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Flächeninhalt einer Raute berechnen: Formeln
Den Flächeninhalt einer Raute kannst du auf zwei einfachen Wegen berechnen: mit Grundseite und zugehöriger Höhe oder mit den beiden Diagonalen. Welche Formel passt, hängt von den gegebenen Längen ab.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Formel passt zu den gegebenen Größen?
Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Für ihren Flächeninhalt $A$ gibt es zwei wichtige Formeln:
| Gegeben | Passende Formel |
|---|---|
| Seitenlänge $a$ und zugehörige Höhe $h$ | $A=a\cdot h$ |
| Diagonalen $e$ und $f$ | $A=\frac{e\cdot f}{2}$ |
Die Höhe ist der senkrechte Abstand zwischen zwei parallelen Seiten. Sie ist nicht automatisch so lang wie eine Seite.
Die Diagonalen verbinden jeweils zwei gegenüberliegende Ecken. Bei einer Raute stehen sie senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig.
Wähle die Formel nach den gegebenen Größen: Seite und Höhe werden multipliziert; das Produkt der Diagonalen wird halbiert.
Mit Seite und Höhe rechnen
Warum gilt $A=a\cdot h$? Du kannst an einer Seite der Raute ein Dreieck abschneiden und an der gegenüberliegenden Seite anfügen. Dadurch entsteht ein flächengleiches Rechteck. Es hat die Länge $a$ und die Breite $h$.
Zugehörige Höhe
Die zu einer Seite $a$ gehörige Höhe $h$ steht senkrecht auf $a$. Sie misst den kürzesten Abstand zur parallelen Gegenseite.
Gegeben sind $a=3\,\text{cm}$ und $h=2\,\text{cm}$.
- Formel auswählen: $A=a\cdot h$
- Werte einsetzen: $A=3\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}$
- Multiplizieren: $A=6\,\text{cm}^2$
Die Raute hat einen Flächeninhalt von $6\,\text{cm}^2$.
Mit den Diagonalen rechnen
Die Diagonalen $e$ und $f$ teilen die Raute in vier rechtwinklige Dreiecke. Durch Verschieben zweier Dreiecke entsteht ein flächengleiches Rechteck mit den Seitenlängen $e$ und $\frac{f}{2}$.
Deshalb gilt:
$$A=e\cdot\frac{f}{2}=\frac{e\cdot f}{2}$$
Gegeben sind $e=4\,\text{cm}$ und $f=6\,\text{cm}$.
- Formel auswählen: $A=\frac{e\cdot f}{2}$
- Werte einsetzen: $A=\frac{4\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}}{2}$
- Produkt halbieren: $A=12\,\text{cm}^2$
Die Raute hat einen Flächeninhalt von $12\,\text{cm}^2$.
Das Produkt $e\cdot f$ ist doppelt so groß wie die Fläche der Raute. Deshalb musst du durch $2$ teilen.
Einheiten und typische Fehler prüfen
Bevor du Längen multiplizierst, müssen sie in derselben Einheit angegeben sein. Aus zwei Längen entsteht beim Multiplizieren eine Flächeneinheit:
| Längen | Flächeninhalt |
|---|---|
| Millimeter | $\text{mm}^2$ |
| Zentimeter | $\text{cm}^2$ |
| Meter | $\text{m}^2$ |
| Kilometer | $\text{km}^2$ |
Beispiel: $3\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}=6\,\text{cm}^2$. Die Angabe $6\,\text{cm}$ wäre falsch, weil sie eine Länge und keine Fläche bezeichnet.
Typische Fehler sind:
- die Seitenlänge mit der Höhe zu verwechseln,
- bei der Diagonalenformel das Halbieren zu vergessen,
- verschiedene Längeneinheiten ohne Umrechnung einzusetzen,
- eine Längeneinheit statt einer Flächeneinheit anzugeben.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $a=40\,\text{mm}$ und $h=3\,\text{cm}$ wandelst du zuerst $40\,\text{mm}$ in um. Dann rechnest du mit der Formel . Das Ergebnis lautet .
Eine vollständige Aufgabe selbst lösen
Eine Raute hat die Diagonale $e=5\,\text{cm}$. Die zweite Diagonale ist doppelt so lang wie $e$. Berechne den Flächeninhalt.
Lösung mit Begründung
Zuerst bestimmst du die fehlende Diagonale:
$$f=2\cdot e=2\cdot5\,\text{cm}=10\,\text{cm}$$
Nun sind beide Diagonalen bekannt. Deshalb passt die Diagonalenformel:
$$A=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{5\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}}{2}=25\,\text{cm}^2$$
Die Raute hat einen Flächeninhalt von $25\,\text{cm}^2$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Flächeninhalt der Raute
- Seite und Höhe: $A=a\cdot h$
- Diagonalen: $A=\frac{e\cdot f}{2}$
- Formelwahl nach gegebenen Größen
- Gleiche Längeneinheiten vor dem Rechnen
- Ergebnis in einer Flächeneinheit
- Kontrolle von Halbierung und Plausibilität
Abschluss-Check
Wenn du die gegebenen Größen erkennst, die passende Formel auswählst und die Einheit prüfst, kannst du den Flächeninhalt jeder entsprechend beschriebenen Raute sicher berechnen.