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Faktorregel: Konstante Faktoren richtig ableiten
Die Faktorregel sagt: Multipliziert eine konstante Zahl eine Funktion, bleibt diese Zahl beim Ableiten unverändert. Für $f(x)=a\cdot g(x)$ gilt also $f'(x)=a\cdot g'(x)$.
Auf dieser Seite lernst du, konstante Faktoren zu erkennen, die Faktorregel mit der Potenz- und Summenregel zu verbinden und typische Fehler zu vermeiden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du einen konstanten Faktor?
Ein konstanter Faktor ist eine feste Zahl, die einen von $x$ abhängigen Term multipliziert. Sie ändert sich nicht, wenn sich $x$ ändert.
Faktorregel
Ist $a$ eine reelle Konstante und ist $g$ ableitbar, dann gilt:
$$f(x)=a\cdot g(x) \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=a\cdot g'(x)$$
Du leitest nur $g(x)$ ab und schreibst $a$ unverändert davor.
Dabei kann $a$ zum Beispiel eine ganze Zahl, ein Bruch, eine negative Zahl oder eine Zahl wie $\sqrt{2}$ sein. In $3x^5$ ist $3$ konstant und $x^5$ der variable Teil. Dagegen ist $x$ in $x\cdot x^2$ kein konstanter Faktor, weil sein Wert von $x$ abhängt.
Wie wendest du die Faktorregel an?
Gehe in drei Schritten vor:
- Bestimme den konstanten Faktor $a$ und den variablen Teil $g(x)$.
- Leite $g(x)$ mit der passenden Regel ab.
- Multipliziere das Ergebnis mit dem unveränderten Faktor $a$ und vereinfache.
Für Potenzen brauchst du zusätzlich die Potenzregel:
$$x^n \quad\Longrightarrow\quad n\cdot x^{n-1}$$
Gegeben ist $f(x)=\frac{3}{4}x^8$.
Der konstante Faktor ist $\frac{3}{4}$, der variable Teil ist $x^8$. Nach der Potenzregel ist die Ableitung des variablen Teils $8x^7$. Deshalb:
$$f'(x)=\frac{3}{4}\cdot 8x^7=6x^7$$
Der Faktor $\frac{3}{4}$ ist nicht verschwunden. Er wurde erst nach dem Ableiten des variablen Teils mit $8$ zusammengefasst.
Faktor stehen lassen, variablen Teil ableiten, Zahlen zusammenfassen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $h(x)=5x^4$ bleibt der Faktor erhalten. Die Potenzregel liefert für $x^4$ die Ableitung . Daher ist $h'(x)=$.
Wie leitest du mehrere Summanden ab?
Bei einem Polynom trennst du die Funktion an Plus- und Minuszeichen. Mit der Summenregel leitest du jeden Summanden einzeln ab; die Rechenzeichen bleiben erhalten. Ein konstanter Summand hat die Ableitung $0$.
Gegeben ist
$$p(x)=6x^3-\frac{5}{2}x^2+2x$$
Du behandelst die drei Summanden getrennt:
$$p'(x)=6\cdot3x^2-\frac{5}{2}\cdot2x+2\cdot1$$
Nun fasst du die Zahlenfaktoren zusammen:
$$p'(x)=18x^2-5x+2$$
Das Minus vor dem zweiten Summanden bleibt erhalten. Beim linearen Term gilt $x'=1$.
Jetzt du
Leite $q(x)=-2x^4+3x^2-7x+5$ ab. Achte auf den negativen Faktor und den konstanten Summanden.
Welche Fehler passieren häufig?
- Der Faktor wird mit abgeleitet: Bei $3x^5$ ist nicht $3'=0$ einzusetzen. Die $3$ ist ein Multiplikationsfaktor und bleibt vor der Ableitung von $x^5$ stehen.
- Der Exponent wird nicht vermindert: Aus $x^5$ wird $5x^4$, nicht $5x^5$.
- Ein Minus geht verloren: In $-4x^3$ gehört das Minus zum Faktor $-4$ und bleibt erhalten.
- Ein konstanter Summand bleibt stehen: Die Ableitung von $7$ ist $0$, weil sich der Funktionswert einer konstanten Funktion nicht ändert.
- Ein variabler Faktor wird wie eine Konstante behandelt: Die Faktorregel in dieser Form gilt nur für einen konstanten Faktor. In $x\cdot g(x)$ hängt der erste Faktor selbst von $x$ ab.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Faktorregel
- Erkennen: konstante Zahl vor einem variablen Term
- Anwenden: Faktor behalten und variablen Teil ableiten
- Mit Potenzregel: Exponent vorziehen und um 1 vermindern
- Mit Summenregel: jeden Summanden einzeln behandeln
- Prüfen: Vorzeichen, Exponenten und konstante Summanden