modell nur die Gewichtskraft. Die vertikale Anfangsgeschwindigkeit ist daher null.
Wir verwenden ein Koordinatensystem mit der $x$-Achse nach rechts und der $y$-Achse nach oben. Der Boden liegt bei $y=0$. Dann gelten:
- horizontal: $v_x=v_0$ und $a_x=0$,
- vertikal: $v_y(0)=0$ und $a_y=-g$,
- nahe der Erdoberfläche: $g\approx9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$.
Das Modell setzt eine konstante Erdbeschleunigung und vernachlässigbaren Luftwiderstand voraus. Bei starkem Luftwiderstand stimmen die folgenden Gleichungen nicht mehr genau.
Die Teilbewegungen beeinflussen sich im idealen Modell nicht. Eine größere horizontale Anfangsgeschwindigkeit verändert deshalb bei gleicher Höhe die Flugzeit nicht.
Ort und Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt
Mit den Anfangsbedingungen $x(0)=0$ und $y(0)=h_0$ lauten die Ortsgesetze:
$$x(t)=v_0t$$
$$y(t)=h_0-\frac12gt^2$$
Die Geschwindigkeits- und Beschleunigungskomponenten sind:
$$v_x(t)=v_0,\qquad v_y(t)=-gt$$
$$a_x=0,\qquad a_y=-g$$
Einheiten helfen bei der Kontrolle: Setzt du $v_0$ in $\mathrm{\frac{m}{s}}$, $t$ in $\mathrm s$ und $g$ in $\mathrm{\frac{m}{s^2}}$ ein, erhältst du Wege in Metern.
Eine Kugel startet in $h_0=20{,}0\,\mathrm m$ Höhe mit $v_0=8{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}}$. Wo ist sie nach $t=1{,}5\,\mathrm s$?
Horizontal:
$$x=8{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot1{,}5\,\mathrm s=12{,}0\,\mathrm m$$
Vertikal:
$$y=20{,}0\,\mathrm m-\frac12\cdot9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot(1{,}5\,\mathrm s)^2\approx8{,}96\,\mathrm m$$
Die Kugel befindet sich also $12{,}0\,\mathrm m$ rechts vom Abwurfort und noch $8{,}96\,\mathrm m$ über dem Boden.
Diagramme richtig lesen
Die Gleichungen verraten auch die Form der Diagramme:
- $x(t)$ ist eine steigende Gerade, weil in gleichen Zeiten gleiche horizontale Wege hinzukommen.
- $y(t)$ ist eine nach unten gekrümmte Parabel, weil der Fallweg mit $t^2$ wächst.
- $v_x(t)$ ist eine waagerechte Linie, weil $v_x$ konstant bleibt.
- $v_y(t)$ ist eine fallende Gerade durch den Ursprung, weil $v_y=-gt$ gilt.
Flugzeit und Wurfweite bestimmen
Die Flugzeit $t_\mathrm W$ endet beim Bodenaufprall. Dort ist $y=0$:
$$0=h_0-\frac12gt_\mathrm W^2$$
Nach $t_\mathrm W$ aufgelöst:
$$t_\mathrm W=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$$
Die Wurfweite $w$ ist der horizontale Weg während dieser Zeit:
$$w=v_0t_\mathrm W=v_0\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$$
Ein Körper startet aus $210\,\mathrm m$ Höhe mit $15\,\mathrm{\frac{m}{s}}$ waagerecht.
Zuerst berechnest du die Flugzeit:
$$t_\mathrm W=\sqrt{\frac{2\cdot210\,\mathrm m}{9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}}}\approx6{,}54\,\mathrm s$$
Dann folgt die Wurfweite:
$$w=15\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot6{,}54\,\mathrm s\approx98{,}1\,\mathrm m$$
Der Körper trifft im idealisierten Modell nach etwa $6{,}54\,\mathrm s$ rund $98{,}1\,\mathrm m$ vom Punkt unterhalb des Abwurforts entfernt auf.
