Strömungslehre: Fluide, Druck und Auftrieb

Wasser aus einem Hahn, Luft um ein Fahrrad oder Blut in einem Gefäß: In allen drei Fällen bewegt sich ein Stoff, der fließen kann.

Flüssigkeiten sind unter vielen Alltagsbedingungen annähernd inkompressibel: Ihre Dichte ändert sich kaum. Gase lassen sich dagegen deutlich zusammendrücken. Bei ausreichend langsamen Gasströmungen kann die Dichteänderung manchmal ebenfalls vernachlässigt werden.

Die Fluidmechanik umfasst ruhende und bewegte Fluide:

• Die Fluidstatik untersucht ruhende Fluide, zum Beispiel den Wasserdruck an einer Staumauer.
• Die Fluiddynamik untersucht bewegte Fluide.
• Die Hydrodynamik befasst sich mit strömenden Flüssigkeiten.
• Die Aerodynamik befasst sich mit strömenden Gasen.

Wichtige Größen sind die Geschwindigkeit $v$, der Druck $p$, die Dichte $\rho$, die Temperatur $T$ und die dynamische Viskosität $\eta$ beziehungsweise $\mu$.

Eine Strömung besitzt an jedem betrachteten Ort eine Geschwindigkeit mit Betrag und Richtung. Stromlinien machen dieses Geschwindigkeitsfeld sichtbar.

Eng beieinanderliegende Stromlinien kennzeichnen in einer üblichen Stromlinienzeichnung einen Bereich größerer Strömungsgeschwindigkeit. Weite Abstände stehen für kleinere Geschwindigkeiten. Diese Zeichnungsregel ist besonders bei einer Stromröhre hilfreich.

Eine Stromröhre wird seitlich durch Stromlinien begrenzt. Bei einer stationären Strömung bleibt das Strömungsbild zeitlich unverändert. Durch die Seitenfläche der Stromröhre fließt dann nichts hindurch.

Masse kann nicht verschwinden

Der Massenstrom gibt an, welche Masse pro Zeit durch einen Querschnitt strömt:

$$\dot m=\rho A v$$

Dabei ist $A$ die Querschnittsfläche und $v$ die mittlere Geschwindigkeit senkrecht zum Querschnitt. Bei einer stationären Strömung bleibt der Massenstrom entlang der Stromröhre erhalten:

$$\rho_1A_1v_1=\rho_2A_2v_2$$

Für ein inkompressibles Fluid ist die Dichte konstant. Dann vereinfacht sich der Zusammenhang zu:

$$A_1v_1=A_2v_2$$

Zeichne selbst ein Stromlinienbild

Zeichne ein breites Rohr, das in der Mitte enger wird. Trage mehrere Stromlinien ein, die den Wänden folgen und sich nicht schneiden. In der Engstelle müssen sie näher zusammenliegen. Markiere dort die größere Geschwindigkeit.

In einer Strömung kann Energie als Druckenergie, Bewegungsenergie oder Lageenergie auftreten. Die Bernoulli-Gleichung verbindet diese Anteile:

$$p+\frac12\rho v^2+\rho gh=\text{konstant}$$

Sie gilt entlang einer Stromlinie für eine stationäre, reibungsfreie Strömung eines inkompressiblen Fluids. $h$ ist die Höhe und $g$ die Fallbeschleunigung.

In einem waagerechten Rohr bleibt $h$ gleich. Dann folgt:

$$p+\frac12\rho v^2=\text{konstant}$$

Nimmt die Geschwindigkeit unter diesen Bedingungen zu, muss der statische Druck abnehmen. In der Engstelle des vorherigen Beispiels ist die Strömung deshalb nicht nur schneller; ihr statischer Druck ist auch kleiner.

Auf einen Körper in einem Fluid können Kräfte wirken. Zwei wichtige Beispiele sind Auftrieb und Strömungswiderstand.

