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Wenn eine Kurve steigt, fällt oder an einer Stelle besonders flach wird, beschreibt die Differentialrechnung dieses Verhalten genau. Danach kannst du Änderungsraten berechnen, Tangenten finden und Hoch- oder Tiefpunkte untersuchen.
- Ich kann erklären, was eine Ableitung bedeutet.
- Ich kann einfache Funktionen ableiten.
- Ich kann Tangentensteigung und Änderungsrate verbinden.
- Ich kann typische Prüfungsfragen zur Differentialrechnung einordnen.
Von der Steigung zur Ableitung
Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich. Bei einer Kurve ändert sie sich von Punkt zu Punkt. Die Ableitung \(f'(x)\) gibt an, wie steil der Graph von \(f\) an der Stelle \(x\) gerade ist.
Ableitung
Die Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate einer Funktion. Grafisch ist sie die Steigung der Tangente an den Graphen.
Für \(f(x)=x^2\) ist \(f'(x)=2x\).
An der Stelle \(x=3\) gilt \(f'(3)=2\cdot 3=6\). Die Tangente an den Graphen hat dort also die Steigung \(6\).
\(f(x)\) beschreibt Werte. \(f'(x)\) beschreibt, wie schnell diese Werte sich ändern.
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Ableitungsregeln nutzen
Für Potenzen gilt die Potenzregel: Aus \(x^n\) wird \(n\cdot x^{n-1}\). Faktoren bleiben erhalten, Summen leitest du gliedweise ab.
Potenzregel
Für \(f(x)=x^n\) gilt \(f'(x)=n\cdot x^{n-1}\). Der Exponent wandert als Faktor nach vorn und wird dann um 1 kleiner.
Leite \(f(x)=3x^4-5x^2+7\) ab.
- \(3x^4\) wird zu \(12x^3\).
- \(-5x^2\) wird zu \(-10x\).
- Die Konstante \(7\) wird zu \(0\).
Also ist \(f'(x)=12x^3-10x\).
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Prüfungsmodus
In Prüfungen steht selten nur "leite ab". Oft sollst du deuten: Wo steigt der Graph? Wo liegt ein Extrempunkt? Welche Einheit hat die Änderungsrate?
Ein Wasserstand wird durch \(h(t)\) beschrieben. Dann bedeutet \(h'(t)=2\): Der Wasserstand steigt zu diesem Zeitpunkt um 2 Einheiten pro Zeiteinheit.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Die Differentialrechnung untersucht momentane Änderung. Du leitest Funktionen ab, deutest die Ableitung als Tangentensteigung und nutzt sie, um Wachstum, Fallen und Extrempunkte zu verstehen.