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Wenn du eine Zahl aufschreibst, verwendest du wahrscheinlich ganz selbstverständlich die Zeichen von 0 bis 9. Ein Computer speichert Informationen dagegen meist mit nur zwei Zeichen. Trotzdem können beide dieselben Mengen und Zahlen beschreiben.
- Du erklärst, was ein Zahlensystem ist.
- Du erkennst Basis und Stellenwerte.
- Du wandelst einfache Binärzahlen in Dezimalzahlen um.
- Du verstehst den Nutzen von Hexadezimalzahlen.
Zahlen richtig lesen
Ein Zahlensystem legt fest, mit welchen Zeichen und Regeln Zahlen geschrieben werden. Die einzelnen Zeichen heißen Ziffern. Eine Basis gibt bei einem Stellenwertsystem an, wie viele verschiedene Ziffern es gibt.
Unser Alltagssystem heißt Dezimalsystem. Es hat die Basis 10 und verwendet die Ziffern 0 bis 9. Im Binärsystem gibt es dagegen nur die Ziffern 0 und 1.
Die Ziffernfolge \(10\) kann Unterschiedliches bedeuten:
Die kleine Zahl unten zeigt die Basis an.
Eine Ziffernfolge erhält ihren genauen Wert erst durch das passende Zahlensystem.
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Stellenwerte verstehen
Bei der Zahl 352 steht die 2 für zwei Einer. Die 5 steht für fünf Zehner. Die 3 steht für drei Hunderter. Die Position einer Ziffer heißt Stelle; ihr Wert an dieser Position heißt Stellenwert.
Ein Stellenwertsystem ist ein Zahlensystem, in dem sich der Wert einer Ziffer durch ihre Stelle verändert. Im Dezimalsystem wird jeder Stellenwert nach links zehnmal so groß.
Du kannst \(352_{10}\) zerlegen:
Die mittlere Ziffer bedeutet also fünf Zehner, nicht nur fünf.
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Mit zwei Ziffern zählen
Ein Schalter kennt oft nur zwei Zustände: aus oder an. Das Binärsystem, auch Dualsystem genannt, nutzt deshalb die Basis 2. Es erlaubt nur 0 und 1.
Die Stellenwerte wachsen hier von rechts nach links so: \(1\), \(2\), \(4\), \(8\), \(16\) und weiter. Jede Stelle links ist doppelt so viel wert wie die Stelle rechts daneben.
Die Binärzahl \(1011_2\) wird so gelesen:
Also gilt \(1011_2 = 11_{10}\).
Eine 1 bedeutet: Der zugehörige Stellenwert wird mitgezählt. Eine 0 bedeutet: Dieser Stellenwert fehlt.
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Hexadezimalzahlen kürzer schreiben
Viele Binärziffern hintereinander sind schwer zu überblicken. Das Hexadezimalsystem ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 16. Es verwendet die Ziffern 0 bis 9 und zusätzlich die Buchstaben A bis F.
Dabei steht A für zehn, B für elf und so weiter bis F für fünfzehn. Vier Binärziffern lassen sich genau als eine Hexadezimalziffer zusammenfassen. Deshalb ist Hexadezimal eine praktische Kurzschreibweise für binäre Daten.
Die Hexadezimalzahl \(2A_{16}\) bedeutet:
Also gilt \(2A_{16} = 42_{10}\).
Außerdem gilt:
Hexadezimal verändert nicht den Wert einer Zahl. Es verändert nur ihre Schreibweise.
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Zahlen umrechnen
Um eine Zahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, zerlegst du sie in ihre Stellenwerte und addierst die Teile. Um von Dezimal nach Binär zu gelangen, teilst du wiederholt durch 2. Die dabei entstehenden Reste liest du von unten nach oben.
Wandle \(13_{10}\) in das Binärsystem um:
Von unten nach oben gelesen entstehen die Ziffern \(1101_2\).
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Zusammenfassung
Ein Zahlensystem beschreibt Regeln zum Schreiben von Zahlen. Seine Ziffern und seine Basis helfen dir, eine Ziffernfolge richtig zu deuten.
Im Dezimalsystem nutzt du die Basis 10. Das Binärsystem verwendet nur 0 und 1 und passt gut zu technischen Zuständen. Das Hexadezimalsystem mit Basis 16 fasst Binärzahlen kompakt zusammen. Bei allen Stellenwertsystemen zählt nicht nur die Ziffer, sondern auch ihre Position.