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Wenn du am Computer eine Farbe auswählst, siehst du manchmal etwas wie #FF8800. Auch Speicheradressen oder lange Zahlen aus Nullen und Einsen werden in der Informatik oft kürzer geschrieben. Das wirkt zuerst geheimnisvoll, folgt aber einem einfachen Muster.
- Du verstehst, was Basis 16 bedeutet.
- Du kennst die Hexadezimalziffern 0 bis 9 und A bis F.
- Du kannst einfache Hexadezimalzahlen ins Dezimalsystem umrechnen.
- Du erkennst, warum Hexadezimalzahlen gut zu Binärzahlen passen.
Warum Hexadezimalzahlen praktisch sind
Computer speichern Informationen mit Nullen und Einsen. Eine einzelne Stelle davon heißt Bit. Ein Bit kann nur den Wert 0 oder 1 haben.
Viele Bits hintereinander sind schwer zu lesen. Deshalb nutzt man in der Informatik oft eine kürzere Schreibweise. Das Hexadezimalsystem fasst solche Bitfolgen übersichtlich zusammen.
Eine Basis sagt, wie viele verschiedene Ziffernwerte an einer Stelle möglich sind. Ein Stellenwertsystem ist ein Zahlensystem, bei dem der Wert einer Ziffer davon abhängt, an welcher Stelle sie steht.
Das Hexadezimalsystem ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 16. An jeder Stelle sind also 16 verschiedene Ziffernwerte möglich.
Die Binärzahl 11111111 besteht aus 8 Bits.
Man teilt sie in zwei Gruppen mit je 4 Bits:
1111 1111
Jede Vierergruppe hat den Wert 15. Im Hexadezimalsystem schreibt man dafür F.
Also gilt:
\(11111111_2 = FF_{16}\)
Hexadezimalzahlen verändern den Zahlenwert nicht. Sie schreiben denselben Wert nur kompakter.
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Die 16 Hexadezimalziffern
Im Dezimalsystem kennst du 10 Ziffern: 0 bis 9. Im Hexadezimalsystem reichen diese Zeichen nicht aus, weil eine Stelle 16 Werte darstellen können muss.
Darum kommen die Buchstaben A, B, C, D, E und F dazu. Diese Buchstaben sind hier keine Wörter. Sie sind Ziffern mit festen Zahlenwerten.
Eine Hexadezimalziffer ist ein einzelnes Zeichen im Hexadezimalsystem. Erlaubt sind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F.
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Im Dezimalsystem kommt nach 9 die 10.
Im Hexadezimalsystem kommt nach 9 zuerst A, dann B, C, D, E und F.
Erst nach F kommt 10.
Das bedeutet:
\(F_{16} = 15_{10}\)
\(10_{16} = 16_{10}\)
In Hexadezimalzahlen bedeutet 10 nicht zehn, sondern sechzehn.
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Stellenwerte verstehen
Eine Ziffer bekommt ihren Wert erst durch ihre Stelle. Im Dezimalsystem stehen die Stellen von rechts nach links für 1, 10, 100 und so weiter.
Im Hexadezimalsystem wachsen die Stellenwerte immer mit dem Faktor 16. Von rechts nach links sind die ersten Stellenwerte 1, 16, 256 und 4096.
Betrachte die Hexadezimalzahl \(2C_{16}\).
Die rechte Stelle ist die Einerstelle. Dort steht C, also 12.
Die linke Stelle ist die Sechzehnerstelle. Dort steht 2.
Also rechnest du:
\(2C_{16} = 2 \cdot 16 + 12 \cdot 1\)
\(2C_{16} = 32 + 12\)
\(2C_{16} = 44_{10}\)
Ein kleiner Index zeigt das Zahlensystem an. \(2C_{16}\) bedeutet: Die Zahl ist hexadezimal geschrieben. \(44_{10}\) bedeutet: Die Zahl ist dezimal geschrieben.
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Von Hexadezimal nach Dezimal umrechnen
Wenn du eine Hexadezimalzahl ins Dezimalsystem umrechnest, zerlegst du sie in Stellenwerte. Die rechte Stelle hat den Wert \(16^0 = 1\). Die nächste Stelle hat den Wert \(16^1 = 16\). Danach kommt \(16^2 = 256\).
Ersetze zuerst A bis F durch 10 bis 15. Dann multiplizierst du jede Ziffer mit ihrem Stellenwert und addierst die Ergebnisse.
Rechne \(A3F_{16}\) ins Dezimalsystem um.
A = 10
3 = 3
F = 15
Die Stellenwerte sind \(16^2 = 256\), \(16^1 = 16\) und \(16^0 = 1\).
