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Kosten, Erlöse und Gewinn einfach berechnen
Ob ein Verkauf Gewinn bringt, erkennst du erst, wenn du Erlös und Kosten vergleichst. Im linearen Grundmodell zerlegst du die Gesamtkosten in fixe und variable Kosten, berechnest den Erlös mit Preis mal Menge und ziehst anschließend die Kosten ab: $G(x)=E(x)-K(x)$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Kosten zerlegen und Stückkosten bestimmen
Ein Betrieb stellt Sneaker her und verkauft sie. Im vereinfachten Modell bezeichnet $x$ die Anzahl der hergestellten und verkauften Sneaker. Die Fixkosten betragen $3.500\,€$, die variablen Kosten $30\,€$ je Sneaker.
Fixe und variable Kosten
Fixkosten fallen im betrachteten Mengenbereich unabhängig von $x$ an, zum Beispiel Miete. Variable Kosten verändern sich mit der Menge, zum Beispiel Material pro Stück. Bei konstanten variablen Stückkosten sind die gesamten variablen Kosten $k_v\cdot x$.
Damit lautet die lineare Gesamtkostenfunktion:
$$K(x)=k_v\cdot x+K_f$$
Für das Sneaker-Beispiel gilt:
$$K(x)=30\,€\cdot x+3.500\,€$$
$K_f=3.500\,€$ ist der Fixkostenblock. $k_v=30\,€$ je Sneaker ist zugleich die Steigung der Kostenfunktion: Jeder weitere Sneaker erhöht die Gesamtkosten um $30\,€$.
Die Stückkosten sind die durchschnittlichen Gesamtkosten je Stück. Für $x>0$ gilt:
$$k(x)=\frac{K(x)}{x}$$
Bei $x=100$ Sneakern entstehen Gesamtkosten von
$$K(100)=30\,€\cdot100+3.500\,€=6.500\,€.$$
Die Stückkosten betragen
$$k(100)=\frac{6.500\,€}{100}=65\,€.$$
Bei $x=200$ steigen die Gesamtkosten auf $9.500\,€$, aber die Stückkosten sinken auf $47{,}50\,€$. Der Grund: Die Fixkosten verteilen sich nun auf mehr Stücke. Diese Fixkostendegression senkt nicht automatisch die variablen Kosten je Stück.
Steigt die Menge, können die Gesamtkosten steigen, während die Stückkosten sinken. Bei $x=0$ sind Stückkosten nicht definiert, weil eine Division durch null nicht möglich ist.
Erlös und Gewinn auseinanderhalten
Der Erlös, auch Umsatz genannt, ist der Geldbetrag aus den Verkäufen. Bei einem konstanten Stückpreis $p$ gilt:
$$E(x)=p\cdot x$$
Im Sneaker-Beispiel beträgt der Verkaufspreis $50\,€$ je Stück. Daher ist $E(x)=50\,€\cdot x$.
Gewinn
Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Gesamtkosten: $G(x)=E(x)-K(x)$. Ein positiver Wert ist Gewinn, ein negativer Wert Verlust und null bedeutet, dass der Erlös die Kosten genau deckt.
Bei 200 verkauften Sneakern beträgt der Umsatz
$$E(200)=50\,€\cdot200=10.000\,€.$$
Die Kosten betragen $K(200)=9.500\,€$. Deshalb ist der Gewinn
$$G(200)=10.000\,€-9.500\,€=500\,€.$$
Die $10.000\,€$ sind also nicht der Gewinn. Erst nach Abzug aller im Modell berücksichtigten Kosten bleiben $500\,€$ Gewinn.
Aus den drei Funktionen folgt im linearen Modell:
$$G(x)=50x-(30x+3.500)=20x-3.500$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei konstantem Preis berechnet sich der Erlös aus . Der Gewinn ist . Ist $G(x)$ negativ, liegt ein vor. Ist $G(x)=0$, sind Erlös und Kosten . Umsatz und Gewinn sind deshalb .
Mehrere Mengen in einer Tabelle vergleichen
Eine Tabelle zeigt, wie sich Kosten, Erlös, Gewinn und Stückkosten gemeinsam verändern. Für jede Zeile setzt du dieselbe Menge $x$ in die Funktionen ein.
| Menge $x$ | variable Kosten | Gesamtkosten $K(x)$ | Erlös $E(x)$ | Gewinn $G(x)$ | Stückkosten $k(x)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | $0\,€$ | $3.500\,€$ | $0\,€$ | $-3.500\,€$ | nicht definiert |
| 100 | $3.000\,€$ | $6.500\,€$ | $5.000\,€$ | $-1.500\,€$ | $65\,€$ |
| 175 | $5.250\,€$ | $8.750\,€$ | $8.750\,€$ | $0\,€$ | $50\,€$ |
| 200 | $6.000\,€$ | $9.500\,€$ | $10.000\,€$ | $500\,€$ | $47{,}50\,€$ |
So baust du jede Zeile auf:
- Berechne die variablen Kosten mit $30\,€\cdot x$.
- Addiere $3.500\,€$ Fixkosten für $K(x)$.
- Berechne den Erlös mit $50\,€\cdot x$.
