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Beim Ableiten stehen oft konstante Zahlen vor Funktionen. Die Faktorregel sagt dir, dass dieser feste Faktor einfach stehen bleibt. Danach kannst du Terme wie \(5x^3\) oder \(-2\sin(x)\) sicher ableiten.
- Ich kann konstante Faktoren erkennen.
- Ich kann die Faktorregel beim Ableiten anwenden.
- Ich kann sie mit Summenregel und Potenzregel kombinieren.
- Ich kann typische Fehler beim Faktor vor der Funktion vermeiden.
Was die Faktorregel sagt
Ein konstanter Faktor ist eine feste Zahl, die mit einer Funktion multipliziert wird. Sie verändert die Steilheit, aber nicht die Art, wie du die innere Funktion ableitest.
Faktorregel
Für eine Konstante \(c\) und eine differenzierbare Funktion \(f\) gilt:
Der konstante Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.
Leite \(g(x)=5x^3\) ab.
Der Faktor \(5\) bleibt stehen. Die Ableitung von \(x^3\) ist \(3x^2\). Also: \(g'(x)=5\cdot3x^2=15x^2\).
Zahl vorne bleibt vorne. Abgeleitet wird die Funktion dahinter.
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Mit mehreren Regeln kombinieren
In echten Aufgaben kommt die Faktorregel selten allein. Du kombinierst sie mit Potenzregel, Summenregel oder bekannten Ableitungen.
Leite \(f(x)=3x^4-2x+7\) ab.
\(3x^4\) wird zu \(3\cdot4x^3=12x^3\). \(-2x\) wird zu \(-2\). \(7\) ist konstant und wird zu \(0\).
\(f'(x)=12x^3-2\).
Leite \(h(x)=-2\sin(x)\) ab.
Der Faktor \(-2\) bleibt stehen. Die Ableitung von \(\sin(x)\) ist \(\cos(x)\). Also: \(h'(x)=-2\cos(x)\).
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Prüfungsmodus
Frage zuerst: Ist die Zahl wirklich konstant oder hängt sie von \(x\) ab? Nur konstante Faktoren dürfen einfach stehen bleiben.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Die Faktorregel macht Ableitungen übersichtlich: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten stehen. Danach leitest du den Funktionsteil normal ab und vereinfachst das Produkt.