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Galton-Brett: Binomialverteilung verstehen
Beim Galton-Brett wird eine Kugel an jeder Stiftreihe nach links oder rechts abgelenkt. Im Idealmodell sind diese Entscheidungen unabhängig und beide Richtungen gleich wahrscheinlich. Deshalb ist das Zielfach binomialverteilt: Mittlere Fächer sind wahrscheinlicher, weil viel mehr Wege dorthin führen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was geschieht auf dem Galton-Brett?
Eine Kugel fällt durch mehrere versetzte Stiftreihen. An jedem Stift wird sie nach links oder rechts abgelenkt. Nach der letzten Ablenkung landet sie in einem Auffangfach.
Wir nummerieren die Fächer von links nach rechts mit $0,1,\ldots,n$. Dabei bezeichnet $n$ die Zahl der Stufen, also der Ablenkungen.
Idealmodell
Im Idealmodell gelten für jede Ablenkung dieselben Bedingungen:
- Rechts tritt mit der Wahrscheinlichkeit $p$ ein.
- Links tritt mit der Wahrscheinlichkeit $1-p$ ein.
- Die Ablenkungen werden als unabhängig behandelt: Eine frühere Entscheidung verändert die Wahrscheinlichkeit der nächsten nicht.
Beim symmetrischen Galton-Brett gilt $p=\frac12$.
Jede Rechtsablenkung verschiebt die Kugel um ein Fach nach rechts. Deshalb landet eine Kugel mit genau $k$ Rechtsablenkungen im Fach $k$.
Eine Kugel durchläuft vier Stufen. Der Weg lautet:
rechts – links – rechts – links
Er enthält zwei Rechtsablenkungen. Die Kugel landet daher im Fach $2$ – unabhängig von der Reihenfolge der beiden Rechts- und zwei Linksablenkungen.
Wie viele Wege und Fächer gibt es?
Auf jeder Stufe gibt es zwei mögliche Richtungen. Mit jeder zusätzlichen Stufe verdoppelt sich daher die Zahl der vollständigen Links-rechts-Folgen.
$$\text{Zahl aller Wege}=2^n$$
Die Zahl der Fächer ist dagegen:
$$\text{Zahl der Fächer}=n+1$$
Der Grund: Eine Kugel kann keinmal, einmal, zweimal bis höchstens $n$-mal nach rechts abgelenkt werden. Das sind die $n+1$ möglichen Werte $0,1,\ldots,n$.
Bei drei Stufen gibt es
$$2^3=8$$
vollständige Wege, aber nur
$$3+1=4$$
Fächer. Mehrere verschiedene Wege können also im selben Fach enden. Beispielsweise führen rechts – links – links, links – rechts – links und links – links – rechts alle ins Fach $1$.
Verwechsle Wege und Fächer nicht: Bei $n$ Stufen gibt es $2^n$ Wege, aber nur $n+1$ Fächer.
Wie zählt das Pascalsche Dreieck die Wege?
Nicht alle Fächer sind über gleich viele Wege erreichbar. Die Zahl der Wege mit genau $k$ Rechtsablenkungen wird durch den Binomialkoeffizienten angegeben:
$$\binom{n}{k}$$
Diese Zahlen stehen in der Zeile $n$ des Pascalschen Dreiecks. Jede Zeile beginnt und endet mit $1$. Jeder innere Wert entsteht als Summe der beiden Werte darüber.
Für vier Stufen lautet die passende Zeile:
| Fach $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Zahl der Wege $\binom{4}{k}$ | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
Ins Fach $2$ eines vierstufigen Bretts führen
$$\binom{4}{2}=6$$
Wege. Die Kugel muss zweimal nach rechts und zweimal nach links gelangen. Es gibt sechs verschiedene Reihenfolgen dieser Ablenkungen.
In ein äußeres Fach führt dagegen nur ein Weg: entweder viermal links oder viermal rechts.
Wie berechnest du eine Fachwahrscheinlichkeit?
Wir nennen eine Rechtsablenkung einen Treffer. Die Zufallsgröße $X$ zählt die Rechtsablenkungen. Bei $n$ unabhängigen Stufen mit konstanter Rechtswahrscheinlichkeit $p$ gilt:
$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$
Die Formel verbindet zwei Gedanken:
- $\binom{n}{k}$ zählt die Wege mit genau $k$ Rechtsablenkungen.