- Subtrahiere: $G(x)=E(x)-K(x)$.
- Teile für $x>0$ die Gesamtkosten durch die Menge.
Die Tabelle macht zwei unterschiedliche Entwicklungen sichtbar: Von 100 auf 200 Stück steigen die Gesamtkosten von $6.500\,€$ auf $9.500\,€$. Gleichzeitig sinken die Stückkosten von $65\,€$ auf $47{,}50\,€$, weil die Fixkosten auf mehr Stücke verteilt werden.
Jetzt erstellst du selbst zwei Tabellenzeilen
Ein Schulfest verkauft Stoffbeutel. Im linearen Modell betragen die Fixkosten $240\,€$, die variablen Kosten $4\,€$ je Beutel und der Verkaufspreis $10\,€$ je Beutel.
Übertrage die Tabelle und berechne für beide Mengen zuerst $K(x)=4x+240$, dann $E(x)=10x$ und zuletzt $G(x)=E(x)-K(x)$.
| Menge $x$ | Gesamtkosten $K(x)$ | Erlös $E(x)$ | Gewinn $G(x)$ |
|---|---|---|---|
| 30 | ? | ? | ? |
| 50 | ? | ? | ? |
Die Gewinnschwelle berechnen
Die Gewinnschwelle oder der Break-even-Point ist die Menge, bei der Erlös und Kosten gleich groß sind. Dann gilt:
$$E(x)=K(x)\qquad\text{und}\qquad G(x)=0$$
Der Betrag $p-k_v$ heißt Deckungsbeitrag pro Stück. Er zeigt, wie viel eine verkaufte Einheit zur Deckung der Fixkosten beiträgt. Im Sneaker-Beispiel sind das $50\,€-30\,€=20\,€$.
Unter den linearen Annahmen ergibt sich:
$$x_{\mathrm{BEP}}=\frac{K_f}{p-k_v}$$
Für die Sneaker gilt:
$$x_{\mathrm{BEP}}=\frac{3.500\,€}{50\,€-30\,€}=175.$$
Bei 175 verkauften Sneakern deckt der Umsatz von $8.750\,€$ genau die Kosten von $8.750\,€$. Erst oberhalb dieser Menge ist der Gewinn in diesem Modell positiv.
Die einfache Formel setzt einen konstanten Preis, konstante variable Stückkosten und einen unveränderten Fixkostenblock voraus. Bei positiven Fixkosten muss $p>k_v$ gelten. Ist der Preis höchstens so hoch wie die variablen Kosten je Stück, trägt ein Verkauf nicht zur Deckung der Fixkosten bei. Sprungfixe Kosten, Kapazitätsgrenzen oder ein von der Menge abhängiger Preis verlangen ein anderes oder abschnittsweises Modell.
Veränderungen begründet beurteilen
Aus der Gewinnfunktion
$$G(x)=(p-k_v)x-K_f$$
kannst du die Wirkung einer Änderung ableiten. Verändere zunächst nur eine Größe und halte die anderen Modellgrößen fest. So erkennst du den rechnerischen Effekt.
Ausgangspunkt bei 200 Sneakern ist ein Gewinn von $500\,€$:
| Änderung bei weiterhin 200 Stück | neue Rechnung | neuer Gewinn | Veränderung |
|---|---|---|---|
| Preis steigt von $50\,€$ auf $55\,€$ | $(55-30)\cdot200-3.500$ | $1.500\,€$ | $+1.000\,€$ |
| variable Kosten sinken von $30\,€$ auf $25\,€$ | $(50-25)\cdot200-3.500$ | $1.500\,€$ | $+1.000\,€$ |
| Fixkosten steigen von $3.500\,€$ auf $4.000\,€$ | $(50-30)\cdot200-4.000$ | $0\,€$ | $-500\,€$ |
Steigt stattdessen die Menge von 200 auf 220 Stück und bleiben Preis, variable Stückkosten und Fixkosten gleich, wächst der Gewinn auf $900\,€$. Die 20 zusätzlichen Stücke erhöhen ihn um $20\cdot20\,€=400\,€$.
Im linearen Modell erhöht ein höherer Preis oder eine größere Menge den Gewinn nur unter den genannten Annahmen. In der Wirklichkeit kann ein höherer Preis die Nachfrage senken, und eine größere Menge kann Kapazitätsgrenzen oder neue Fixkosten auslösen. Trenne deshalb Rechenergebnis im Modell und wirtschaftliche Erwartung.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kosten, Erlöse und Gewinn
- Kosten: Fixkosten plus variable Kosten
- Stückkosten: Gesamtkosten durch Menge
- Erlös: Preis mal verkaufte Menge
- Gewinn: Erlös minus Gesamtkosten
- Verlust: Gewinnwert kleiner als null
- Deckungsbeitrag: Preis minus variable Stückkosten
- Gewinnschwelle: Erlös gleich Kosten
- Veränderungen: Preis, Menge, variable Kosten oder Fixkosten
Abschluss-Check
Bearbeite die Aufgaben zunächst selbst. Nutze anschließend die Rückmeldungen, um nicht nur das Ergebnis, sondern auch deinen Rechenweg zu prüfen.