Kostenfunktion und Gewinnmaximum berechnen

Die Menge bezeichnest du mit $x$. Die Kostenfunktion $K(x)$ umfasst die Kosten dieser Menge. Dazu können fixe Kosten gehören, die unabhängig von der Menge anfallen, und variable Kosten, die sich mit der Menge verändern.

Die Erlösfunktion $E(x)$ beschreibt die Einnahmen. Ist der Preis $p(x)$ von der verkauften Menge abhängig, gilt:

$$E(x)=p(x)·x$$

Der Gewinn ist der Teil des Erlöses, der nach Abzug aller Kosten bleibt:

$$G(x)=E(x)-K(x)$$

In einem vereinfachten Monopolmodell sind gegeben:

$$K(y)=10y+50$$

$$P(y)=300-2y$$

$P(y)$ ist die Preis-Absatz-Funktion: Sie zeigt, welcher Preis im Modell zur Menge $y$ gehört. Da der Preis von der Menge abhängt, musst du ihn mit $y$ multiplizieren:

$$E(y)=P(y)·y=(300-2y)y=300y-2y^2$$

Nun ziehst du die vollständige Kostenfunktion ab:

$$G(y)=300y-2y^2-(10y+50)$$

Beim Auflösen der Klammer werden aus $+10y$ und $+50$ jeweils negative Terme:

$$G(y)=290y-2y^2-50$$

Da für dieses Modell keine Einheiten angegeben sind, werden die Zahlen ohne erfundene Einheiten verwendet.

Die erste Ableitung $G'(y)$ heißt Grenzgewinn. Sie beschreibt, wie sich der Gewinn bei einer kleinen Erhöhung der Menge verändert. Für das Beispiel gilt:

$$G'(y)=290-4y$$

An einer inneren Extremstelle ist der Grenzgewinn null:

$$290-4y=0$$

$$y=72{,}5$$

Die Gleichung $G'(y)=0$ liefert zunächst nur eine mögliche Extremstelle. Deshalb folgt die Maximumsprüfung. Die zweite Ableitung lautet:

$$G''(y)=-4$$

Weil $G''(y)<0$ ist, ist der Graph der Gewinnfunktion nach unten gekrümmt. Die gefundene Stelle ist damit ein Maximum. Sie liegt außerdem im sinnvollen Bereich $y\geq 0$ und $P(y)\geq 0$, also hier zwischen $0$ und $150$.

Jetzt setzt du $y=72{,}5$ in die ursprüngliche Gewinnfunktion ein:

$$G(72{,}5)=290·72{,}5-2·72{,}5^2-50=10.462{,}5$$

Der zugehörige Preis ist:

$$P(72{,}5)=300-2·72{,}5=155$$

Du kannst die Bedingung auch wirtschaftlich lesen. Der Grenzerlös ist $E'(y)$, der zusätzliche Erlös einer kleinen Mengenerhöhung. Die Grenzkosten sind $K'(y)$, die zusätzlichen Kosten dieser Erhöhung.

Im Beispiel gilt:

$$E'(y)=300-4y$$

$$K'(y)=10$$

Weil $G'(y)=E'(y)-K'(y)$ ist, folgt aus $G'(y)=0$:

$$E'(y)=K'(y)$$

Bei $y=72{,}5$ sind Grenzerlös und Grenzkosten gleich. Vor diesem Punkt ist der Grenzerlös in diesem Modell größer als die Grenzkosten; eine kleine Mengenerhöhung steigert den Gewinn. Danach sind die Grenzkosten größer als der Grenzerlös; eine weitere Erhöhung senkt den Gewinn.

Fixkosten beeinflussen die Höhe des Gewinns, verschwinden aber beim Ableiten. Steigen die Fixkosten im Beispiel von $50$ auf $100$, wird aus der Gewinnfunktion:

$$G_{neu}(y)=290y-2y^2-100$$

Die Ableitung bleibt $G'_{neu}(y)=290-4y$. Daher bleibt die optimale Menge $72{,}5$, während der maximale Gewinn um $50$ auf $10.412{,}5$ sinkt. Diese Aussage gilt für die gegebene Modelländerung: Nur der konstante Fixkostenterm wurde verändert.

Der Break-even-Point oder die Gewinnschwelle ist eine Nullstelle der Gewinnfunktion:

$$G(x)=0$$

Dort sind Erlös und Kosten gleich. Das Unternehmen macht weder Gewinn noch Verlust. Das ist nicht dasselbe wie das Gewinnmaximum: Für eine innere gewinnmaximierende Menge suchst du zunächst eine Nullstelle von $G'(x)$ und prüfst die Art der Extremstelle.

Die Gewinnzone umfasst die zulässigen Mengen mit $G(x)>0$. Manche Modelle besitzen eine Gewinnschwelle und später eine Gewinngrenze. Zwei Nullstellen sind aber kein allgemeines Muss; ihre Anzahl hängt von den konkreten Funktionen und vom zulässigen Mengenbereich ab.