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Zahlensysteme: Binär, Dezimal und Hexadezimal
Ein Zahlensystem legt fest, welche Ziffern erlaubt sind und welchen Wert eine Stelle hat. Im Alltag rechnest du meist zur Basis 10; Computer nutzen häufig Basis 2. Mit Stellenwerten kannst du Zahlen lesen und zwischen Systemen umrechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bestimmt ein Zahlensystem?
Die Ziffernfolge 100 hat nicht immer denselben Wert. Erst der Basisindex macht sie eindeutig: $100_2$ ist dezimal 4, $100_{10}$ ist hundert und $100_{16}$ ist dezimal 256.
Stellenwertsystem
In einem Stellenwertsystem hängt der Wert einer Ziffer von ihrer Position ab. Bei Basis $b$ hat die Stelle $i$ den Stellenwert $b^i$. Rechts beginnt die Zählung bei $i=0$.
Zu einer Basis $b>1$ gehören die Ziffern von $0$ bis $b-1$.
| System | Basis | Erlaubte Ziffern | Erste Stellenwerte von rechts |
|---|---|---|---|
| Binär oder Dual | 2 | 0, 1 | 1, 2, 4, 8, … |
| Oktal | 8 | 0 bis 7 | 1, 8, 64, … |
| Dezimal | 10 | 0 bis 9 | 1, 10, 100, … |
| Hexadezimal | 16 | 0 bis 9, A bis F | 1, 16, 256, … |
Im Hexadezimalsystem stehen A, B, C, D, E und F für die Werte 10, 11, 12, 13, 14 und 15.
Eine Ziffer darf nie so groß wie die Basis sein. In Basis 2 ist deshalb nur 0 oder 1 erlaubt; in Basis 8 ist 8 keine Ziffer.
Wie wird Binär zu Dezimal?
Ordne jeder Binärstelle ihre Zweierpotenz zu. Multipliziere Ziffer und Stellenwert und addiere alle Beiträge.
Gesucht ist der Dezimalwert von $101100_2$.
$$101100_2=1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+0\cdot2^0$$
$$=32+0+8+4+0+0=44_{10}$$
Die Nullen sind wichtig: Sie halten die Stellen für 16, 2 und 1 frei. Ohne sie würde sich der Wert ändern.
Wie wird Dezimal zu Binär?
Teile die Zahl wiederholt ganzzahlig durch 2. Notiere nach jeder Division den Rest. Lies die Reste anschließend von unten nach oben, weil der erste Rest die letzte Binärstelle liefert.
Wir wandeln $44_{10}$ um.
text 44 / 2 = 22 Rest 0 22 / 2 = 11 Rest 0 11 / 2 = 5 Rest 1 5 / 2 = 2 Rest 1 2 / 2 = 1 Rest 0 1 / 2 = 0 Rest 1
Von unten nach oben gelesen entsteht $101100_2$. Die Rückprobe mit den Stellenwerten ergibt wieder 44.
Bei der Restdivision bedeutet „von unten nach oben“: Der zuletzt berechnete Rest wird zur ersten Ziffer der Binärzahl.
Wie verkürzt Hexadezimal lange Bitfolgen?
Weil $16=2^4$ gilt, entspricht jede Hexadezimalziffer genau vier Bits. Gruppiere eine Binärzahl vom rechten Rand aus in Vierergruppen. Eine unvollständige Gruppe darfst du links mit Nullen auffüllen.
Die Binärzahl wird in Vierergruppen geteilt:
$$(1101\ 0001)_2$$
1101 steht für D, 0001 für 1. Daher gilt:
$$(1101\ 0001)_2=(D1)_{16}$$
Die Kontrolle über Stellenwerte ergibt $D1_{16}=13\cdot16+1=209_{10}$.
Vertiefung: Bits, Bytes und Nachkommastellen
Eine Stelle in einer Binärdarstellung heißt Bit. Acht Bits bilden ein Byte. Mit acht Bits gibt es $2^8=256$ verschiedene Bitmuster. Ohne Vorzeichen reichen sie von $00000000_2=0_{10}$ bis $11111111_2=255_{10}$.
Für Nachkommastellen werden negative Exponenten verwendet. Direkt rechts vom Komma stehen die Werte $2^{-1}=\frac{1}{2}$, $2^{-2}=\frac{1}{4}$, $2^{-3}=\frac{1}{8}$ und so weiter.
$$11{,}101_2=1\cdot2^1+1\cdot2^0+1\cdot2^{-1}+0\cdot2^{-2}+1\cdot2^{-3}$$
$$=2+1+0{,}5+0+0{,}125=3{,}625_{10}$$
Nicht jeder endliche Dezimalbruch endet auch im Binärsystem. $0{,}1_{10}$ wird binär periodisch. Ein Computer kann dann nur endlich viele Stellen speichern und muss runden. Deshalb können Rechnungen mit gespeicherten Bruchzahlen kleine Rundungsabweichungen enthalten.
Die Bezeichnungen sind nicht austauschbar: 1 Kilobyte (kB) bezeichnet 1000 Byte, 1 Kibibyte (KiB) genau $2^{10}=1024$ Byte.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zahlensysteme
- Basis bestimmt Ziffernvorrat
- Position bestimmt Stellenwert
- Binär nach Dezimal: Stellenwerte addieren
- Dezimal nach Binär: Restdivision rückwärts lesen
- Binär und Hexadezimal: Bits in Vierergruppen ordnen
- Endliche Speicherung kann Binärbrüche runden
Abschluss-Check
Wenn du unsicher bist, mache eine Rückprobe: Werte die erhaltene Darstellung mit den Stellenwerten ihrer Basis aus. So prüfst du nicht nur das Ergebnis, sondern auch deinen Umrechnungsweg.