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Ellipse berechnen: Fläche, Umfang, Exzentrizität
Wie berechnest du Fläche, Umfang und Exzentrizität einer Ellipse aus ihren Halbachsen?
Rechenweg
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Schritt 1: Fläche berechnen
Multipliziere π mit „Große Halbachse a“ und „Kleine Halbachse b“.
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Schritt 2: Lineare Exzentrizität berechnen
Ziehe die Wurzel aus a² − b². Das ist der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt.
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Schritt 3: Numerische Exzentrizität berechnen
Teile „Lineare Exzentrizität“ durch a. 0 bedeutet Kreis, ein Wert nahe 1 eine sehr flache Ellipse.
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Schritt 4: Umfang näherungsweise berechnen
Setze beide Halbachsen in die Näherungsformel von Ramanujan ein.
Ellipsenfläche
$$ A=\pi a b $$
Die Ellipse hat die Fläche 47,12 cm² und den Umfang von etwa 25,53 cm.
Die Brennpunkte liegen 4 cm vom Mittelpunkt entfernt; die numerische Exzentrizität beträgt 0,8.
Für a = b wird die Ellipse zum Kreis: Die Exzentrizität ist 0 und die Umfangsnäherung liefert exakt 2πr. Der Umfang einer Ellipse hat keine elementare exakte Formel; die Ramanujan-Näherung ist für Schulaufgaben mehr als genau genug.
Kurz erklärt
Eine Ellipse wird von zwei Halbachsen beschrieben: der großen Halbachse a und der kleinen Halbachse b. Ihre Fläche ist π·a·b, also die Kreisformel mit zwei verschiedenen Radien. Aus den Halbachsen ergibt sich außerdem die lineare Exzentrizität e, der Abstand der beiden Brennpunkte vom Mittelpunkt, und daraus die numerische Exzentrizität, die dir sagt, wie flach die Ellipse ist. Für den Umfang gibt es keine einfache exakte Formel, deshalb rechnet dieser Rechner mit der sehr genauen Näherung von Ramanujan.
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