Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen anwenden

Eine Schülerfirma stellt Lampen her. Für Werkzeug und Standmiete fallen 600 € an. Jede Lampe verursacht 8 € Materialkosten und wird für 20 € verkauft. Die Variable $x$ bezeichnet die hergestellte und verkaufte Stückzahl.

Aus dem Fall entstehen drei Rechenschritte:

1. Kosten: $K(x)=600+8x$
2. Erlös: $E(x)=20x$
3. Ergebnis: $G(x)=E(x)-K(x)=20x-(600+8x)=12x-600$

Die Einheit von $x$ ist Stück. Die Funktionswerte $K(x)$, $E(x)$ und $G(x)$ werden in Euro angegeben.

Fixkosten $K_f$ fallen im betrachteten Zeitraum unabhängig von der Menge an. Variable Stückkosten $k_v$ entstehen für jedes zusätzliche Stück. Sind sie je Stück konstant, lautet die lineare Kostenfunktion:

$$K(x)=K_f+k_vx$$

Im Lampenfall ist $K_f=600\,€$ der Achsenabschnitt. $k_v=8\,€$ je Stück ist die Steigung: Ein zusätzliches Stück erhöht die Gesamtkosten um 8 €.

Die Stückkosten verteilen die Gesamtkosten auf die produzierte Menge:

$$k(x)=\frac{K(x)}{x}=k_v+\frac{K_f}{x}$$

Diese Rechnung ist nur für $x>0$ möglich. Bei null Stück darfst du nicht durch null teilen. Im linearen Modell sinkt der Fixkostenanteil $K_f/x$ mit wachsender Menge. Das heißt Fixkostendegression; die Fixkosten selbst werden dadurch nicht kleiner.

Der Erlös, auch Umsatz genannt, entsteht durch Verkäufe. Bei konstantem Verkaufspreis $p$ gilt:

$$E(x)=p\cdot x$$

Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung: Ohne Verkauf gibt es in diesem Modell keinen Erlös. Der Preis $p$ ist die Steigung der Erlösgeraden.

Ist der Stückpreis selbst von der Absatzmenge abhängig, verwendest du eine Preis-Absatz-Funktion $p(x)$:

$$E(x)=p(x)\cdot x$$

Dann ist die Erlösfunktion nicht zwingend linear. Du darfst einen mengenabhängigen Preis nicht wie eine Konstante behandeln.

Die Gewinnfunktion ist die Differenz aus Erlös und Kosten:

$$G(x)=E(x)-K(x)$$

• $G(x)>0$: Gewinn
• $G(x)=0$: weder Gewinn noch Verlust
• $G(x)<0$: Verlust

Die Gewinnschwelle oder der Break-even-Point liegt dort, wo Erlös und Kosten gleich sind. Du kannst deshalb entweder $E(x)=K(x)$ oder $G(x)=0$ lösen.

Für das lineare Modell mit konstantem Preis gilt:

$$G(x)=(p-k_v)x-K_f$$

Wenn $p>k_v$, ergibt sich die Gewinnschwelle aus:

$$x_{BEP}=\frac{K_f}{p-k_v}$$

Im Lampenfall gilt $x_{BEP}=600:(20-8)=50$. Bei genau 50 Stück ist $G(50)=0$. Positiver Gewinn entsteht erst bei mehr als 50 Stück. Werden nur ganze Stücke verkauft, ist 51 die erste gewinnbringende Menge.

Für die Lampen gelten $K(x)=600+8x$, $E(x)=20x$ und $G(x)=12x-600$.

So liest du Tabelle und Graphen zusammen:

• Die Kostenlinie startet bei 600 €, weil Fixkosten auch bei $x=0$ anfallen.
• Die Erlösgerade startet bei 0 € und steigt hier stärker als die Kostenlinie.
• Ihr Schnittpunkt bei $x=50$ ist die Gewinnschwelle.
• Der Gewinnwert ist der vorzeichenbehaftete Abstand $E(x)-K(x)$: oberhalb der Schwelle positiv, darunter negativ.
• Die Stückkosten sinken, weil sich 600 € Fixkosten auf mehr Stücke verteilen.

Bei konstantem Preis und linearen Kosten ist die Gewinnfunktion linear. Hat sie eine positive Steigung, wächst der Modellgewinn bis zur zulässigen Kapazitätsgrenze; ein inneres Maximum gibt es dann nicht. Ein inneres Gewinnmaximum kann zum Beispiel entstehen, wenn der erzielbare Preis mit der Absatzmenge sinkt.

Nimm das Modell

$$p(x)=50-0{,}5x$$

$$K(x)=200+10x$$

Der Preis soll nicht negativ sein. Deshalb betrachten wir den zulässigen Bereich $0\le x\le100$.

Zuerst stellst du Erlös und Gewinn auf:

$$E(x)=(50-0{,}5x)x=50x-0{,}5x^2$$

$$G(x)=E(x)-K(x)=-0{,}5x^2+40x-200$$

Dann prüfst du mögliche Maximalstellen:

1. Stationäre Stelle suchen: $G'(x)=-x+40=0$, also $x=40$.
2. Maximum prüfen: $G''(x)=-1<0$, also ist die Kurve dort nach unten gekrümmt und $x=40$ ein lokales Maximum.
3. Zulässigkeit prüfen: $40$ liegt im Bereich $0\le x\le100$.
4. Für das globale Maximum im geschlossenen Bereich auch Randwerte vergleichen: $G(0)=-200\,€$, $G(40)=600\,€$, $G(100)=-1.200\,€$.

Damit ist der Modellgewinn bei 40 Stück mit 600 € am größten. Die Gleichung $G'(x)=0$ allein hätte nur eine stationäre Stelle geliefert; erst Maximums- und Bereichsprüfung sichern die Aussage.

Die Ableitungsrechnung behandelt $x$ zunächst als kontinuierliche Größe. Sind nur ganze Stückzahlen möglich und ist der berechnete Kandidat nicht ganzzahlig, vergleichst du die benachbarten zulässigen ganzen Mengen sowie die Randmengen.

Im linearen Lampenmodell gilt $G(x)=(p-k_v)x-K_f$. Damit kannst du Veränderungen unter der Bedingung sonst gleicher Größen begründen:

• Ein höherer Preis $p$ macht Erlös- und Gewinnfunktion steiler.
• Höhere variable Stückkosten $k_v$ machen die Kostenfunktion steiler und die Gewinnfunktion flacher.
• Höhere Fixkosten $K_f$ verschieben die Kostenfunktion nach oben und die Gewinnfunktion um denselben Betrag nach unten.
• Eine größere Menge verbessert das Ergebnis nur dann automatisch, wenn der Gewinnbeitrag $p-k_v$ positiv und das lineare Modell im betrachteten Bereich gültig ist.

In der Wirklichkeit können sich Größen gegenseitig beeinflussen: Ein höherer Preis kann die Absatzmenge senken, Kapazitätsgrenzen können zusätzliche Fixkosten auslösen und variable Stückkosten können sich ändern. Eine Funktion ist deshalb ein Modell mit festgelegten Annahmen, keine Garantie über die Zukunft.