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Kosten- und Erlösfunktion einfach erklärt
Eine Kostenfunktion beschreibt die Gesamtkosten bei einer bestimmten Produktionsmenge. Eine Erlösfunktion gibt die Einnahmen aus dem Verkauf an. Ihre Differenz ist der Gewinn:
$$G(x)=E(x)-K(x)$$
Auf dieser Seite lernst du, lineare Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen aufzustellen, auszuwerten und im zulässigen Mengenbereich zu beurteilen. In einer Vertiefung untersuchst du außerdem eine mengenabhängige Preisfunktion.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie entsteht die Kostenfunktion?
Ein Betrieb hat häufig Kosten, bevor überhaupt ein Stück hergestellt wurde. Hinzu kommen Kosten für jede produzierte Einheit.
Fixkosten
Fixkosten $K_f$ fallen unabhängig von der Produktionsmenge an. Deshalb gilt $K(0)=K_f$. Im Graphen bilden sie den Schnittpunkt der Kostenfunktion mit der $y$-Achse.
Variable Stückkosten
Die variablen Stückkosten $k_v$ geben an, um wie viele Geldeinheiten die Gesamtkosten bei jeder zusätzlichen Mengeneinheit steigen. Bei konstanten Stückkosten sind sie die Steigung des Kostengraphen.
Für ein lineares Kostenmodell gilt:
$$K(x)=k_vx+K_f$$
Dabei bezeichnet $x$ die Produktionsmenge. Wenn in einer Aufgabe keine konkreten Währungen oder Produkte genannt werden, werden häufig GE für Geldeinheiten und ME für Mengeneinheiten verwendet.
Eine Sneakerproduktion verursacht 3.500 € Fixkosten und 30 € variable Kosten je Sneaker.
- Fixkosten: $K_f=3.500\,€$
- variable Stückkosten: $k_v=30\,€$ je Sneaker
Damit lautet die Kostenfunktion:
$$K(x)=30x+3.500$$
Bei 200 Sneakern entstehen Kosten von
$$K(200)=30\cdot200+3.500=9.500\,€.$$
Die 3.500 € fallen auch bei $x=0$ an. Jeder weitere Sneaker erhöht die Kosten um 30 €.
Wie hängen Erlös und Gewinn zusammen?
Der Erlös, auch Umsatz genannt, entsteht durch den Verkauf. Bei einem konstanten Stückpreis $p$ gilt:
$$E(x)=p\cdot x$$
Die Erlösfunktion beginnt dann im Ursprung: Ohne Verkauf gibt es keinen Erlös. Ihre Steigung entspricht dem Preis je Stück.
Gewinnfunktion
Die Gewinnfunktion ist die Differenz aus Erlös und Gesamtkosten:
$$G(x)=E(x)-K(x)$$
Es gilt:
- $G(x)>0$: Das Unternehmen erzielt Gewinn.
- $G(x)<0$: Das Unternehmen macht Verlust.
- $G(x)=0$: Erlös und Kosten sind gleich.
Beim Sneakerbeispiel beträgt der Verkaufspreis 50 € je Stück. Daher ist
$$E(x)=50x.$$
Die Gewinnfunktion entsteht durch sorgfältiges Abziehen der gesamten Kostenklammer:
$$G(x)=50x-(30x+3.500)=20x-3.500.$$
Für 200 verkaufte Sneaker gilt:
$$E(200)=50\cdot200=10.000\,€,$$
$$K(200)=9.500\,€,$$
$$G(200)=10.000-9.500=500\,€.$$
Das Ergebnis ist positiv. Bei 200 Sneakern beträgt der Gewinn also 500 €.
Ordne zuerst die gesuchte Größe zu: Erlös berechnest du mit $E$, Kosten mit $K$ und Gewinn oder Verlust mit $G$. Ein Verlust von 100 GE bedeutet $G(x)=-100$, nicht $G(x)=100$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei konstantem Preis ist der Preis je Stück die der Erlösfunktion. Die Fixkosten sind der der Kostenfunktion. Gewinn berechnet man als . Ein negativer Gewinnwert bedeutet .
Wo liegt die Gewinnschwelle?
An der Gewinnschwelle, auch Break-even-Point genannt, sind Erlös und Kosten gleich. Deshalb kannst du entweder $G(x)=0$ oder $E(x)=K(x)$ lösen.
Für die Sneakerproduktion gilt:
$$20x-3.500=0$$
$$20x=3.500$$
$$x=175$$
Bei 175 Sneakern beträgt der Gewinn genau 0 €. Unterhalb dieser Menge entsteht in diesem Modell Verlust, oberhalb davon Gewinn.
