Ebenengleichungen umwandeln: alle drei Formen

Stell dir eine Ebene wie eine unbegrenzt große, flache Fläche im Raum vor. Jede Darstellungsform hebt eine andere Eigenschaft hervor.

▤Definition

Parameterform

Die Parameterform beschreibt die Ebene durch einen festen Ebenenpunkt und zwei Richtungen:

$$E:\vec x=\vec p+s\vec u+t\vec v$$

$\vec p$ ist der Stützvektor eines Ebenenpunkts. Die Spannvektoren $\vec u$ und $\vec v$ geben zwei verschiedene Richtungen innerhalb der Ebene an. Sie müssen linear unabhängig sein, dürfen also keine Vielfachen voneinander sein.

▤Definition

Normalenform

Die Normalenform verwendet einen Ebenenpunkt und einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht:

$$E:(\vec x-\vec p)\cdot\vec n=0$$

$\vec n$ heißt Normalenvektor. Für jeden Ebenenpunkt ist $\vec x-\vec p$ eine Richtung innerhalb der Ebene und deshalb orthogonal zu $\vec n$.

▤Definition

Koordinatenform

Die Koordinatenform lautet

$$E:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d.$$

Die Koeffizienten $n_1$, $n_2$ und $n_3$ sind die Komponenten eines Normalenvektors $\vec n$. Dabei gilt $d=\vec n\cdot\vec p$ für jeden Ebenenpunkt mit Ortsvektor $\vec p$.

✦Merke

Die Darstellungen sind nicht eindeutig. Du darfst einen anderen Ebenenpunkt, andere linear unabhängige Spannvektoren oder ein von null verschiedenes Vielfaches des Normalenvektors verwenden.

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Frage 1 von 1LeichtWelche Information kannst du aus $2x_1+3x_2-x_3=2$ unmittelbar ablesen?

A Ein Normalenvektor ist $(2,3,-1)^T$. B Ein Stützvektor ist $(2,3,-1)^T$. C Die beiden Spannvektoren sind $(2,3,0)^T$ und $(0,0,-1)^T$.

Antwort prüfen

Lösung: Ein Normalenvektor ist $(2,3,-1)^T$. — In der Koordinatenform bilden die drei Koeffizienten vor den Koordinaten die Komponenten eines Normalenvektors.

Gegeben sind die Punkte

$$A(0|0|-2),\quad B(1|1|3),\quad C(2|0|2).$$

Mit $A$ als Stützpunkt erhältst du

$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}.$$

Damit lautet die Parameterform

$$E:\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}.$$

Schritt 1: Einen Normalenvektor bestimmen

Bilde das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren:

$$\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}.$$

Alle Komponenten besitzen den Faktor $2$. Daher kannst du den einfacheren Normalenvektor

$$\vec n=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}$$

verwenden. Die Kontrolle bestätigt die senkrechte Lage:

$$\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=2+3-5=0,$$

$$\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=4+0-4=0.$$

Schritt 2: Die Normalenform aufschreiben

Übernimm den Stützvektor aus der Parameterform:

$$E:\left(\vec x-\begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}=0.$$

Schritt 3: Zur Koordinatenform gelangen

Berechne die rechte Seite mit $d=\vec n\cdot\vec p$:

$$d=2\cdot0+3\cdot0+(-1)\cdot(-2)=2.$$

Die Koordinatenform lautet deshalb

$$E:2x_1+3x_2-x_3=2.$$

✦Merke

Der sichere Weg lautet: Spannvektoren → Normalenvektor → Koordinatenform. Prüfe nach dem Kreuzprodukt immer beide Skalarprodukte.

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Frage 1 von 1MittelGegeben ist eine Ebene mit den Spannvektoren $(-1,2,-2)^T$ und $(1,2,1)^T$. Welcher Vektor kann ein Normalenvektor sein?

A $(6,-1,-4)^T$ B $(1,0,3)^T$ C $(0,4,-1)^T$

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Lösung: $(6,-1,-4)^T$ — Der richtige Vektor entsteht durch das Kreuzprodukt. Seine Skalarprodukte mit beiden Spannvektoren sind null.

