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Flächeninhalt eines Trapezes berechnen
Den Flächeninhalt eines Trapezes erhältst du, indem du den Mittelwert der beiden parallelen Seiten mit der senkrechten Höhe multiplizierst:
$$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$$
Dabei sind $a$ und $c$ die parallelen Seiten und $h$ ihr senkrechter Abstand.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Grundseiten und Höhe erkennen
Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens einem Paar gegenüberliegender paralleler Seiten. Manche Schulbücher verwenden eine engere Definition und verlangen genau ein solches Paar. Für die Flächenformel spielt dieser Unterschied keine Rolle.
Die parallelen Seiten heißen Grundseiten. Wir bezeichnen sie hier mit $a$ und $c$. Die beiden übrigen Seiten heißen Schenkel. Sie werden für die Flächenformel nicht benötigt.
Höhe
Die Höhe $h$ ist der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Grundseiten. Sie bildet mit beiden Grundseiten einen rechten Winkel.
Ein schräger Schenkel ist deshalb nicht automatisch die Höhe. Bei einem rechtwinkligen Trapez kann ein senkrechter Schenkel jedoch genau der Höhe entsprechen.
Für den Flächeninhalt brauchst du die beiden parallelen Grundseiten $a$ und $c$ sowie die senkrechte Höhe $h$.
Warum die Flächenformel funktioniert
Stell dir zwei deckungsgleiche Trapeze vor. Du drehst die zweite Kopie um und legst sie an die erste. Zusammen bilden sie ein Parallelogramm.
Die Grundseite dieses Parallelogramms ist $a+c$. Seine Höhe bleibt $h$. Daher beträgt seine Fläche:
$$(a+c)\cdot h$$
Das Parallelogramm besteht aus zwei gleich großen Trapezen. Die Fläche eines Trapezes ist also halb so groß:
$$A=\frac{1}{2}(a+c)\cdot h=\frac{a+c}{2}\cdot h$$
Die Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen den Grundseiten. Ihre Länge $m$ ist der Mittelwert der Grundseitenlängen:
$$m=\frac{a+c}{2}$$
Damit kannst du die Formel auch so schreiben:
$$A=m\cdot h$$
In Worten: Mittlere Breite mal Höhe.
So berechnest du die Fläche
Gehe in vier Schritten vor:
- Prüfe, welche Seiten parallel sind.
- Bringe alle Längen in dieselbe Einheit.
- Setze $a$, $c$ und $h$ in die Formel ein.
- Gib das Ergebnis in einer quadratischen Einheit wie $\mathrm{cm^2}$ oder $\mathrm{m^2}$ an.
Gegeben sind $a=8\,\mathrm{cm}$, $c=6\,\mathrm{cm}$ und $h=4\,\mathrm{cm}$.
Zuerst berechnen wir den Mittelwert der Grundseiten:
$$\frac{8\,\mathrm{cm}+6\,\mathrm{cm}}{2}=7\,\mathrm{cm}$$
Dann multiplizieren wir mit der Höhe:
$$A=7\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}=28\,\mathrm{cm^2}$$
Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt $28\,\mathrm{cm^2}$. Die Einheit ist quadratisch, weil zwei Längen miteinander multipliziert wurden.
Wenn die Mittellinie bereits bekannt ist, genügt $A=m\cdot h$. Für $m=7\,\mathrm{cm}$ und $h=6\,\mathrm{cm}$ ergibt sich beispielsweise:
$$A=7\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm}=42\,\mathrm{cm^2}$$
Fehlende Größen bestimmen
Manchmal ist die Fläche bekannt und du suchst die Höhe. Stelle dann die Flächenformel nach $h$ um:
$$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$$
Multipliziere zuerst mit $2$ und teile anschließend durch $a+c$:
$$h=\frac{2A}{a+c}$$
Gegeben sind $A=54\,\mathrm{cm^2}$, $a=11\,\mathrm{cm}$ und $c=7\,\mathrm{cm}$.
$$h=\frac{2\cdot54\,\mathrm{cm^2}}{11\,\mathrm{cm}+7\,\mathrm{cm}}$$
$$h=\frac{108\,\mathrm{cm^2}}{18\,\mathrm{cm}}=6\,\mathrm{cm}$$
Die gesuchte Höhe beträgt $6\,\mathrm{cm}$. Eine Flächeneinheit geteilt durch eine Längeneinheit ergibt wieder eine Längeneinheit.
Suchst du die Grundseite $c$, kannst du so umstellen:
$$c=\frac{2A}{h}-a$$
Typische Fehler vermeiden
Eine schräge Seite als Höhe verwenden
Die Höhe steht senkrecht auf den Grundseiten. Nutze einen Schenkel nur dann als Höhe, wenn ein rechter Winkel dies bestätigt.
Die Grundseiten nicht mitteln
$a+c$ ist die Breite der aus zwei Trapezen zusammengesetzten Figur. Für ein einzelnes Trapez musst du die Summe halbieren.
Verschiedene Einheiten einsetzen
Du darfst beispielsweise Zentimeter und Meter nicht unverändert in dieselbe Rechnung einsetzen. Rechne zuerst alle Längen in dieselbe Einheit um.
Eine Längeneinheit angeben
Ein Flächeninhalt wird in Quadratmillimetern, Quadratzentimetern, Quadratmetern oder einer anderen Flächeneinheit angegeben. $28\,\mathrm{cm}$ wäre eine Länge; $28\,\mathrm{cm^2}$ ist eine Fläche.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Flächeninhalt eines Trapezes
- Benötigte Größen
- parallele Grundseiten $a$ und $c$
- senkrechte Höhe $h$
- Berechnung
- Grundseiten addieren
- Summe durch zwei teilen
- mit der Höhe multiplizieren
- Gleichwertige Formeln
- $A=\frac{a+c}{2}\cdot h$
- $A=m\cdot h$
- Kontrolle
- gleiche Längeneinheiten
- quadratische Ergebniseinheit
- Benötigte Größen
Abschluss-Check
Du bist sicher, wenn du zuerst die parallelen Seiten und die senkrechte Höhe erkennst, alle Einheiten vereinheitlichst und dein Ergebnis als Fläche angibst.