Eine rechnerische Lösung ist erst dann wirtschaftlich sinnvoll, wenn sie in der ökonomischen Definitionsmenge liegt. Diese enthält nur zulässige Mengen, zum Beispiel $0\leq x\leq x_{\mathrm{kap}}$. Bei Stückgütern kommen oft nur ganze Zahlen infrage.
Gegeben sind
$$K(x)=7{,}5x+42,\qquad E(x)=8x$$
und die zulässige Menge $0\leq x\leq68$.
Daraus folgt
$$G(x)=8x-(7{,}5x+42)=0{,}5x-42.$$
Die Gleichung $G(x)=0$ liefert $x=84$. Diese Menge liegt jedoch außerhalb des zulässigen Bereichs. Selbst an der Kapazitätsgrenze gilt
$$G(68)=0{,}5\cdot68-42=-8\ \text{GE}.$$
Das Unternehmen erreicht in diesem Modell keine Gewinnzone.
Wie findest du ein Maximum?
Bei einer steigenden linearen Erlös- oder Gewinnfunktion gibt es ohne Mengenbegrenzung kein inneres Maximum. Ist eine Kapazitätsgrenze vorgegeben, liegt der größte Wert einer steigenden linearen Funktion am rechten Rand des zulässigen Bereichs.
Anders kann es aussehen, wenn der Preis mit wachsender Absatzmenge sinkt. Dann wird aus $E(x)=p(x)\cdot x$ häufig eine nichtlineare Erlösfunktion.
Vertiefung: Mengenabhängiger Preis
Gegeben sei die Preis-Absatz-Funktion
$$p(x)=80-0{,}5x.$$
Der Erlös lautet:
$$E(x)=(80-0{,}5x)x=80x-0{,}5x^2.$$
Ein wirtschaftlich sinnvoller Preis ist nicht negativ. Daher betrachten wir $0\leq x\leq160$.
Für ein mögliches inneres Maximum wird die erste Ableitung null gesetzt:
$$E'(x)=80-x$$
$$80-x=0\quad\Rightarrow\quad x=80.$$
Weil der Koeffizient von $x^2$ negativ ist, ist der Graph eine nach unten geöffnete Parabel. Die Stelle ist daher ein Maximum. Außerdem liegt $80$ in der Definitionsmenge.
$$E(80)=80\cdot80-0{,}5\cdot80^2=3.200\,€.$$
Bei 80 Einheiten beträgt der Preis $p(80)=40$ € und der maximale Erlös 3.200 €.
Die Bedingung $F'(x)=0$ liefert nur Kandidaten für ein inneres Maximum. Prüfe zusätzlich die Funktionsform, die zulässige Definitionsmenge und gegebenenfalls die Randwerte.
Wie löst du neue Wirtschaftsaufgaben?
Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Größen klären: Was bedeutet $x$, und welche Einheiten werden verwendet?
- Modell aufstellen: Bilde $K(x)$ und $E(x)$ aus den Angaben.
- Gewinn bestimmen: Berechne $G(x)=E(x)-K(x)$ und löse die Klammer korrekt auf.
- Passenden Ansatz wählen: Setze eine gegebene Menge ein oder löse eine Gleichung für die gesuchte Menge.
- Zulässigkeit prüfen: Beachte Kapazität, nichtnegative Mengen und gegebenenfalls ganze Stückzahlen.
- Ergebnis deuten: Nenne Gewinn, Verlust, Gewinnschwelle oder Maximum mit Einheit und Sachbezug.
Ein Betrieb hat Fixkosten von 1.200 GE, variable Stückkosten von 18 GE/ME und verkauft jede ME für 30 GE. Die Kapazität beträgt 150 ME.
$$K(x)=18x+1.200$$
$$E(x)=30x$$
$$G(x)=30x-(18x+1.200)=12x-1.200$$
Die Gewinnschwelle folgt aus $12x-1.200=0$ und liegt bei $x=100$ ME. Sie ist erreichbar, weil $100\leq150$ gilt. Da $G$ mit der positiven Steigung 12 wächst, liegt der größte Gewinn im zulässigen Bereich an der Kapazitätsgrenze:
$$G(150)=12\cdot150-1.200=600\ \text{GE}.$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kosten-, Erlös- und Gewinnmodell
- Kosten: variable Kosten plus Fixkosten
- Erlös: Preis mal Absatzmenge
- Gewinn: Erlös minus Kosten
- Gewinnschwelle: Erlös gleich Kosten
- Definitionsmenge: zulässige Mengen und Kapazität
- Maximum: inneren Kandidaten und Randwerte prüfen
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kern, wenn du aus einer neuen Situation zuerst die drei Funktionen bildest, dann den passenden Wert oder die passende Gleichung berechnest und das Ergebnis zuletzt anhand von Einheit, Vorzeichen und Definitionsmenge prüfst.