Betrachte die Ebene

$$E:2x_1-x_2+3x_3=5.$$

Zur Normalenform

Lies zuerst den Normalenvektor ab:

$$\vec n=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}.$$

Nun brauchst du einen Ebenenpunkt. Setze beispielsweise $x_1=x_2=0$. Dann gilt $3x_3=5$, also

$$\vec p=\begin{pmatrix}0\\0\\5/3\end{pmatrix}.$$

Damit erhältst du

$$E:\left(\vec x-\begin{pmatrix}0\\0\\5/3\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}=0.$$

Direkt zur Parameterform

Löse die Koordinatengleichung nach $x_3$ auf:

$$x_3=-\frac23x_1+\frac13x_2+\frac53.$$

Setze $x_1=\lambda$ und $x_2=\mu$. Konstanten und Parameterkoeffizienten ergeben zunächst einen Stützvektor und zwei Spannvektoren. Durch passende Skalierung der Spannvektoren kannst du Brüche vermeiden:

$$E:\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\5/3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}.$$

Die Spannvektoren liegen in der Ebene, denn

$$\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\-2\end{pmatrix}=6-6=0$$

und

$$\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}=-3+3=0.$$

Außerdem sind die beiden Spannvektoren keine Vielfachen voneinander. Sie spannen daher tatsächlich eine Ebene auf.

iGut zu wissen

Alternativ kannst du drei Punkte bestimmen, welche die Koordinatengleichung erfüllen. Einen Punkt verwendest du als Stützpunkt; zwei Verbindungsvektoren werden zu linear unabhängigen Spannvektoren.

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Frage 1 von 2MittelWas musst du beim Weg von der Koordinatenform zur Normalenform zusätzlich zum Normalenvektor bestimmen?

A Einen Punkt, der die Koordinatengleichung erfüllt B Zwei beliebige Vektoren aus dem Raum C Die Länge des Normalenvektors

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Lösung: Einen Punkt, der die Koordinatengleichung erfüllt — Die Koeffizienten liefern bereits den Normalenvektor. Ein passender Ebenenpunkt ergänzt die Normalenform.

Frage 2 von 2SchwerWarum darfst du beim Herleiten einer Parameterform nicht zwei beliebige Lösungen der Orthogonalitätsgleichung verwenden?

A Die beiden Richtungsvektoren müssen zusätzlich linear unabhängig sein. B Beide Richtungsvektoren müssen gleich lang sein. C Beide Richtungsvektoren müssen dieselben Komponenten besitzen.

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Lösung: Die beiden Richtungsvektoren müssen zusätzlich linear unabhängig sein. — Zwei voneinander abhängige Vektoren erzeugen nur eine Richtung und damit keine Ebene.

Nach jeder Umwandlung helfen drei kurze Kontrollen.

1. Punktprobe: Setze den Stützpunkt in die Koordinatengleichung ein.
2. Orthogonalitätsprobe: Prüfe $\vec n\cdot\vec u=0$ und $\vec n\cdot\vec v=0$.
3. Unabhängigkeitsprobe: Stelle sicher, dass die Spannvektoren keine Vielfachen voneinander sind.

Für die Ebene $2x_1+3x_2-x_3=2$ ist etwa $P(1|2|6)$ ein Ebenenpunkt, denn

$$2\cdot1+3\cdot2-6=2.$$

Welche Form günstig ist, hängt von deiner Aufgabe ab:

• Nutze die Parameterform, wenn du Punkte der Ebene erzeugen oder ihre Richtungen untersuchen möchtest.
• Nutze die Normalenform, wenn senkrechte Richtungen im Mittelpunkt stehen.
• Nutze die Koordinatenform, wenn du eine Punktprobe schnell durchführen möchtest.

Typische Fehler

• Du hältst den Stützvektor für einen Normalenvektor. Ein Stützvektor zeigt zu einem Punkt; ein Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.
• Du übernimmst das Kreuzprodukt ungeprüft. Ein Vorzeichenfehler fällt durch die beiden Skalarprodukte auf.
• Du wählst abhängige Spannvektoren. Dann entsteht nur eine Gerade.
• Du erwartest genau eine richtige Darstellung. Verschiedene Stütz- und Spannvektoren können dieselbe Ebene beschreiben.

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Frage 1 von 1MittelDie Normalenform verwendet $\vec p=(2,1,1)^T$ und $\vec n=(1,15,2)^T$. Welche Koordinatenform gehört dazu?

