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Dualsystem verstehen und Zahlen umrechnen
Das Dualsystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis 2. Es verwendet nur die Ziffern 0 und 1. Trotzdem kannst du damit jede natürliche Zahl darstellen: Jede Stelle steht für eine Zweierpotenz.
Auf dieser Seite lernst du, Dualzahlen zu lesen, zwischen Dual- und Dezimalsystem umzurechnen und Bitmuster richtig einzuordnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So funktionieren die Stellenwerte
Im Dezimalsystem haben die Stellen von rechts nach links die Werte 1, 10, 100 und so weiter. Im Dualsystem verdoppelt sich der Stellenwert bei jedem Schritt nach links:
| Position von rechts | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Zweierpotenz | $2^5$ | $2^4$ | $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ |
| Stellenwert | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Eine 1 bedeutet: Dieser Stellenwert wird verwendet. Eine 0 bedeutet: Dieser Stellenwert wird nicht verwendet.
Dualzahl
Eine Dualzahl ist eine Zahl im Stellenwertsystem zur Basis 2. Ihre zulässigen Ziffern sind 0 und 1. Die tiefgestellte 2, etwa in $101_2$, kennzeichnet die Basis.
Von rechts nach links lauten die Stellenwerte 1, 2, 4, 8, 16, 32, …. Jede Stelle ist doppelt so viel wert wie die Stelle rechts daneben.
Die Begriffe Dualsystem, Zweiersystem und Binärsystem werden häufig gleich verwendet. Genauer bezeichnet „dual“ das Zahlensystem zur Basis 2. „Binär“ kann allgemeiner zwei mögliche Zeichen oder Zustände meinen, zum Beispiel an und aus.
Eine Dualzahl ins Dezimalsystem umwandeln
Um eine Dualzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, gehst du so vor:
- Schreibe unter jede Stelle ihren Stellenwert.
- Wähle die Stellenwerte aus, über denen eine
1steht. - Addiere diese Stellenwerte.
Gesucht ist der Dezimalwert von $10101_2$.
| Dualziffer | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| Stellenwert | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Die Einsen wählen die Werte 16, 4 und 1 aus:
$$10101_2=1·16+0·8+1·4+0·2+1·1$$
$$10101_2=16+4+1=21_{10}$$
Die Antwort lautet: $10101_2$ entspricht der Dezimalzahl $21_{10}$.
Die Nullen sind wichtig. Sie halten Stellen frei. 10101₂ darf deshalb nicht als 111₂ gelesen werden: $111_2$ hat den Wert 7, nicht 21.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $10101_2$ steht die linke 1 für den Wert . Die mittlere 1 steht für . Zusammen mit der rechten 1 ergibt sich der Dezimalwert .
1, 2, 4, 8, 16. Addiert werden nur die Werte mit einer 1.1, 2, 4, 8, 16. Addiert werden nur die Werte mit einer 1.Eine Dezimalzahl ins Dualsystem umwandeln
Für die Umkehrung kannst du die Dezimalzahl wiederholt ganzzahlig durch 2 teilen. Bei jedem Schritt notierst du den Rest. Der Rest ist immer 0 oder 1.
Wichtig: Die Reste entstehen vom niedrigsten zum höchsten Stellenwert. Du musst sie deshalb von unten nach oben lesen.
Wir wandeln $44_{10}$ in eine Dualzahl um:
| Rechnung | Quotient | Rest |
|---|---|---|
| 44 : 2 | 22 | 0 |
| 22 : 2 | 11 | 0 |
| 11 : 2 | 5 | 1 |
| 5 : 2 | 2 | 1 |
| 2 : 2 | 1 | 0 |
| 1 : 2 | 0 | 1 |
Von unten nach oben gelesen ergeben die Reste 101100.
$$44_{10}=101100_2$$
Die Gegenprobe bestätigt das Ergebnis:
$$1·32+0·16+1·8+1·4+0·2+0·1=44$$
Bei der Division mit Rest liest du die Reste rückwärts: Der erste Rest wird die letzte Ziffer der Dualzahl.
Bits stellen Werte dar
Ein Bit kann einen von zwei Zuständen annehmen, meist 0 oder 1. Computer können solche zwei Zustände technisch gut darstellen, etwa durch aus und an.
Mehrere Bits bilden ein Bitmuster. Mit jedem zusätzlichen Bit verdoppelt sich die Zahl der möglichen Muster:
| Anzahl der Bits | Anzahl der Muster | Wertebereich ohne Vorzeichen |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 0 bis 1 |
| 2 | 4 | 0 bis 3 |
| 3 | 8 | 0 bis 7 |
| 8 | 256 | 0 bis 255 |
Mit $n$ Bits gibt es $2^n$ verschiedene Muster. Wenn nur nichtnegative ganze Zahlen dargestellt werden, reicht der Wertebereich von 0 bis $2^n-1$.
Ein Byte umfasst 8 Bit. Damit gibt es $2^8=256$ verschiedene Bitmuster.
Das kleinste Muster ist 00000000₂ und hat den Wert 0. Das größte Muster ist 11111111₂ und hat den Wert 255. Zusammen sind das 256 Werte, weil die 0 mitgezählt wird.
Ein Bitmuster erhält seine genaue Bedeutung erst durch einen vereinbarten Kontext. Dasselbe Muster kann beispielsweise als natürliche Zahl oder als Teil einer anderen Codierung gelesen werden. Auf dieser Seite betrachten wir Bitmuster als Darstellungen natürlicher Zahlen.
Muster schnell erkennen
Einige Eigenschaften kannst du direkt an einer positiven Dualzahl ablesen:
- Endet sie auf
0, ist ihr Dezimalwert gerade. - Endet sie auf
1, ist ihr Dezimalwert ungerade. - Jede angehängte Null verdoppelt den Wert.
- Führende Nullen ändern den Wert nicht:
00101₂und101₂bezeichnen dieselbe Zahl.
Der Grund für die Gerade-Ungerade-Regel liegt ganz rechts: Alle Stellenwerte außer $2^0=1$ sind gerade. Nur das letzte Bit kann daher noch 1 zu einer geraden Summe hinzufügen.
Übe beide Umrechnungsrichtungen
Bearbeite die Aufgaben zuerst selbst. Nutze anschließend die Erklärungen im Quiz zur Kontrolle.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Dualsystem
- verwendet die Ziffern 0 und 1
- ordnet den Stellen Zweierpotenzen zu
- wird durch Stellenwertsummen dezimal gelesen
- entsteht aus Dezimalzahlen durch Division mit Rest
- bildet mit n Bits genau 2^n Muster
- macht gerade und ungerade Werte am Endbit erkennbar
Abschluss-Check
Wenn du die Stellenwerte sicher zuordnest, beherrschst du den wichtigsten Gedanken des Dualsystems. Bei jeder Umrechnung kannst du dein Ergebnis prüfen, indem du den Weg in der Gegenrichtung zurückgehst.