\(A3F_{16} = 10 \cdot 256 + 3 \cdot 16 + 15 \cdot 1\)
\(A3F_{16} = 2560 + 48 + 15\)
\(A3F_{16} = 2623_{10}\)
Beim Umrechnen nach Dezimal liest du die Zahl nicht wie ein Wort. Du rechnest Stelle für Stelle.
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Von Dezimal nach Hexadezimal umrechnen
Jetzt gehst du den Weg zurück. Du startest mit einer Dezimalzahl und willst sie zur Basis 16 schreiben.
Eine sichere Methode ist das Restverfahren. Dabei teilst du immer wieder durch 16. Den Rest merkst du dir. Am Ende liest du die Reste von unten nach oben.
Das Restverfahren ist eine Umrechnungsmethode. Du teilst wiederholt durch die neue Basis und nutzt die Reste als neue Ziffern.
Wandle \(1278_{10}\) in eine Hexadezimalzahl um.
\(1278 : 16 = 79\) Rest 14
14 ist E.
\(79 : 16 = 4\) Rest 15
15 ist F.
\(4 : 16 = 0\) Rest 4
Jetzt liest du die Reste von unten nach oben:
4, F, E
Also gilt:
\(1278_{10} = 4FE_{16}\)
Beim Restverfahren liest du die Reste am Ende von unten nach oben. Sonst steht die Zahl rückwärts.
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Verbindung zum Binärsystem
Das Binärsystem ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 2. Es benutzt nur die Ziffern 0 und 1. Computer arbeiten damit, weil digitale Technik zwei Zustände gut unterscheiden kann.
Der enge Zusammenhang entsteht, weil \(16 = 2^4\) ist. Eine Hexadezimalziffer passt also genau zu 4 Bits. Eine Gruppe aus 4 Bits heißt Nibble.
Ein Nibble ist eine Gruppe aus 4 Bits. Ein Nibble kann genau einen Hexadezimalwert von 0 bis F darstellen.
Wandle die Binärzahl 10101100 in Hexadezimal um.
Teile sie zuerst in Vierergruppen:
1010 1100
1010 hat den Dezimalwert 10, also A.
1100 hat den Dezimalwert 12, also C.
Also gilt:
\(10101100_2 = AC_{16}\)
Wandle \(3F_{16}\) in Binär um.
3 wird zu 0011.
F wird zu 1111.
Also gilt:
\(3F_{16} = 00111111_2\)
Die beiden Nullen vorne nennt man führende Nullen. Sie ändern den Wert nicht, halten aber die Schreibweise als zwei Nibbles übersichtlich.
Eine Hexadezimalziffer entspricht immer genau 4 Bits. Deshalb ist Hexadezimal so praktisch für Binärzahlen.
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Typische Schreibweisen und Anwendungen
Damit niemand eine Hexadezimalzahl mit einer Dezimalzahl verwechselt, benutzt man oft Kennzeichnungen. In der Mathematik schreibt man zum Beispiel \(FF_{16}\). In Programmiersprachen sieht man häufig 0xFF.
Ein bekanntes Beispiel sind Farben im Web. RGB bedeutet Rot, Grün und Blau. Ein Farbcode wie #FF8800 besteht aus drei zweistelligen Hexadezimalwerten für diese drei Farbanteile.
Der Farbcode #FF8800 kann so gelesen werden:
FF für Rot
88 für Grün
00 für Blau
FF ist der größte Wert mit genau zwei Hexadezimalziffern, also \(FF_{16} = 255_{10}\). 00 ist der kleinste zweistellige Wert. Deshalb enthält die Farbe viel Rot, etwas Grün und kein Blau.
Auch Speicheradressen, Maschinencode, Unicode-Zeichen und Netzwerkdaten werden oft hexadezimal angezeigt. Das macht lange Binärdaten kürzer und übersichtlicher.
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Zusammenfassung
Das Hexadezimalsystem ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 16. Es benutzt die Ziffern 0 bis 9 und die Buchstaben A bis F. A steht für 10, B für 11, C für 12, D für 13, E für 14 und F für 15.
Beim Umrechnen nach Dezimal nutzt du die Stellenwerte 1, 16, 256, 4096 und so weiter. Beim Umrechnen von Dezimal nach Hexadezimal hilft das Restverfahren. Dabei liest du die Reste am Ende von unten nach oben.
Besonders wichtig ist der Zusammenhang zum Binärsystem. Eine Hexadezimalziffer entspricht genau 4 Bits. Darum werden Hexadezimalzahlen in der Informatik häufig genutzt, zum Beispiel für Farben, Speicheradressen und kompakte Darstellungen von Daten.
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