- $p^k(1-p)^{n-k}$ ist die Wahrscheinlichkeit eines solchen Weges.
Beim symmetrischen Brett ist $p=\frac12$. Dann besitzt jeder vollständige Weg dieselbe Wahrscheinlichkeit:
$$\left(\frac12\right)^n$$
Damit vereinfacht sich die Fachwahrscheinlichkeit zu:
$$P(X=k)=\binom{n}{k}\left(\frac12\right)^n$$
Wie wahrscheinlich ist bei vier Stufen das mittlere Fach $2$?
Zuerst bestimmen wir die Zahl der passenden Wege:
$$\binom{4}{2}=6$$
Jeder der $2^4=16$ Wege ist gleich wahrscheinlich. Daher gilt:
$$P(X=2)=\binom{4}{2}\left(\frac12\right)^4=6\cdot\frac1{16}=\frac38=0{,}375$$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also $37{,}5\,\%$.
Ein Galton-Brett hat zehn Stufen. Für das mittlere Fach gilt $k=5$, nicht $k=6$:
$$P(X=5)=\binom{10}{5}\left(\frac12\right)^{10}=\frac{252}{1024}\approx0{,}2461$$
Für das Fach $6$ gilt dagegen:
$$P(X=6)=\binom{10}{6}\left(\frac12\right)^{10}=\frac{210}{1024}\approx0{,}2051$$
Das mittlere Fach hat somit eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr $24{,}61\,\%$.
Warum entsteht eine Glockenform?
Beim symmetrischen Idealmodell sind die Binomialkoeffizienten spiegelbildlich angeordnet. Deshalb ist auch die Fachverteilung symmetrisch. Viele Wege führen zu mittleren Fächern, wenige zu den Rändern.
Bei zehn Stufen ergeben sich diese theoretischen Anteile:
| Fach $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wege | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Werden $1024$ Kugeln betrachtet, entsprechen diese Zahlen zugleich den theoretisch erwarteten Häufigkeiten. In einem tatsächlichen Versuch müssen die beobachteten Häufigkeiten jedoch nicht exakt so ausfallen.
Die endliche Fachverteilung des Galton-Bretts ist binomial, nicht stetig normalverteilt. Bei ausreichend vielen Stufen ähnelt ihre Form einer gaußschen Glockenkurve und kann unter passenden Bedingungen durch eine Normalverteilung angenähert werden. Die Glockenform allein beweist weder perfekte Mechanik noch die Güte eines Zufallsverfahrens.
Wo endet das mathematische Idealmodell?
Ein reales Brett erfüllt die Modellannahmen nie vollkommen. Stifte können ungenau angeordnet sein, Kugeln können sich unterscheiden, und Reibung oder Stöße können die Ablenkungen beeinflussen. Dann ist $p$ möglicherweise nicht überall gleich oder die Ablenkungen sind nicht hinreichend unabhängig.
Das Modell ist trotzdem nützlich: Es beschreibt, welche Verteilung unter vereinfachten Bedingungen zu erwarten ist. Anschließend kannst du Beobachtung und Modell vergleichen.
Auch ein Brett mit $p\ne\frac12$ kann binomial modelliert werden, sofern $p$ konstant bleibt und die Ablenkungen unabhängig sind. Dann wird die Verteilung im Allgemeinen schief.
Angenommen, eine Rechtsablenkung hat auf jeder von vier Stufen die Wahrscheinlichkeit $p=0{,}7$. Für Fach $3$ gilt:
$$P(X=3)=\binom{4}{3}\cdot0{,}7^3\cdot0{,}3=4\cdot0{,}343\cdot0{,}3=0{,}4116$$
Die Wahrscheinlichkeit beträgt $41{,}16\,\%$. Weil Rechts wahrscheinlicher ist, liegt der Schwerpunkt weiter rechts als beim symmetrischen Brett.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Galton-Brett
- Aufbau
- $n$ Ablenkungen
- $n+1$ Fächer
- Wege
- links oder rechts
- insgesamt $2^n$
- Fach $k$ nach $k$ Rechtsablenkungen
- Wahrscheinlichkeit
- $\binom{n}{k}$ passende Wege
- Binomialverteilung
- bei $p=1/2$ symmetrisch
- Modellgrenzen
- konstantes $p$
- unabhängige Ablenkungen
- reales Brett nur näherungsweise
- Aufbau