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Wenn du am Computer eine Taste drückst, sieht der Computer nicht einfach den Buchstaben wie du. In seinem Inneren arbeitet er mit sehr einfachen Signalen: an oder aus. Genau deshalb ist das Dualsystem in der Informatik so wichtig. Es zeigt dir, wie man mit nur zwei Zeichen trotzdem viele Zahlen und Informationen darstellen kann.
- Du verstehst, was das Dualsystem ist.
- Du kannst einfache Dualzahlen lesen.
- Du kannst Dualzahlen in Dezimalzahlen umrechnen.
- Du kannst Dezimalzahlen als Dualzahlen schreiben.
- Du erkennst, warum Computer mit 0 und 1 arbeiten.
Von zehn Ziffern zu zwei Ziffern
Im Alltag rechnest du fast immer im Dezimalsystem. Das ist ein Zahlensystem mit zehn Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Wenn eine Stelle nicht mehr größer werden kann, beginnt links daneben eine neue Stelle. Nach 9 kommt also 10.
Das Dualsystem ist ein Zahlensystem mit nur zwei Ziffern: 0 und 1. Es heißt auch Binärsystem oder Zweiersystem. Nach der 1 kommt hier schon die 10. Diese 10 liest du nicht als „zehn“, sondern als „eins null“.
Das Dualsystem ist ein Zahlensystem, das nur die Ziffern 0 und 1 benutzt. Die Stellen haben die Werte 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter.
So zählt man im Dualsystem:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000
Das entspricht im Dezimalsystem:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Im Dezimalsystem kommt nach 9 eine neue Stelle. Im Dualsystem kommt schon nach 1 eine neue Stelle.
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Warum die Position zählt
Eine Ziffer bekommt ihren Wert nicht nur durch sich selbst. Wichtig ist auch ihre Stelle. Eine Stelle ist die Position einer Ziffer in einer Zahl. In 222 haben alle Ziffern die gleiche Form, aber sie stehen für 200, 20 und 2.
Ein Stellenwert ist der Wert, den eine Stelle in einem Zahlensystem hat. Im Dezimalsystem sind das von rechts nach links 1, 10, 100, 1000. Im Dualsystem sind es 1, 2, 4, 8, 16. Jede Stelle ist doppelt so viel wert wie die Stelle rechts daneben.
Ein Stellenwert sagt, wie viel eine Ziffer an ihrer Position wert ist. Im Dualsystem verdoppeln sich die Stellenwerte von rechts nach links.
Die Dualzahl 1011 hat diese Stellenwerte:
1 steht auf der Achterstelle. 0 steht auf der Viererstelle. 1 steht auf der Zweierstelle. 1 steht auf der Einerstelle.
Also schaut man auf die Stellenwerte 8, 4, 2 und 1.
Die rechte Stelle heißt Einerstelle, weil sie den Wert 1 hat. Links daneben kommt die Zweierstelle, dann die Viererstelle, dann die Achterstelle.
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Vom Dualsystem ins Dezimalsystem
Eine Dualzahl ist eine Zahl, die im Dualsystem geschrieben ist. Damit du sie nicht mit einer Dezimalzahl verwechselst, kann man eine kleine 2 dahinter schreiben, zum Beispiel \(1011_2\). Die kleine 2 bedeutet: Diese Zahl ist im Dualsystem gemeint.
Beim Umrechnen hilft dir eine einfache Frage: Wo steht eine 1? Jede 1 zählt ihren Stellenwert mit. Jede 0 zählt ihren Stellenwert nicht mit.
Eine Dualzahl ist eine Zahl aus den Ziffern 0 und 1, die nach den Stellenwerten des Dualsystems gelesen wird.
Rechne \(1101_2\) ins Dezimalsystem um.
Die Stellenwerte sind 8, 4, 2, 1.
\(1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 13\)
Also gilt:
\(1101_2 = 13_{10}\)
Rechne \(10100_2\) ins Dezimalsystem um.
Die Stellenwerte sind 16, 8, 4, 2, 1.
\(1 \cdot 16 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 20\)
Also gilt:
\(10100_2 = 20_{10}\)
Bei einer Dualzahl addierst du nur die Stellenwerte, über denen eine 1 steht.
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Vom Dezimalsystem ins Dualsystem
Jetzt drehst du den Weg um. Du startest mit einer normalen Dezimalzahl und suchst passende Stellenwerte im Dualsystem. Am besten nimmst du immer zuerst den größten Stellenwert, der noch in die Zahl passt.
Eine Zweierpotenz ist eine Zahl der Form \(2^n\). Dabei steht \(n\) für eine ganze Zahl wie 0, 1, 2, 3 oder 4. Die ersten Zweierpotenzen sind \(2^0=1\), \(2^1=2\), \(2^2=4\), \(2^3=8\) und \(2^4=16\). Im Dualsystem werden diese Zweierpotenzen als Stellenwerte genutzt.
