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Differentialrechnung einfach erklärt: Ableitungen
Die Differentialrechnung untersucht, wie schnell sich eine Funktion an einer bestimmten Stelle ändert. Die Ableitung $f'(x)$ beschreibt diese lokale Änderungsrate und zugleich die Steigung der Tangente am Graphen.
Du lernst den Weg von der mittleren zur momentanen Änderung kennen, leitest einfache Funktionen ab und deutest Ableitungen in Graphen und Sachaufgaben.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Von der mittleren zur momentanen Änderung
Wie schnell verändert sich eine Größe? Für ein ganzes Zeitintervall beantwortet das die mittlere Änderungsrate.
Differenzenquotient
Der Differenzenquotient gibt die mittlere Änderung von $f$ im Intervall $[a,b]$ an:
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Geometrisch ist er die Steigung der Sekante, also der Geraden durch die Graphenpunkte $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$.
Für einen fallenden Körper sei der zurückgelegte Weg durch $s(t)=5t^2$ in Metern beschrieben.
Zwischen $t=3\,\mathrm{s}$ und $t=4\,\mathrm{s}$ beträgt die mittlere Geschwindigkeit
$$\frac{s(4)-s(3)}{4-3}=\frac{80-45}{1}=35\,\mathrm{m/s}.$$
Zwischen $3\,\mathrm{s}$ und $3{,}1\,\mathrm{s}$ ergibt sich
$$\frac{s(3{,}1)-s(3)}{3{,}1-3}=30{,}5\,\mathrm{m/s}.$$
Das kürzere Intervall liefert hier eine bessere Näherung für die Geschwindigkeit bei $t=3\,\mathrm{s}$. Wenn sein rechter Rand immer näher an $3$ rückt, nähern sich die mittleren Geschwindigkeiten dem Wert $30\,\mathrm{m/s}$.
Der Differenzenquotient beschreibt einen Durchschnitt über ein Intervall. Die Ableitung beschreibt die Änderung in einem Moment beziehungsweise an einer Stelle.
Wie die Ableitung als Grenzwert entsteht
Für die Steigung genau bei $x$ lässt du einen zweiten Graphenpunkt immer näher an den ersten rücken. Der Abstand der beiden x-Werte heißt $h$.
Differentialquotient
Existiert der Grenzwert
$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$
so heißt $f$ an der Stelle $x$ differenzierbar. Der Grenzwert ist der Differentialquotient oder die Ableitung von $f$ an dieser Stelle.
Dabei darfst du nicht sofort $h=0$ einsetzen, denn dann würdest du durch null teilen. Zuerst vereinfachst du den Quotienten für $h\ne0$. Erst danach untersuchst du den Grenzwert für $h\to0$.
Für $f(x)=x^2$ gilt
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}.$$
Ausmultiplizieren und Kürzen liefert für $h\ne0$:
$$\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h.$$
Nun darf $h$ gegen null gehen:
$$f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.$$
Die Ableitungsfunktion $f'(x)=2x$ ordnet jeder Stelle die dortige Steigung von $f$ zu. Bei $x=3$ ist die Steigung zum Beispiel $f'(3)=6$.
Differenzierbarkeit ist eine stärkere Eigenschaft als Stetigkeit. Eine differenzierbare Funktion ist an der betrachteten Stelle stetig. Eine stetige Funktion muss dort aber nicht differenzierbar sein, etwa wenn ihr Graph eine scharfe Ecke besitzt.
Ableitungen mit Regeln berechnen
Die Grenzwertdefinition erklärt, was eine Ableitung ist. Beim Rechnen verwendest du meist Ableitungsregeln.
Für Konstanten $c$ und natürliche Exponenten $n$ gelten:
- Konstantenregel: $(c)'=0$
- Potenzregel: $(x^n)'=nx^{n-1}$
- Faktorregel: $(c\cdot f)'=c\cdot f'$
- Summenregel: $(f+g)'=f'+g'$
Damit kannst du Polynome Glied für Glied ableiten.
Gegeben ist
$$f(x)=x^3-9x^2+24x-19.$$
Die einzelnen Glieder werden abgeleitet:
$$f'(x)=3x^2-18x+24.$$
Noch einmal ableiten ergibt die zweite Ableitung:
$$f''(x)=6x-18.$$
Die Konstante $-19$ verschwindet beim Ableiten, weil sie sich nicht mit $x$ ändert.
Für Produkte, Quotienten und Verkettungen brauchst du weitere Regeln:
$$(fg)'=f'g+fg'$$
$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\qquad g\ne0$$
$$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
Bei der Kettenregel hilft die Formulierung: äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Für $q(x)=(x^2+1)^3$ ist die äußere Funktion eine dritte Potenz und die innere Funktion $x^2+1$.
$$q'(x)=3(x^2+1)^2\cdot2x=6x(x^2+1)^2.$$
Was der Graph von f' über f verrät
Die Werte von $f'$ sind die Steigungen von $f$. Deshalb kannst du das Vorzeichen der Ableitung so deuten:
- $f'(x)>0$: Der Graph von $f$ hat bei $x$ eine positive Steigung. Ist $f'$ in einem ganzen Intervall positiv, steigt $f$ dort streng.