Statischer Auftrieb

Der statische Auftrieb tritt auch in einem ruhenden Fluid auf. In einer Flüssigkeit nimmt der Druck mit der Tiefe zu. Deshalb ist die nach oben gerichtete Druckkraft an der Unterseite eines eingetauchten Körpers größer als die nach unten gerichtete Kraft an seiner Oberseite.

Die resultierende Auftriebskraft entspricht dem Gewicht des verdrängten Fluids:

$$F_A=\rho_{\mathrm{Fl}}Vg$$

Dieser Zusammenhang erklärt beispielsweise, warum ein Körper im Wasser scheinbar leichter wird.

Dynamischer Auftrieb

Dynamischer Auftrieb entsteht bei einer Relativbewegung zwischen Körper und Fluid. Bei einer angeströmten Tragfläche wirken zwei zusammengehörige Beschreibungen:

• Unterschiedliche Strömungsgeschwindigkeiten können unter passenden Bernoulli-Bedingungen mit Druckunterschieden einhergehen.
• Die Tragfläche lenkt Luft nach unten ab. Dabei erhält die Luft einen Impuls nach unten und die Tragfläche eine Gegenkraft nach oben.

Die Stärke des Auftriebs hängt unter anderem von Form, Anströmrichtung, Geschwindigkeit, Dichte und Bezugsfläche ab. Ein gebräuchliches Modell lautet:

$$F_A=\frac12c_A\rho Av^2$$

Der Auftriebsbeiwert $c_A$ fasst den Einfluss von Form und Anströmung zusammen.

Strömungswiderstand

Der Strömungswiderstand wirkt der Relativbewegung entgegen. In einem häufig verwendeten Modell gilt:

$$F_W=\frac12c_W\rho Av^2$$

$c_W$ ist der Widerstandsbeiwert. Verdoppelt sich $v$ bei unveränderten übrigen Größen, vervierfacht sich in diesem Modell der Widerstand, weil $v^2$ vorkommt.

Reale Fluide besitzen Viskosität, also innere Reibung. Bei einem Newtonschen Fluid ist die Schubspannung proportional zur Scherrate:

$$\tau=\mu\dot\gamma$$

An einer ruhenden festen Wand gilt gewöhnlich die Haftbedingung: Direkt an der Wand hat das Fluid näherungsweise dieselbe Geschwindigkeit wie die Wand. Deshalb entstehen Geschwindigkeitsunterschiede und Reibung innerhalb des Fluids.

Bei einer laminaren Strömung bewegen sich benachbarte Schichten geordnet. Eine turbulente Strömung enthält unregelmäßige Schwankungen und starke Durchmischung. Ob eine Strömung eher laminar oder turbulent ist, hängt nicht nur von ihrer Geschwindigkeit ab, sondern auch von Dichte, Viskosität, einer charakteristischen Länge und von Störungen.

Die Reynolds-Zahl bündelt wichtige Einflüsse:

$$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\mu}$$

Kleine Reynolds-Zahlen begünstigen eine viskos geprägte laminare Bewegung. Bei größeren Werten kann Turbulenz auftreten. Es gibt jedoch keinen einzigen Übergangswert, der für jede Geometrie und jede Zuströmung gilt.

Auch die Annahme konstanter Dichte hat Grenzen. Flüssigkeiten sind häufig näherungsweise inkompressibel. Bei Gasen werden Dichteänderungen besonders bei schnellen Strömungen wichtig.

Zur Untersuchung komplizierter Strömungen ergänzen sich drei Wege:

• Experimente, etwa in einem Strömungs- oder Windkanal,
• mathematische Modelle und analytische Lösungen,
• numerische Computersimulationen.

Du kannst eine einfache Strömung nun in drei Schritten untersuchen: Prüfe zuerst die Voraussetzungen, nutze dann Massenerhaltung und gegebenenfalls Bernoulli, und kontrolliere anschließend, ob Reibung, Kompressibilität oder Turbulenz das Modell begrenzen.