Bahnform und Geschwindigkeitsrichtung verstehen
Um die Bahn unabhängig von der Zeit zu beschreiben, stellst du $x=v_0t$ nach $t$ um und setzt $t=x/v_0$ in das vertikale Ortsgesetz ein:
$$y(x)=h_0-\frac{g}{2v_0^2}x^2$$
Der Term mit $x^2$ zeigt: Die Bahn ist eine nach unten geöffnete Parabel. Der Geschwindigkeitsvektor liegt in jedem Bahnpunkt tangential zur Bahn. Seine horizontale Komponente bleibt gleich, seine vertikale Komponente zeigt zunehmend steiler nach unten.
Der Betrag der Geschwindigkeit folgt aus dem Satz des Pythagoras:
$$v(t)=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+(gt)^2}$$
Beim Aufprall gilt außerdem:
$$v_\mathrm W=\sqrt{v_0^2+2gh_0}$$
Für die Kugel mit $h_0=20{,}0\,\mathrm m$ und $v_0=8{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}}$ ist $t_\mathrm W\approx2{,}02\,\mathrm s$. Beim Aufprall gilt näherungsweise:
$$v_x=8{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}},\qquad v_y=-9{,}81\,\mathrm{\frac{m}{s^2}}\cdot2{,}02\,\mathrm s\approx-19{,}8\,\mathrm{\frac{m}{s}}$$
$$v_\mathrm W\approx\sqrt{(8{,}0)^2+(19{,}8)^2}\,\mathrm{\frac{m}{s}}\approx21{,}4\,\mathrm{\frac{m}{s}}$$
Die Geschwindigkeit zeigt schräg nach rechts unten. Die Beschleunigung zeigt dagegen während des gesamten Flugs senkrecht nach unten.
Einen neuen Fall systematisch lösen
Gehe bei Rechenaufgaben in dieser Reihenfolge vor:
- Skizziere die Situation und lege die positive $y$-Richtung fest.
- Notiere $h_0$, $v_0$ und $g$ mit Einheiten.
- Entscheide, ob eine Zeit, ein Ort oder eine Geschwindigkeit gesucht ist.
- Berechne zuerst die gemeinsame Flugzeit, wenn der Aufprall betrachtet wird.
- Nutze danach die passende horizontale oder vertikale Gleichung.
- Prüfe Vorzeichen, Einheit und Plausibilität.
Eine Murmel verlässt eine $1{,}25\,\mathrm m$ hohe Tischkante mit $v_0=4{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}}$.
$$t_\mathrm W=\sqrt{\frac{2\cdot1{,}25}{9{,}81}}\,\mathrm s\approx0{,}505\,\mathrm s$$
$$w=4{,}0\,\mathrm{\frac{m}{s}}\cdot0{,}505\,\mathrm s\approx2{,}02\,\mathrm m$$
Plausibilitätscheck: Eine Fallzeit von etwa einer halben Sekunde ist bei einer Tischhöhe sinnvoll. In dieser Zeit legt die Murmel bei $4\,\mathrm{\frac{m}{s}}$ ungefähr $2\,\mathrm m$ zurück.
Typische Fehler lassen sich so vermeiden:
- Koordinatenwechsel: Mische nicht eine nach oben positive Höhe mit einer nach unten positiven Fallstrecke.
- Fehlender Faktor $\frac12$: Im Weggesetz steht $\frac12gt^2$, im Geschwindigkeitsgesetz dagegen $gt$.
- Bahn und Richtung verwechselt: Die Bahn ist gekrümmt, die Beschleunigung bleibt dennoch senkrecht nach unten.
- Modellgrenze vergessen: Bei Luftwiderstand bleibt $v_x$ nicht konstant.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim idealen waagerechten Wurf bleibt die horizontale Geschwindigkeit . Die vertikale Anfangsgeschwindigkeit ist . Die Flugzeit hängt bei festem $g$ von der ab. Die Bahn ist eine .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Waagerechter Wurf
- Voraussetzungen
- Start waagerecht
- nur Gewichtskraft
- konstantes $g$
- Horizontalbewegung
- $v_x=v_0$
- $x=v_0t$
- Vertikalbewegung
- $a_y=-g$
- $y=h_0-\frac12gt^2$
- Ergebnisse
- Flugzeit aus der Höhe
- Wurfweite aus Zeit und $v_0$
- Parabel als Bahn
- Vektoren
- Geschwindigkeit tangential
- Beschleunigung nach unten
- Voraussetzungen