A $x_1+15x_2+2x_3=19$ B $x_1+15x_2+2x_3=0$ C $2x_1+x_2+x_3=19$

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Lösung: $x_1+15x_2+2x_3=19$ — Berechne $d=\vec n\cdot\vec p=2+15+2=19$ und übernimm die Komponenten des Normalenvektors als Koeffizienten.

▱Karteikasten

Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.

ParameterformKarte umdrehen ↻Stützvektor plus zwei linear unabhängige SpannvektorenZurück ↻

NormalenformKarte umdrehen ↻Ebenenpunkt plus ein senkrechter NormalenvektorZurück ↻

KoordinatenformKarte umdrehen ↻Die Koeffizienten bilden einen NormalenvektorZurück ↻

Parameterform umwandelnKarte umdrehen ↻Kreuzprodukt bilden und beide Skalarprodukte prüfenZurück ↻

$d$ bestimmenKarte umdrehen ↻$d=\vec n\cdot\vec p$Zurück ↻

Parameterform gewinnenKarte umdrehen ↻Zwei unabhängige Richtungen mit $\vec n\cdot\vec u=\vec n\cdot\vec v=0$ findenZurück ↻

Gleichwertige NormalenvektorenKarte umdrehen ↻Von null verschiedene skalare Vielfache beschreiben dieselbe NormalenrichtungZurück ↻

Drei ErgebniskontrollenKarte umdrehen ↻Punktprobe, Orthogonalitätsprobe und UnabhängigkeitsprobeZurück ↻

⌘Mindmap

• Ebenengleichungen umwandeln
  • Parameterform: Punkt und zwei Richtungen
  • Normalenvektor: senkrecht zu beiden Spannvektoren
  • Normalenform: Punkt und Normalenvektor
  • Koordinatenform: Koeffizienten ergeben Normalenvektor
  • Hinweg: Kreuzprodukt und Skalarprodukt
  • Rückweg: Ebenenpunkt und zwei unabhängige Richtungen
  • Kontrolle: Punkt, Orthogonalität und Unabhängigkeit prüfen

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Frage 1 von 3LeichtWas ist beim Umwandeln von der Normalenform in die Koordinatenform zu tun?

A Das Skalarprodukt ausmultiplizieren und $d=\vec n\cdot\vec p$ bestimmen B Zwei neue Spannvektoren mit einem Kreuzprodukt verbinden. C Den Normalenvektor auf die Länge eins bringen.

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Lösung: Das Skalarprodukt ausmultiplizieren und $d=\vec n\cdot\vec p$ bestimmen — Aus $(\vec x-\vec p)\cdot\vec n=0$ folgt unmittelbar $\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\vec p$.

Frage 2 von 3MittelWelche Normalenform gehört zu $3x_1-4x_2+x_3=2$?

A $\left(\vec x-(2/3,0,0)^T\right)\cdot(3,-4,1)^T=0$ B $\left(\vec x-(3,-4,1)^T\right)\cdot(2/3,0,0)^T=0$ C $\left(\vec x-(0,0,0)^T\right)\cdot(3,-4,1)^T=0$

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Lösung: $\left(\vec x-(2/3,0,0)^T\right)\cdot(3,-4,1)^T=0$ — Die Koeffizienten liefern $(3,-4,1)^T$. Mit $x_2=x_3=0$ folgt $x_1=2/3$, also ist $(2/3,0,0)^T$ ein Ebenenpunkt.

Frage 3 von 3SchwerEine angebliche Parameterform besitzt die Spannvektoren $(1,2,0)^T$ und $(2,4,0)^T$. Was ist das Problem?

A Der zweite Vektor ist das Zweifache des ersten; beide spannen nur eine Gerade auf. B Beide Vektoren haben eine Null als dritte Komponente. C Die Spannvektoren sind nicht normiert.

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Lösung: Der zweite Vektor ist das Zweifache des ersten; beide spannen nur eine Gerade auf. — Für eine Ebene brauchst du zwei linear unabhängige Richtungen. Hier gilt $\vec v=2\vec u$; deshalb fehlt eine zweite Richtung.

Wenn du jede Umwandlung mit einem Normalenvektor verbindest und anschließend Punkt, Orthogonalität und Unabhängigkeit prüfst, kannst du sicher zwischen allen drei Hauptformen wechseln.