Gewinnmaximum berechnen und richtig deuten

Ein Unternehmen erzielt Erlös, wenn es Güter oder Leistungen verkauft. Davon zieht es seine Kosten ab. Für eine Produktionsmenge $x$ gilt:

$$G(x)=E(x)-K(x)$$

Dabei bezeichnet $G(x)$ den Gewinn, $E(x)$ den Erlös und $K(x)$ die Kosten.

Unterscheide zwei Ergebnisse:

• Die gewinnmaximierende Menge $x^*$ sagt, wie viel im Modell produziert und verkauft werden soll.
• Das Gewinnmaximum $G(x^*)$ sagt, wie groß der Gewinn bei dieser Menge ist.

Der Grenzerlös $E'(x)$ beschreibt, wie sich der Erlös bei einer kleinen Mengenerhöhung verändert. Die Grenzkosten $K'(x)$ beschreiben entsprechend die Veränderung der Kosten. Der Unterschied ist der Grenzgewinn:

$$G'(x)=E'(x)-K'(x)$$

Daraus folgt:

• Ist der Grenzerlös größer als die Grenzkosten, erhöht eine kleine Produktionsausweitung den Gewinn.
• Ist der Grenzerlös kleiner als die Grenzkosten, kann eine kleinere Menge den Gewinn erhöhen.
• Sind beide Grenzgrößen gleich, gilt $G'(x)=0$. Die Menge ist ein Kandidat für ein inneres Gewinnmaximum.

Ein negativer Grenzgewinn bedeutet nicht automatisch, dass das Unternehmen insgesamt Verlust macht. Er bedeutet zunächst nur: Eine weitere kleine Mengenerhöhung würde den Gewinn verringern.

Wenn die Funktionen differenzierbar sind, gehst du in sechs Schritten vor:

1. Stelle die Erlösfunktion $E(x)$ auf. Bei einem mengenabhängigen Preis gilt $E(x)=p(x)·x$.
2. Bilde die Gewinnfunktion $G(x)=E(x)-K(x)$.
3. Leite ab und löse $G'(x)=0$.
4. Prüfe die zweite Ableitung. Ist $G''(x^*)$ negativ, liegt dort ein lokales Maximum vor.
5. Prüfe zusätzlich den zulässigen Mengenbereich und mögliche Randwerte.
6. Setze die optimale Menge in die Gewinnfunktion und gegebenenfalls in die Preisfunktion ein.

Die zweite Ableitung zeigt die Krümmung. Eine negative zweite Ableitung bedeutet: Die Gewinnfunktion ist an der untersuchten Stelle nach unten gekrümmt.

Die allgemeine Regel $E'(x)=K'(x)$ gilt in beiden hier betrachteten Marktformen. Die Erlösseite sieht jedoch unterschiedlich aus.

Vollständige Konkurrenz

Im vereinfachten Modell nimmt das einzelne Unternehmen den Marktpreis $p$ als gegeben an. Dann gilt:

$$E(x)=p·x$$

Daraus folgt:

$$E'(x)=p$$

Die Bedingung für die gewinnmaximierende Menge wird deshalb zu:

$$p=K'(x)$$

Das ist die Grenzkosten-Preis-Regel.

Monopol

Ein Monopolist berücksichtigt eine fallende Preis-Absatz-Funktion $p(x)$: Eine größere Menge kann im Modell nur zu einem niedrigeren Preis verkauft werden. Deshalb gilt zunächst:

$$E(x)=p(x)·x$$

Der Grenzerlös ist hier im Allgemeinen nicht gleich dem Preis. Du musst die Erlösfunktion zuerst bilden und danach ableiten.

Gegeben sind:

$$K(y)=10y+50$$

$$P(y)=300-2y$$

Da keine Einheiten angegeben sind, deuten wir $y$ als Mengeneinheiten, $P$ als Geldeinheiten je Mengeneinheit und den Gewinn als Geldeinheiten.

1. Erlös und Gewinn bilden

$$E(y)=P(y)·y=(300-2y)y=300y-2y^2$$

$$G(y)=E(y)-K(y)$$

$$G(y)=300y-2y^2-(10y+50)=290y-2y^2-50$$

2. Kritische Menge bestimmen

$$G'(y)=290-4y$$

Setze die erste Ableitung gleich null:

$$290-4y=0$$

$$y^*=72{,}5$$

3. Maximum prüfen

$$G''(y)=-4$$

Die zweite Ableitung ist negativ. Die Gewinnfunktion ist nach unten gekrümmt. Deshalb liegt bei $y=72{,}5$ ein Maximum vor.

4. Gewinn und Preis berechnen

$$G(72{,}5)=290·72{,}5-2·72{,}5^2-50=10.462{,}5$$

$$P(72{,}5)=300-2·72{,}5=155$$

Das Modell liefert eine gewinnmaximierende Menge von $72{,}5$, einen zugehörigen Preis von $155$ und einen maximalen Gewinn von $10.462{,}5$ in den jeweils angenommenen Einheiten.

Zur Kontrolle über die Grenzgrößen gilt:

$$E'(y)=300-4y$$

$$K'(y)=10$$

Bei $y=72{,}5$ haben beide Grenzgrößen den Wert $10$. Damit ist die Bedingung $E'(y)=K'(y)$ erfüllt.

Die Rechnung zeigt eine optimale Entscheidung unter den Annahmen des Modells. In realen Unternehmen können weitere Bedingungen wichtig sein:

• Kapazitätsgrenzen beschränken die mögliche Menge.
• Preise, Faktorpreise und das Verhalten von Wettbewerbern können sich verändern.
• Kurzfristig sind manche Kosten fix; langfristig können mehr Faktoren verändert werden.
• Rechtliche, ökologische, organisatorische und menschliche Anforderungen können als Nebenbedingungen wirken.
• Unsicherheit kann dazu führen, dass ein rechnerisches Optimum praktisch nicht genau erreichbar ist.

Auch die Aussage vom langfristigen Nullgewinn bei vollständiger Konkurrenz gehört zu einem theoretischen Gleichgewicht. Sie bedeutet nicht, dass Arbeit und Kapital unbezahlt bleiben: Ihre Vergütung wird im Modell bereits als Kosten erfasst.

Du bestimmst das Gewinnmaximum sicher, wenn du drei Fragen nacheinander beantwortest: Wie lautet die Gewinnfunktion? Wo ist der Grenzgewinn null? Ist die gefundene Menge zulässig und tatsächlich ein Maximum?