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Gewinnschwelle berechnen und sicher beurteilen
Die Gewinnschwelle oder der Break-even-Point ist die Absatzmenge, bei der Erlöse und Gesamtkosten genau gleich sind. Das Ergebnis beträgt dort $0\,€$. Darunter entsteht im linearen Grundmodell Verlust, darüber Gewinn – vorausgesetzt, der Verkaufspreis liegt über den variablen Stückkosten.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie ein Verkauf zur Kostendeckung beiträgt
Ein Betrieb verkauft ein Produkt für $80\,€$ je Stück. Die Herstellung eines weiteren Stücks verursacht $50\,€$ variable Kosten. Bleiben dann $30\,€$ Gewinn? Noch nicht: Mit diesen $30\,€$ müssen zuerst die Fixkosten gedeckt werden.
Fixkosten und variable Kosten
Fixkosten fallen innerhalb des betrachteten Zeitraums unabhängig von der produzierten Menge an, zum Beispiel Miete. Variable Kosten verändern sich mit der Menge, zum Beispiel Materialkosten je Stück. Im linearen Modell sind die variablen Stückkosten konstant.
Der Stückdeckungsbeitrag $db$ ist der Betrag, den ein verkauftes Stück nach Abzug seiner variablen Kosten zur Deckung der Fixkosten und danach zum Gewinn beiträgt:
$$db=p-k_v$$
Dabei ist $p$ der Verkaufspreis je Stück und $k_v$ sind die variablen Kosten je Stück. Für das Produkt gilt:
$$db=80\,€-50\,€=30\,€$$
Bei einer Absatzmenge $x$ ergibt sich der Gesamtdeckungsbeitrag:
$$DB=db\cdot x$$
Bei $1.800$ verkauften Stück sind das $30\,€\cdot1.800=54.000\,€$. Erst der Vergleich mit den Fixkosten zeigt das Ergebnis.
Ein positiver Stückdeckungsbeitrag ist noch kein Gewinn. Gewinn entsteht erst, wenn der Gesamtdeckungsbeitrag die Fixkosten übersteigt.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Der Verkaufspreis minus die ergibt den Stückdeckungsbeitrag. Dieser wird zuerst zur Deckung der verwendet. Stückdeckungsbeitrag mal Absatzmenge ergibt den . Ein positiver Stückdeckungsbeitrag bedeutet daher .
Wie du die Gewinnschwelle berechnest
Die Gewinnschwelle ist erreicht, wenn der Gesamtdeckungsbeitrag genau den Fixkosten $K_f$ entspricht:
$$db\cdot x_{BEP}=K_f$$
Löst du nach der Menge auf, erhältst du:
$$x_{BEP}=\frac{K_f}{db}=\frac{K_f}{p-k_v}$$
Die Formel gilt nur, wenn $db>0$ ist. Bei $db=0$ trägt kein Stück zur Deckung der Fixkosten bei. Bei $db<0$ vergrößert jedes weitere Stück den Verlust; eine endliche Gewinnschwelle gibt es in diesem linearen Modell dann nicht.
Für ein Produkt gelten pro Monat:
- Verkaufspreis: $80\,€$ je Stück
- variable Stückkosten: $50\,€$ je Stück
- Fixkosten: $48.000\,€$
1. Stückdeckungsbeitrag:
$$db=80\,€-50\,€=30\,€$$
2. Gewinnschwelle:
$$x_{BEP}=\frac{48.000\,€}{30\,€\text{ je Stück}}=1.600\text{ Stück}$$
3. Deutung: Bei $1.600$ Stück sind die Fixkosten vollständig gedeckt und das Ergebnis beträgt $0\,€$. Bei $1.800$ Stück gilt:
$$G=54.000\,€-48.000\,€=6.000\,€$$
Der Betrieb erzielt im Modell also $6.000\,€$ Gewinn.
Sind nur ganze Produkte verkaufbar und ergibt die Rechnung beispielsweise $342{,}86$ Stück, muss der Betrieb mindestens $343$ Stück verkaufen, um die Kosten vollständig zu decken. Abrunden würde noch einen Verlust bedeuten.
Wie du den Break-even-Point grafisch findest
Eine Grafik macht sichtbar, warum die Gewinnschwelle ein Schnittpunkt ist. Im linearen Einproduktmodell gelten:
$$E(x)=p\cdot x$$
$$K(x)=K_f+k_v\cdot x$$
Die Erlösgerade $E(x)$ startet bei $0\,€$. Die Kostengerade $K(x)$ startet auf der senkrechten Achse bei den Fixkosten. Für das Beispiel mit $p=80\,€$, $k_v=50\,€$ und $K_f=48.000\,€$ kannst du diese Punkte eintragen:
| Absatz $x$ | Erlös $E(x)$ | Gesamtkosten $K(x)$ | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 € | 48.000 € | −48.000 € |
| 800 | 64.000 € | 88.000 € | −24.000 € |
| 1.600 | 128.000 € | 128.000 € | 0 € |
| 2.000 | 160.000 € | 148.000 € | 12.000 € |
So zeichnest und liest du die Grafik:
- Trage die Absatzmenge auf der waagerechten und Eurobeträge auf der senkrechten Achse ab.