Eine Zweierpotenz ist eine Zahl, die entsteht, wenn man die 2 wiederholt mit sich selbst multipliziert. Beispiele sind 1, 2, 4, 8, 16 und 32.
Schreibe 21 als Dualzahl.
Die größte passende Zweierpotenz ist 16. Rest: 5.
In 5 passt 4. Rest: 1.
In 1 passt 1. Rest: 0.
Du brauchst also 16, 4 und 1.
Stellenwerte: 16, 8, 4, 2, 1
Ziffern: 1, 0, 1, 0, 1
Also gilt:
\(21_{10} = 10101_2\)
Schreibe 10 als Dualzahl.
Stellenwerte: 8, 4, 2, 1
10 besteht aus 8 und 2.
Ziffern: 1, 0, 1, 0
Also gilt:
\(10_{10} = 1010_2\)
Suche von links nach rechts die passenden Zweierpotenzen. Passt der Stellenwert hinein, schreibe 1. Passt er nicht hinein, schreibe 0.
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Wie Computer mit 0 und 1 arbeiten
Ein Computer kann sehr gut mit zwei Zuständen arbeiten. Ein Schalter kann an oder aus sein. Eine Spannung kann vorhanden oder nicht vorhanden sein. Diese zwei Zustände lassen sich leicht als 1 und 0 darstellen.
Ein Bit ist die kleinste Informationseinheit im Computer. Ein Bit kann genau einen von zwei Werten haben: 0 oder 1. Ein Byte besteht aus 8 Bits. Ein Byte kann zum Beispiel eine kleine Zahl speichern. Ob ein Byte auch für einen Buchstaben steht, hängt von einer vereinbarten Codierung ab.
Ein Bit ist eine einzelne Stelle mit dem Wert 0 oder 1. Ein Byte besteht aus 8 Bits.
Die Zahl 5 kann als Byte so aussehen:
00000101
Die Nullen vorne ändern den Wert nicht. Sie sorgen nur dafür, dass genau 8 Bits verwendet werden.
\(00000101_2 = 5_{10}\)
Ein Computer kann zwei Zustände so deuten:
0 bedeutet: aus
1 bedeutet: an
Viele solcher Bits zusammen können dann größere Informationen bilden.
Computer nutzen 0 und 1 nicht, weil Menschen so gerne rechnen. Sie nutzen 0 und 1, weil technische Bauteile zwei Zustände sehr zuverlässig unterscheiden können.
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Zahlensystem oder Code?
Das Dualsystem ist ein Zahlensystem. Damit kannst du Zahlen darstellen und rechnen. Ein Binärcode ist eine festgelegte Zuordnung. Er übersetzt Informationen in Folgen aus 0 und 1.
Das ist ein wichtiger Unterschied. Die Folge 1000001 kann als Dualzahl gelesen werden. Dann hat sie einen Zahlenwert. In einem Zeichencode wie ASCII oder Unicode kann eine Bitfolge aber auch für ein Zeichen stehen. Dann entscheidet die vereinbarte Codetabelle über die Bedeutung.
Ein Binärcode ist eine Regel, die Informationen mit zwei Zeichen oder zwei Zuständen darstellt. Die Zeichen sind meistens 0 und 1.
Als Dualzahl bedeutet \(1000001_2\):
\(64 + 1 = 65\)
In einer Codetabelle kann eine Bitfolge für ein Zeichen stehen, zum Beispiel für einen Buchstaben. Die gleiche Folge aus 0 und 1 kann also je nach Regel unterschiedlich gedeutet werden.
Das Dualsystem beantwortet die Frage: Welchen Zahlenwert hat diese Folge?
Ein Binärcode beantwortet die Frage: Welche Information wurde mit dieser Folge vereinbart?
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Zusammenfassung
Das Dualsystem ist ein Zahlensystem mit den Ziffern 0 und 1. Es heißt auch Binärsystem oder Zweiersystem. Die Stellenwerte sind von rechts nach links 1, 2, 4, 8, 16 und so weiter.
Eine Dualzahl rechnest du ins Dezimalsystem um, indem du die Stellenwerte mit einer 1 addierst. Bei \(1101_2\) sind das 8, 4 und 1. Das ergibt 13.
Eine Dezimalzahl schreibst du als Dualzahl, indem du sie aus passenden Zweierpotenzen zusammensetzt. Für 21 brauchst du 16, 4 und 1. Daraus wird \(10101_2\).
Computer nutzen das Dualsystem, weil ihre Technik zwei Zustände gut unterscheiden kann. Ein Bit ist eine einzelne 0 oder 1. Ein Byte besteht aus 8 Bits. Ein Binärcode nutzt solche Folgen, um Informationen nach festen Regeln darzustellen.