- $f'(x)<0$: Der Graph von $f$ hat bei $x$ eine negative Steigung. Ist $f'$ in einem ganzen Intervall negativ, fällt $f$ dort streng.
- $f'(x)=0$: Der Graph von $f$ besitzt bei $x$ eine waagerechte Tangente.
Eine Stelle mit $f'(x)=0$ ist nur ein kritischer Kandidat. Sie muss kein Hoch- oder Tiefpunkt sein. Bei $f(x)=x^3$ gilt zwar $f'(0)=0$, der Graph steigt aber vor und nach null weiter.
Lokales Extremum
An einem lokalen Maximum sind nahe gelegene Funktionswerte nicht größer als der betrachtete Wert. An einem lokalen Minimum sind sie nicht kleiner.
Ein Vorzeichenwechsel von $f'$ entscheidet zuverlässig:
- von positiv zu negativ: lokales Maximum;
- von negativ zu positiv: lokales Minimum.
Wenn zusätzlich $f'(p)=0$ gilt, kann oft die zweite Ableitung helfen:
- $f''(p)<0$: lokales Maximum;
- $f''(p)>0$: lokales Minimum;
- $f''(p)=0$: keine Entscheidung; prüfe den Vorzeichenwechsel von $f'$.
Für $f(x)=x^3-9x^2+24x-19$ gilt
$$f'(x)=3(x-2)(x-4).$$
Daraus folgen die kritischen Stellen $x=2$ und $x=4$.
- Vor $2$ ist $f'>0$, zwischen $2$ und $4$ ist $f'<0$: Bei $x=2$ liegt ein Hochpunkt.
- Zwischen $2$ und $4$ ist $f'<0$, nach $4$ ist $f'>0$: Bei $x=4$ liegt ein Tiefpunkt.
Mit $f(2)=1$ und $f(4)=-3$ erhältst du $H(2|1)$ und $T(4|-3)$.
Tangenten und Optimierungen anwenden
Die Ableitung verbindet eine Funktion mit ihrer besten linearen Näherung in der Nähe einer Stelle $x_0$.
Tangentengleichung
Die Tangente an den Graphen von $f$ bei $x_0$ lautet
$$T(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$
Sie besitzt am Berührpunkt denselben Funktionswert und dieselbe Steigung wie $f$.
Für $f(x)=x^2$ bei $x_0=1$ gilt $f(1)=1$ und $f'(1)=2$. Damit ist
$$T(x)=1+2(x-1)=2x-1.$$
Bei einer Optimierung suchst du den größten oder kleinsten möglichen Wert einer Zielgröße:
- Formuliere die Zielgröße als Funktion.
- Beachte Nebenbedingungen und den zulässigen Bereich.
- Löse $f'(x)=0$ für innere Kandidaten.
- Klassifiziere die Kandidaten.
- Vergleiche bei einem abgeschlossenen Intervall auch die Randwerte.
- Gib das Ergebnis mit Einheit im Sachzusammenhang an.
Mit $100\,\mathrm{m}$ Draht soll ein Rechteck eingezäunt werden. Für die Seiten $a$ und $b$ gilt
$$2a+2b=100,$$
also $a=50-b$. Die Fläche ist damit
$$A(b)=b(50-b)=50b-b^2,$$
wobei $0\le b\le50$ gilt. Ableiten liefert
$$A'(b)=50-2b.$$
Aus $A'(b)=0$ folgt $b=25$. Wegen $A''(b)=-2<0$ liegt dort ein Maximum. Dann ist auch $a=25\,\mathrm{m}$ und
$$A_{\max}=25\,\mathrm{m}\cdot25\,\mathrm{m}=625\,\mathrm{m^2}.$$
Das Quadrat besitzt unter diesen Bedingungen die größte Fläche.
Ein Ergebnis aus $f'(x)=0$ ist zunächst nur ein Kandidat. Prüfe seine Art, den zulässigen Bereich und gegebenenfalls die Randwerte.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Differentialrechnung
- Änderungsraten
- Differenzenquotient: mittlere Änderung
- Differentialquotient: lokale Änderung
- Ableitung
- Tangentensteigung
- Ableitungsfunktion
- Rechenregeln
- Graphen untersuchen
- Vorzeichen von $f'$: Steigen und Fallen
- Vorzeichenwechsel: Extremstellen
- $f''$: Änderung der Steigung
- Anwendungen
- Momentangeschwindigkeit
- Tangentengleichung
- Optimierung
- Änderungsraten
Abschluss-Check
Wenn du im Abschluss-Check noch unsicher warst, ordne zuerst die Frage ein: Geht es um eine mittlere Änderung, eine lokale Steigung, eine Ableitungsregel oder die Deutung eines Ableitungswertes? Diese Entscheidung bestimmt den nächsten Rechenschritt.