- Markiere mindestens zwei Punkte für Erlös und Gesamtkosten.
- Verbinde die Punkte jeder Funktion zu einer Geraden.
- Lies den Schnittpunkt ab: $(1.600\mid128.000\,€)$. Seine $x$-Koordinate ist die Break-even-Menge, seine $y$-Koordinate der Break-even-Umsatz.
- Links vom Schnittpunkt liegt die Kostenlinie über der Erlöslinie: Verlust. Rechts davon liegt die Erlöslinie höher: Gewinn.
Eine gezeichnete Grafik liefert oft nur einen Näherungswert. Die Formel bestimmt die Gewinnschwelle genauer. Nutze die Grafik, um Beziehungen und Plausibilität zu prüfen, und die Rechnung für den exakten Wert.
Wie Preis und Kosten die Schwelle verschieben
Die Formel $x_{BEP}=K_f/(p-k_v)$ zeigt die Richtung einer Veränderung. Ändere gedanklich immer nur eine Größe und halte die übrigen Größen konstant.
Ausgangslage:
- $K_f=12.000\,€$
- $p=75\,€$
- $k_v=45\,€$
- $db=30\,€$
- $x_{BEP}=400$ Stück
| Veränderung | Neuer Stückdeckungsbeitrag | Neue Gewinnschwelle | Begründung |
|---|---|---|---|
| Fixkosten steigen auf 15.000 € | 30 € | 500 Stück | Mehr Deckungsbeitrag wird zur Fixkostendeckung benötigt. |
| Variable Stückkosten steigen auf 50 € | 25 € | 480 Stück | Jedes Stück trägt weniger zur Fixkostendeckung bei. |
| Preis steigt auf 80 € | 35 € | 342,86 Stück, praktisch mindestens 343 | Jedes Stück trägt mehr zur Fixkostendeckung bei. |
Höhere Fixkosten oder höhere variable Stückkosten verschieben die Gewinnschwelle nach rechts. Ein höherer Preis verschiebt sie rechnerisch nach links – aber nur unter der Annahme, dass Absatz, Kosten und Kapazität sonst unverändert bleiben.
Die letzte Einschränkung ist wichtig: Ein höherer Preis kann die Nachfrage beeinflussen. Die Break-even-Rechnung allein sagt nicht voraus, wie viele Kunden zum neuen Preis tatsächlich kaufen.
Wann die Rechnung für eine Entscheidung reicht
Eine korrekte Rechnung kann trotzdem zu einer schlechten Entscheidung führen, wenn ihre Annahmen unrealistisch sind. Prüfe deshalb nach jeder Break-even-Rechnung:
- Kapazität: Kann der Betrieb die nötige Menge überhaupt herstellen oder leisten?
- Nachfrage: Lässt sich die Menge zum angenommenen Preis voraussichtlich verkaufen?
- Zeitraum: Gehören Fixkosten, Mengen und Erlöse zum selben Zeitraum?
- Kostenverlauf: Bleiben Preis und variable Stückkosten tatsächlich konstant, oder gibt es Rabatte, Kostenstufen oder zusätzliche Investitionen?
- Zeit und Liquidität: Kann der Betrieb Auszahlungen bis zum Erreichen der Schwelle finanzieren?
- Vollständigkeit: Wurden alle relevanten fixen und variablen Kosten erfasst?
Im Szenario mit $15.000\,€$ Fixkosten liegt die Gewinnschwelle bei $500$ Stück. Die Anlage kann aber höchstens $450$ Stück pro Monat herstellen. Damit ist die Gewinnschwelle innerhalb dieses Monats nicht erreichbar, obwohl die Rechnung mathematisch richtig ist.
Bei $450$ Stück beträgt der Gesamtdeckungsbeitrag $450\cdot30\,€=13.500\,€$. Es fehlen $1.500\,€$ zur Deckung der Fixkosten. Der Betrieb muss also nicht die Rechnung ändern, sondern Preis, Kosten, Kapazität, Zeitraum oder Vorhaben neu prüfen.
Die Break-even-Analyse ist ein Modell: Sie vereinfacht die Wirklichkeit, um einen Zusammenhang sichtbar zu machen. Bei mehreren Produkten mit unterschiedlichen Deckungsbeiträgen reicht die einfache Einproduktformel nicht ohne zusätzliche Annahmen über den Produktmix.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Gewinnschwelle
- Grundlage: fixe und variable Kosten unterscheiden
- Beitrag: $db=p-k_v$ und $DB=db\cdot x$
- Rechnung: $x_{BEP}=K_f/db$ bei $db>0$
- Grafik: Schnittpunkt von Erlös- und Kostenlinie
- Deutung: darunter Verlust, am Punkt 0 €, darüber Gewinn
- Veränderung: Fixkosten, Preis oder variable Kosten verschieben die Schwelle
- Praxisprüfung: Kapazität, Nachfrage, Zeitraum und Liquidität beachten
- Modellgrenze: lineares Einproduktmodell vereinfacht die Wirklichkeit
Abschluss-Check
Bearbeite die Aufgaben zuerst selbst. Nutze danach die Rückmeldungen, um Rechnung und Begründung zu prüfen.